TD 1 – Révisions d`algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels et

MP3 – TD 1
Révisions d’algèbre linéaire.
N. Laillet
[email protected]
TD 1 – Révisions d’algèbre linéaire.
1
Espaces vectoriels et applications linéaires.
Exercice 1
(Exemples en dimension 2 et 3)
a. Les familles suivantes sont-elles des familles libres de R3 ?
{(0, 2, 4), (0, 4, 2), (0, 7, 3)}
(1)
{(1, 2, 4), (0, 4, 2), (0, 7, 3), (6, 5, 2)}
(2)
{(1, 2, 4), (0, 4, 2), (0, 7, 3)}
(3)
b. Compléter la famille libre {(1, 2, 3), (3, 2, 3)} en une base de R3 .
Exercice 2 Soient H = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 + x2 + · · · + xn = 0}
et u = (1, . . . , 1) ∈ Rn .
Montrer que H et Vect(u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
Rn .
Exercice 3
Comparer Vect(A ∩ B) et Vect(A) ∩ Vect(B).
Exercice 4
(Algèbre linéaire et polynômes)
Soit R[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels.
a. Montrer que R[X], muni de l’addition usuelle des polynômes et de la multiplication par des réels, est un espace vectoriel. Est-il de dimension finie ?
On se place maintenant dans l’espace vectoriel E = R2 [X] des polynômes de
degré inférieur ou égal à 2.
b. Soit F l’ensemble des fonctions affines, et G l’ensemble des polynômes de
E tels que P (1) = 1. Ces deux ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels de
E?
c.
Soient f , g et h les applications suivantes
f : E→E
P 7→ P 0
g: F →E
h: F →E
P (X) 7→ (X + 1)P (X)
P →
7 P2
Ces applications sont-elles linéaires ? Dans le cas où elle le sont, déterminer leur
noyau et leur image.
d. Vérifier que BE = (1; x; x2 ) est une base de E, et à partir de ces vecteurs constituer une base BF de F . (*)Écrire les matrices A et B représentant
respectivement f et g dans les bases BE et BF .
Soit Rn [X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur
ou égal à n.
e. Montrer que Rn [X] est un sous-espace vectoriel de R[X]. Quelle est sa dimension ? En exhiber une base.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
MP3 – TD 1
Révisions d’algèbre linéaire.
N. Laillet
[email protected]
f. Soient P0 , P1 , . . . Pn n+1 polynômes de Rn [X], tels que deg(P0 ) < deg(P1 ) <
· · · < deg(Pn ). Montrer que (P0 , P1 , . . . Pn ) est une base de Rn [X]. On dit qu’une
telle famille est échelonnée.
Exercice 5 (Algèbre linéaire et fonctions)
a. Soit ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) définie par ϕ(f ) = f 0 + 2f .
Montrer que ϕ est un endomorphisme et préciser son noyau.
b. Soient F = f ∈ C 1 (R, R) | f (0) = f 0 (0) = 0 et G = x 7→ ax + b | (a, b) ∈ R2 .
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C 1 (R, R).
2
Un peu de matrices...
Exercice 6 On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . On définit les
vecteurs suivants : f1 = e1 + e2 + e3 , f2 = e1 + e2 − 2e3 et f3 = e1 − e3 .
a. Vérifier que (f1 , f2 , f3 ) constitue une base de R3 .
b. Soit x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 (x1 , x2 , x3 ∈ R) un vecteur quelconque de R3 .
Calculer ses coordonnées dans la base (f1 , f2 , f3 ).
c. Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 , dont la matrice dans la base
canonique est


4 3 3
A = 3 4 3
(4)
3 3 4
Déterminer la matrice B de f dans la base (f1 , f2 , f3 ).
d.
4. Calculer, pour tout n ∈ N∗ , la matrice B n . En déduire la matrice An .
Exercice 7 Soient A et B deux matrices de Mn (R) semblables, c’est-àdire telles qu’il existe P ∈ Mn (R) inversible vérifiant A = P BP −1 .
a. Montrer que si l’une des deux matrices A ou B est inversible, alors l’autre
aussi.
b. Montrer que si l’une des deux matrices A ou B est nilpotente (il existe un
entier n tel que An = 0), alors l’autre aussi.
c.
Montrer que si B = λI (λ ∈ R), alors A = B.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
MP3 – TD 1
Révisions d’algèbre linéaire.
3
N. Laillet
[email protected]
Devoir maison à rendre pour le 24 septembre
Exercice 8 Soit T = R3 [X] l’espace vectoriel constitué des polynômes de
degré inférieur ou égal à trois.
a. Donner une base de T .
b.
Soit l’application ϕ définie par
ϕ:T
P
→ E
7→ (1 − X)P 00 (X),
où E est l’espace vectoriel des polynômes de degré 2. Montrer que ϕ est linéaire,
déterminer son image et son noyau.
Exercice 9 Soit E = {f ∈ C(R, R)/f (0) = f (1)}.
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C(R, R) (l’ensemble des
fonctions continues de R dans R).
b.
Déterminer un supplémentaire de E dans C(R, R).
Exercice 10
Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des
applications
linéaires
suivantes :
(
R3 → R2
a. f :
(x, y, z) 7→ (2x − y, y + x + z)
(
R3 → R3
b. g :
(x, y, z) 7→ (y + z, z + x, x + y)
(
R3 [X] → R3 [X]
c. h :
P 7→ P (X + 1)
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/