( ) 1 Fonctions polynômes élémentaires Synthèse 4 : Fonctions usuelles β
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Synthèse 4 : Fonctions usuelles 1 Fonctions polynômes élémentaires 1.1 1.1.1 Fonctions polynômes de degré 1 Définition et propriétés Définition : Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α et β et définie pour tout x ∈ \ par f ( x ) = α x + β avec α ≠ 0 . La représentation graphique d’un polynôme de degré 1 est une droite de pente α et d’ordonnée à l’origine β . 1.2 1.2.1 Polynômes du second degré Définition et propriétés Définition : Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels a, b, c et définie par : f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0 La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole. 1.3 1.3.1 Fonctions homographiques Définition et propriétés Définition : Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions polynôme de degré 1s : ax + b h ( x) = avec c ≠ 0 cx + d Si c = 0 , on est ramené au cas d’une fonction polynôme de degré 1. Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour d a asymptote les deux droites d’équation x = − et y = ; le point d’intersection des deux c c asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe. Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (10/09/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 2 Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 2.1 Fonctions trigonométriques Fonction sinus Elle est définie sur \ par f ( x ) = sin x . Elle est impaire et 2π -périodique. Elle est dérivable sur \ avec ( sin )′ ( x ) = cos x . π π Elle est strictement croissante sur 0; et strictement décroissante sur ; π . 2 2 Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par : G - les translations de vecteur 2kπ e1 (puisqu’elle est 2π -périodique) - les symétries de centres ( kπ , 0 ) (puisqu’elle est impaire) - les symétries d’axes x = π 2 + kπ avec k ∈ ] Fonction cosinus Elle est définie sur \ par f ( x ) = cos x . Elle est paire et 2π -périodique. Elle est dérivable sur \ avec ( cos )′ ( x ) = − sin x . Elle est strictement croissante sur [ −π ;0] et strictement décroissante sur [ 0; π ] . Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par : G - les translations de vecteur 2kπ e1 π - les symétries de centres + kπ , 0 2 - les symétries d’axes x = kπ avec k ∈ ] Fonction tangente sin x π Elle est définie sur \ \ + kπ , k ∈ ] par f ( x ) = = tan x . Elle est impaire et π cos x 2 1 π périodique. Elle est dérivable sur \ \ + kπ , k ∈ ] avec ( tan )′ ( x ) = 1 + tan 2 x = . cos 2 x 2 π π Elle est strictement croissante sur − ; 2 2 G Sa courbe est invariante par les translations de vecteur kπ e1 et les symétries de centres ( kπ , 0 ) . - Synthèse 4, p2/6 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (10/09/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 2.2 Fonctions trigonométriques inverses Fonction arcsinus π π arcsin : [ −1;1] → − ; . Elle est par construction définie, continue et impaire sur −1;1 . [ ] 2 2 x 6 y = arcsin x Son graphe est symétrique de celui de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice. Sa dérivée se calcule selon la règle établie pour les fonctions réciproques : 1 1 1 1 = = = ( arcsin )′ ( x ) = 2 ( cosD arcsin )( x ) cos y 1 − sin y 1 − x 2 Elle est donc strictement croissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 . Fonction arccosinus arccos : [ −1;1] → [ 0;π ] . Elle est définie et continue sur [ −1;1] . x 6 y = arccos x Son graphe se déduit de celui de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice. 1 Sa dérivée se calcule comme précédemment : ( arccos )′ ( x ) = − 1 − x2 Elle est donc strictement décroissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 . Fonction arctangente π π arctan : ]−∞; +∞[ → − ; . Elle est définie, continue et impaire sur −∞; +∞ . ] [ 2 2 x 6 y = arctan x Son graphe se déduit de celui de la fonction tangente par symétrie par rapport à la première bissectrice. 1 Sa dérivée se calcule comme précédemment : ( arctan )′ ( x ) = 1 + x2 La fonction arctangente est donc strictement croissante sur ]−∞; +∞[ . Relation fondamentale : arcsin x + arccos x = π 2 - Synthèse 4, p3/6 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (10/09/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 3 Fonctions logarithme et exponentielle 3.1 La fonction logarithme népérien Définition : La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive de la fonction x 6 ]0; +∞[ • sur ]−∞; +∞[ et qui s’annule en x = 1 . 1 définit de x La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ : ∀x > 0 , ( ln )′ ( x ) = 1 x • La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[ • lim+ ln x = −∞ x →0 lim ln x = +∞ lim x →+∞ x →1 Propriétés : Pour tout a, b ∈ ]0; +∞[ et pour tout p ∈ \ , alors : (i) ln ( ab ) = ln a + ln b ln x = 1 (par définition de la dérivée) x −1 (ii) ln (1 b ) = − ln b (iv) ln ( a p ) = p ln a (iii) ln ( a b ) = ln a − ln b Théorème : La fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur \ . 3.2 La fonction exponentielle Définition : La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln. On la note : e : x 6 e x ou exp ( x ) • • La fonction exponentielle est définie sur \ . ∀x ∈ \ , e x > 0 ∀x ∈ \ et ∀y ∈ ]0; +∞[ : e x = y ⇔ x = ln y ln ( e x ) = x • La fonction exponentielle est dérivable sur \ : ( exp )′ ( x ) = exp ( x ) • • La fonction exponentielle est strictement croissante de \ sur ]0; +∞[ lim e x = 0+ x →−∞ lim e x = +∞ x →+∞ Propriétés : Pour tout a, b ∈ \ et pour tout p ∈ \ , alors : (i) e a + b = e a eb e − b = 1 eb (ii) (iii) ( e a −b = e a eb (iv) eln y = y ( ( e a ) = e ap p - Synthèse 4, p4/6 - lim e x x = +∞ x →+∞ Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (10/09/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 4 Fonctions hyperboliques 4.1 Définition des fonctions hyperboliques Par définition, on appelle cosinus hyperbolique de x, la quantité notée ch x : e x + e− x ch x = 2 De la même manière, on définit le sinus hyperbolique, notée sh x : e x − e− x sh x = 2 On constate que ch x + sh x = e x et que ch x − sh x = e − x . Il vient alors immédiatement : ch 2 x − sh 2 x = 1 4.2 Etude des fonctions hyperboliques Etude de la fonction f ( x ) = chx 4.2.1 e x + e− x ch x = D=\ ch ( − x ) = ch x lim ch x = +∞ x →+∞ 2 ( ch x )′ = sh x : la fonction est strictement croissante sur \ + Etude de la fonction f ( x ) = shx 4.2.2 sh x = e x − e− x 2 ( sh x )′ = ch x D=\ sh ( − x ) = − sh x : la fonction est strictement croissante sur \ + . - Synthèse 4, p5/6 - lim sh x = +∞ x →+∞ Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (10/09/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 5 Fonctions puissances 5.1 Définition Définition : Une fonction puissance est une fonction dépendant d’un paramètre réel quelconque m ≠ 0 et définie sur \ +∗ par : f m ( x ) = x m = e m ln x L’étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition dépende du signe de m : - Si m > 0 , alors lim+ x m = 0 et lim x m = +∞ x →+∞ x →0 - Si m < 0 , alors lim+ x = +∞ et lim x m = 0 m x →0 x →+∞ Une fonction puissance est définie, continue et dérivable pour tout x > 0 : ( f )′ ( x ) = mx m−1 m Ainsi, les variations de la fonction puissance dépendent du signe de m : 5.2 Croissances comparées Théorème : • • ln x ex 0 = et lim = +∞ x →+∞ x m x →+∞ x m ln x ex Si m < 0 , alors lim m = +∞ et lim m = +∞ x →+∞ x x →+∞ x Si m > 0 , alors lim - Synthèse 4, p6/6 -
