Trigonométrie dans le triangle rectangle

Trigonométrie dans le triangle rectangle
I Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
A Avant propos
Dans le triangle rectangle ABC,
l'hypoténuse.
Si on s'intéresse à l'angle
est l'angle droit, le côté opposé à
(en face de
) est [BC], c'est
:
•[AC] est le côté opposé à l'angle
•[AB] est le côté adjacent à l'angle
Si on s'intéresse à l'angle
:
•[AC] est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
•[AB] est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
B. Formules
Dans ABC un triangle rectangle en A, le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle aigu sont donnés
par les formules suivantes:
On a de même:
C Mnémotechnie
SOH CAH TOA n'est pas une formule magique mais une moyen mnémotechnique
pour retenir les formules ci-dessus:
•SOH: Sinus Opposé Hypoténuse
•CAH: Cosinus Adjacent Hypoténuse
•TOA: Tangente Opposé Adjacent
D Exemple
ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et
.
Construire la figure en vraie grandeur.
Déterminer la longueur AC, arrondie au dixième de centimètre.
Dans le triangle ABC, rectangle en A
Remarque:
On peut contrôler la vraisemblance du résultat: (3,5 < 5 et 35 < 45)
II Rappel : Théorème de Pythagore :
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : BC² = AB²+AC².
Réciproquement, si ABC est un triangle tel que les longueurs des
côtés vérifient : BC² = AB²+AC², alors il est rectangle en A.
Exemples :
-
ABC est rectangle en A, et on sait que AB = 3 et AC = 5. Alors :
BC² = 3²+5² = 9+25 = 34, et BC =
-
-
34 .
ABC est rectangle en A, et on sait que BC = 5 et AC = 3. Alors
BC²=AB²+AC², donc 5²=3²+AB², AB² = 5²-3² = 25-9 =16, donc AB =
16 =4.
ABC est un rectangle, AB = 10, BC=8, AC =6. On a :
10²=100=64+36=8²+6², donc AB² = BC²+AC². ABC est donc rectangle,
et son hypoténuse est AB. Il est donc rectangle en C.
III Relations entre sinus, cosinus et tangente
A Relation fondamentale de la trigonométrie
Si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:
2
2
cos a + sin a = 1
démonstration:
Dans ABC rectangle en A:
or d'après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A:
AB²+AC²=BC²
donc
B Autre relation
si a est un angle aigu d'un triangle rectangle:
démonstration:
IV Valeurs particulières
En choisissant un triangle rectangle adapté aux différentes situations, vérifier (retrouver) dans le
tableau les valeurs exactes suivantes.