Exercice 1 (6 points) On considère l`équation notée (E) : ln = − . Le

Exercice 1 (6 points)
On considère l’équation notée (E) : ln = − .
Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet une solution unique notée
appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ et d’utiliser une suite convergente pour en obtenir un
encadrement.
Partie A : existence et unicité de la solution
On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
1. Déterminer le sens de variation de la fonction
est dérivable sur ]0; +∞[ et
=
+ ln .
sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
= 1 + > 0.
est donc strictement croissante sur ] ; +∞[.
= 0 admet une unique solution notée α appartenant
2. Démontrer que l’équation
à l’intervalle ]0 ; +∞[.
est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[.
De plus lim →
= −∞ (par somme) et lim →
= +∞ (par somme),
[.
donc 0 ∈ ]lim →
; lim →
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet alors de conclure que l’équation
admet une solution ! dans ] ; +∞[.
3. Justifier que :
On a
Ainsi
"
≤
≤1
$"% = " + ln $"% = " − ln 2 < 0 et
(
)
≤ ! ≤ (.
1 = 1 + ln 1 = 1 > 0.
Partie B : encadrement de la solution !
On considère la fonction * définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par *
=
+ ,-.
/
1. Étude de quelques propriétés de la fonction *.
a. Étudier le sens de variation de la fonction * sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
* est dérivable sur ]0; +∞[ et *
Donc *
Comme
= / $4 − % = / $
> 0, *′
+ ,
= / 4 − ln
%=
+ ,
/
.
et 4 − 1 ont le même signe sur ]0; +∞[. D’où le tableau suivant :
=
3
4
Calcul de * $ % : * $ % =
+
3
4
+× ,-.$ %
+
/
-. +
=
/
Soit
appartient à cet intervalle.
un réel tel que
"
≤
≤1
Alors * $ % ≤ *
Comme * $ % =
"
3
3
+× ,-.
7
7
On en déduit que
Donc, si
(
"
/
"
≤*
≤ * 1 car * est croissante sur 5 ; 16
" -. "
=
≈ 0,54 et * 1 =
/
∈ 5) ; (6, alors <
≤1
/
appartenant à l’intervalle 5 ; 16,
"
b. En déduire que pour tout nombre réel
*
" -. "
=
+×
/
-.
"
+
= = 0,8 ;
/
(
∈ 5) ; (6
c. Démontrer qu’un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ est solution
de l’équation (E) si et seulement si *
= .
Soit un réel dans ]0 ; +∞[. On a alors :
est solution de l’équation (E) ⟺ ln = −
⟺ − ln =
⟺ 4 − ln = 5
⟺
+ ,-.
⟺*
/
=
=
2. On considère la suite >? définie par > = " et pour tout entier naturel @, par
>? = * >?
a. En utilisant le sens de variation de la fonction * , démontrer par récurrence que
pour tout entier naturel @,
Soit A @ la propriété : "
•
"
≤ >? ≤ >?
≤ >? ≤ >?
≤ 1.
≤1"
Initialisation : On a > = " et > = * >
Donc
•
"
"
= * $"% =
" -. "
/
≤ > ≤ > ≤ 1 et A 0 est vraie.
≈ 0,54
Hérédité : On suppose que A @ est vraie pour un entier naturel @.
Ainsi
"
≤ >? ≤ >?
≤1
Donc * $"% ≤ * >? ≤ * >?
Donc
Donc
" -. "
/
"
≤ >?
≤ >?
≤ >?
≤ >?
"
"
≤1
+
≤/
≤ * 1 car * est croissante sur 5" ; 16
Ainsi A @ + 1 est vraie et l’hérédité est montrée.
•
Conclusion : on a démontré par récurrence que pour tout entier naturel C,
(
)
≤ DC ≤ DC
(
≤(
b. En déduire que la suite >? converge. On admettra que sa limite est .
D’après la question précédente, DC est croissante et majorée par 1 donc elle converge.
3. Recherche d’une valeur approchée de α
a. On considère l’algorithme suivant :
Saisir N
U prend la valeur 0,5
Pour K allant de 1 à N faire
U prend la valeur (4U ln(U))/5
FinPour
Afficher U
Quel est le rôle de cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer les termes de la suite >? .
L’utilisateur saisit le rang N et l’algorithme renvoie le terme de rang N, DE , de la suite.
b. On entre N=10, quel valeur est affichée en sortie ? (arrondir à 10,+ près)
La valeur affichée est D( 8 , FGH(
c. On admet que > est une valeur approchée à 10,+ près de .
Donner un encadrement de d’amplitude 10,I sous la forme > #
décimaux écrits avec trois décimales.
On a
# J où > et J sont deux
, FGH # ! # , FGH
Exercice 2
(5 points)
Partie A:
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est
demandée. Cette partie est notée sur 3 points.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est
comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de la partie A est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1. Une solution de l’équation 2K K 9 M est :
a. 3
b. M
c. 3 + M
) N
O
N
O
P
O
2. Soit K un nombre complexe ; |K
a. |K|
|OR
M| est égal à :
b. |K
1
(|
|O R
O |
|O||R
O|
c. |MK
1|
SR
OS
|R
O|
1|
3. Soit K un nombre complexe non nul d’argument T. Un argument de
X
a. − + T
I
YZ< [
b.
"X
I
+T
,
U√I
c.
W
"X
I
est :
−T
−( + O√N
−( + O√N
)_
\ = YZ<]−( + O√N^ − YZ< R = YZ< [
\ + YZ< R =
+`
N
R
)
4. Soient A et B deux points d’affixe respective M et −1.
L’ensemble des points a d’affixe K vérifiant |K − M| = |K + 1| est :
a. la droite (AB)
b. le cercle de diamètre
[AB]
c. la droite perpendiculaire à
(AB) passant par O
|R − O| = |R + (| ⟺ bc = dc ⟺ M est sur la médiatrice de [AB]
5. Soit Ω le point d’affixe 1 − M.
L’ensemble des points a d’affixe K = + Mf vérifiant |K − 1 + M| = |3 − 4M|
a pour équation :
a. f = − + 1
c. − 1
b. − 1 " + f² = √5
|R − ( + O| = |N − iO| ⟺ | − ( + O j + ( | = kN" + −i
"
⟺
−(
"
"
+ f + 1 ² = 25
+ j+(
"
= )F
6. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3M. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit
nnnnno , lp
nnnnno ^ = X est :
isocèle avec ]lm
"
a. 1 − 4M
b. −3M
c. 7 + 4M
Un beau dessin = ce qu’il y a de plus rapide !
Partie B:
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie et justifiera sa réponse. Cette
partie est notée sur 2 points.
1. L’ensemble des solutions dans ℂ de l’équation
a. s = t1 − Mu
b. s = ∅
R,)
R,(
W,"
W,
= K est :
= R ⟺ R ≠ ( xy R − ) = R R − ( ⟺ R ≠ ( xy R" − )R + ) =
z = −)
"
− i × ( × ) = −i. 2 racines : R( =
),)O
)
c. t1 − M ; 1 + Mu
= ( − O et R) = ( + O
}
}
W
2. Soit K = √6 | U 4 et K" = √2 | ,U ~ . La forme exponentielle de M W3 est :
a. √3 |
O
R(
R)
_
)
O
=• ×
U
3•}
37
_
O
√G • i
_
‚O
√) • N
b. √12 |
= √N •
O$
_ _ _
%
) i N
,U
}
37
c. √3 |
U
€}
37
7
3~}
d. √3 | U 37
(N_
= √N •O ()
Exercice 3 (4 points)
Dans une fabrique de boisson, une machine remplit automatiquement avec du soda des bouteilles de 51
centilitres. Pour pouvoir être commercialisée, une bouteille doit contenir au moins 48 centilitres de soda.
Partie A. La quantité de soda en centilitres fournie par la machine peut être modélisée par une variable
aléatoire ƒ suivant une loi normale de moyenne „ et d’écart-type … = 1,2.
1. La machine est réglée sur „ = 50. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
a. Calculer A ƒ ≥ 48 . En déduire le pourcentage de bouteilles qui pourront être commercialisées.
A ƒ ≥ 48 = 1 − A ƒ ≤ 48 ≈ 1 − 0,0478 ≈ 0,952.
95,2% des bouteilles pourrons être commercialisée après remplissage car il faut pour cela au
minimum 48 cl de soda.
b. Calculer A ƒ > 51 . Que peut on en déduire ?
De même A ƒ > 51 = 1 − A ƒ ≤ 51 ≈ 1 − 0,7977 ≈ 0,202.
Étant donné que les bouteilles ont une contenance de 51 centilitres, 20,2% d’entre elle
déborderont lors du remplissage.
2. Le directeur de la fabrique vaut qu’il y ait moins de 10% de bouteilles qui débordent. Quelle doit
être la valeur maximale de „ arrondie au centième le plus proche ?
Lors d remplissage la bouteille déborde si ƒ > 51, il faut donc que A ƒ > 51 ≤ 10% soit
A ƒ ≤ 51 > 90% , ou ƒ suit la loi normale de moyenne „ et d’écart-type … = 1,2.
ƒ∗ =
‰,Š
‹
suit donc la loi normale centrée réduite et il faut que
AŒ
On trouve à l’aide de la calculatrice
ƒ − „ 51 − „
≤
• > 0,9
1,2
1,2
/ ,Š
,"
> 1,28155 soit „ < 49,462.
La valeur maximale de Ž arrondi au centième le plus proche est donc ≈ iP, iG .
Partie B. Le temps de fonctionnement sans panne, en jours, de cette machine est une variable aléatoire
•qui suit la loi exponentielle de paramètre •. Les résultats seront arrondis au millième le plus proche.
1. On sait que A • < 30 = 0,44. En déduire la valeur de •.
• suit la loi exponentielle de densité de probabilité
= •| ,‘ donc
I
A • < 30 = 0,44 si, et seulement si, ’ •| ,‘ “ = ”−| ‘ •
D’où A • < 30 = 0,44 ⇔ | ,I
‘
= 0,56 ⇔ • =
, -. ,/—
I
I
= 1 − | ,I
‘
et donc ˜ ≈ , (P
= 0,44
Pour cette question on prend • = 0,02.
Calculer la probabilité que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours.
A • > 60 = 1 − A • ≤ 60 = 1 − 1 − | ,
, "×—
= |,
, "×—
≈ 0,301 , car • = 0,02.
La probabilité pour que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours
est donc de 30,1% au millième prés.
Exercice 4 (5 points) pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ;
• s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;
• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.
On note, pour tout entier naturel n non nul :
• ™? l’évènement « le joueur gagne la @-ième partie » ;
• š? la probabilité de l’évènement ™? ·
On a donc š = 0,1.
1. Montrer que š" = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières
parties.
4. Montrer que pour tout entier naturel @ non nul, š?
I
= / š? + /.
I
5. Soit >? la suite définie pour tout entier @ non nul telle que >? = š? − +.
a) Démontrer que >? est une suite géométrique de raison /.
b) Exprimer >? en fonction de @, puis montrer que, pour tout entier naturel @ non nul :
3 13 1 ?
š? = −
Œ •
4 4 5
6. Déterminer la limite de la suite š? quand @ tend vers +∞.
7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative,
même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Pour quelles valeurs de l’entier naturel @ a-t-on :
I
+
− š? < 10,› ?