Chap 1. Arithmétique

Chap 1. Arithmétique
Terminale S spécialité
Euclide (vers 300 avant notre ère.)
Mathématicien de la Grèce antique. Son
ouvrage le plus célèbre, les Éléments, est un
des plus anciens traités connus présentant de
manière systématique, à partir d'axiomes et de
postulats, un large ensemble de théorèmes
accompagnés de leurs démonstrations. Il porte
sur la géométrie, tant plane que solide, et
l’arithmétique théorique.
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Chap 1. Arithmétique
Terminale S spécialité
I. Divisibilité dans ℤ
Soit , et ! trois nombres entiers relatifs non nuls.
Définition
On dit que ' divise ) lorsqu’il existe un entier relatif , tel que
=,× .
On dit alors que est un diviseur de ou que est un multiple
de et on note | .
Exemples
Quels sont les diviseurs de 30 ? Quels sont les diviseurs de 0 ?
Quels sont les diviseurs de −60 ?
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Propriété
Soit 7 ∈ ℕ∗
Tout diviseur positif de 7 est compris entre 1 et 7.
Tout entier naturel non nul possède un nombre fini de diviseurs.
Remarques
• On notera >?7@ l’ensemble des diviseurs dans ℕ de l’entier
naturel 7.
• ∀7 ∈ ℕ∗ , 1 ∈ >?7@ et 7 ∈ >?7@
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Propriété
Si divise et divise ! alors
Démonstration
divise !.
Propriété
Si divise et divise ! alors
Démonstration
divise C + E! où C, E ∈ ℤ
Corollaire
Si divise
et
divise ! alors
divise
+ ! et
divise
− !.
Exemple : Quels sont les diviseurs communs à 60 et 63 ?
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Théorème : division euclidienne dans ℕ
Si ∈ ℕ et ∈ ℕ∗ alors il existe un unique couple d’entiers
naturels ?J, K@ tels que = J + K où 0 ≤ K < .
Théorème : division euclidienne dans ℤ
Si ∈ ℤ et ∈ ℤ∗ alors il existe un unique couple d’entiers ?J, K@
tels que = J + K où 0 ≤ K < | | et J ∈ ℤ.
Corollaire
divise si, et seulement si, le reste de la division euclidienne
de par est égal à 0.
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et
II. Congruence
désignent deux entiers relatifs.
Définition
Soit 7 ∈ ℕ, on dit que et
divise ' − ).
On note alors ) ≡ ' PNQ
Exemples
29 ≡ 1 P7Q
32 ≡ ⋯ P5Q
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sont congrus modulo N lorsque N
29 ≡ 2 P3Q
44 ≡ ⋯ P2Q
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29 ≡ 8 P3Q
25 ≡ 1 P… Q
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Théorème
Pour tout 7 ∈ ℕ∗
) ≡ ' PNQ si, et seulement si, ) et ' ont le même reste dans la
division euclidienne par N.
Démonstration :
Corollaire
Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2
Il existe un unique entier Y tel que Z ≤ Y < 7 et ) ≡ Y PNQ.
Cet entier K est le reste dans la division euclidienne de ) par N.
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Propriétés
Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2, , et ! des entiers relatifs,
1@ ≡ P7Q
2@ Si ≡ P7Q et ≡ ! P7Q alors ≡ ! P7Q
Démonstration
Propriétés
Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2, , , ! et [ des entiers relatifs,
1@ Si ≡ P7Q et ! ≡ [ P7Q alors + ! ≡ + [ P7Q
2@ Si ≡ P7Q et ! ≡ [ P7Q alors × ! ≡ × [ P7Q
3@ Si ≡ P7Q alors \ ≡ \ P7Q pour tout ] ∈ ℕ∗
Démonstration
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Propriétés
Soit 7 ∈ ℕ, 7 ≥ 2, un entier relatif,
≡ 0 P7Q si, et seulement si, 7 divise
Exemple :
Démontrer que, pour tout 7 ∈ ℕ, le nombre 9^_ − 1 est divisible
par 10.
Critère de divisibilité :
Soit [ ∈ ℕ, ` , a , ... , _ les chiffres de l’écriture décimale de [
[ = ` + a × 10 + ^ × 10^ + ⋯ + _ × 10_ = cccccccccccccccc
_… b a `
Retrouver les critères de divisibilités par 2, 5, 3, 9, 4 et 11.
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