Démonstration au format pdf - XMaths

Propriété
Étant donné un couple de réels (x0 ; y0), il existe une unique fonction f solution de l'équation différentielle
*
y' = ay + b (a ∈ IR , b ∈ IR) vérifiant f(x0) = y0 .
Démonstration
Solution générale de l'équation différentielle y' = ay + b .
*
• Considérons une fonction f solution de l'équation différentielle y' = ay + b (a ∈ IR , b ∈ IR)
Soit α un réel. Posons g(x) = f(x) + α .
e ax
g est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR et on a :
ax
ax
g'(x) = f'(x) x e - (f(x) + α) x a e
2
(e ax)
On sait que f est solution de l'équation différentielle y' = ay + b , donc f'(x) = af(x) + b
ax
ax
ax
ax
ax
ax
On en déduit g'(x) = (af(x) + b) x e - (f(x) + α) x a e = af(x) e + b e - af(x) e - aα e
2
2
(e ax)
(e ax)
ax
ax
ax
donc
g'(x) = b e - aα e = (b - aα) e = b - aα
2
2
e ax
(e ax)
(e ax)
En prenant α = b , on obtient g'(x) = 0 pour tout réel x.
a
Donc g est une fonction constante, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que g(x) = k pour tout réel x .
f(x) + b
a
On en déduit que
=k
donc f(x) = k e ax - b pour tout réel x .
a
e ax
Toute solution de l'équation différentielle y' = ay + b est donc de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR .
a
• Réciproquement si f est une fonction de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR , on a :
a
b
ax
ax
ax
f'(x) = ak e
et af(x) + b = a k e -  + b = ak e - b + b = ak e ax
a

On a donc f'(x) = af(x) + b pour tout réel x, donc f est solution de l'équation différentielle y' = ay + b .
Toute fonction de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR est donc solution de l'équation y' = ay + b .
a
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est donc l'ensemble des fonctions de la
forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR .
a
Solution particulière
Soit f une solution de l'équation différentielle y' = ay + b , on a f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR .
a
b
y0 +
a
f(x0) = y0 ⇔ k e ax0 - b = y0 ⇔ k e ax0 = y0 + b ⇔ k =
a
a
e ax0
Il existe donc une unique fonction f solution de l'équation différentielle y' = ay + b vérifiant f(x0) = y0 .
y0 + b
a
b
Cette solution est définie par f(x) = k e ax avec k =
c'est-à-dire f(x) = y0 + b e a(x-x0) - b
ax
a
a
a
0

e
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