Loi binomiale - Loto Foot -Fx

Yves Coudert
www.casio-education.fr
ENONCE : Loi binomiale – Loto Foot
(Niveau première S)
Une grille de Loto Foot comporte 15 matchs.
Pour le match de l’équipe 1 contre l’équipe 2, il y a trois choix possibles :
- Case 1 : l’équipe 1 gagne
- Case N : c’est un match nul
- Case 2 : l’équipe 2 gagne
Le joueur fait ses pronostics en cochant une des 3 cases 1, N ou 2 pour chaque match.
On suppose que le joueur remplit une grille au hasard.
On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses sur cette grille.
1) Quelles sont les valeurs que peut prendre X ? Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres.
2) Le plus gros lot est attribué au joueur ayant 15 bonnes réponses. Calculer, à 10 près la
probabilité que le joueur obtienne 15 bonnes réponses.
3) D’autres gains sont attribués aux joueurs qui ont obtenu 12, 13 ou 14 bonnes réponses. Calculer
ces probabilités.
4) En déduire la probabilité que le joueur est un gain soit : ( ≥ 12) à 10 près.
5) On considère l’évènement A : « le joueur a obtenu au plus x bonnes réponses ». Déterminer la
valeur de x pour que ( ) = 0,4 .
6) Combien de bonnes réponses peut-on espérer avoir en remplissant une grille au hasard ?
Correction avec la calculatrice Fx-CP400
Nous proposons ici une correction avec la calculatrice Fx CP-400 en utilisant, l’application principale.
Sélectionner l’application
directement avec la touche
effacer les formules présentes.
en passant par le menu général avec la touche
ou
puis à l’aide de la commande Edit / Tout effacer valider OK pour
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Yves Coudert
www.casio-education.fr
1) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs entières comprises entre 0 (aucune bonne réponse) à
15 (toutes les réponses bonnes). Si Ω désigne l’univers, on a ( ) = ; ; … ; ;
Comme, le joueur remplit la grille au hasard, pour un match donné, il y a équiprobabilité entre les 3
réponses. La probabilité de donner la bonne réponse est donc : = .
Le joueur répète donc 15 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p où le « succès » est de
donner une bonne réponse.
Les choix pour chaque match étant indépendants, nous avons bien un schéma de Bernoulli de
paramètre n = 15 et = , donc la variable aléatoire X suit une loi Binomiale de paramètres
(
, )
2) On cherche à calculer la probabilité que le joueur donne 15 bonnes réponses soit : ( = 15)
On peut utiliser la formule générale de la loi binomiale: ( = ") = #$%& % (1 − )$ %
avec n = 15 , k = 15 et = .
Ce qui nous donne à l’aide de la calculatrice :
( = 15) = # ((&) *
(
)1 − * = ) *
(
=
+, -
(
Pour avoir une approximation du résultat, on tape approx() * ).
On obtient l’approximation à 10
près : ( = ) ≈ 0, ,- ×
+
2