DS1 - IMJ-PRG

LM1 – TD 1
Correction.
Interrogation no 1.
N. Laillet
[email protected]
Remarques préliminaires Voici les principales données du devoir
– Moyenne du devoir : 11,89
– Médiane : 12,25
– Écart-type : 4,34
– Répartition des notes :
4 ; 6 (2 élèves) ; 8,5 (2 élèves) ; 9 ; 10,5 ; 11 ; 11,5 ; 13 ; 13,5 (3 élèves) ; 15 ; 16,5 (2 élèves) ; 17,5 ; 19
Bilan, c’est un devoir très hétérogène. La rédaction laisse à désirer chez bon nombre d’entre vous, d’où cette fiche
méthodologique sur la rédaction qui vous est distribuée.
Il est dommage que pour plusieurs questions vous ayez davantage bloqué ou perdu des points sur les maths que sur le
langage mathématique en lui-même : n’oubliez pas qu’on fait avant tout des maths !
Exercice 1 (7,5 points)
Pour chaque couple d’expressions mathématiques suivant :
– dire s’il s’agit de noms ou de propositions.
– identifier les variables, dire à quel ensemble elles sont astreintes (ou, dans le cas où ce n’est pas
précisé, à quel ensemble elles peuvent être astreintes), préciser si elles sont muettes ou parlantes.
– préciser si les deux expressions sont synonymes, et justifier la réponse.
a. « La dérivée de la fonction logarithme » et « x1 ».
b. « {y ∈ R| y ≥ 3 et y < 10} » et « l’intervalle [3, 10] ».
c. « z ∈ R » et « z ∈ C et z̄ = z ».
Correction
a. LA question la plus meurtrière, pour laquelle je n’ai vu qu’une réponse juste ! Voici une manière de répondre à la
question.
1. Les deux expressions considérées sont des noms. « La dérivée de la fonction logarithme » est un nom qui désigne
une fonction, « x1 » est un nom qui désigne un nombre.
2. Dans la première expression, il n’y a pas de variable. Dans la deuxième, il y a une variable, x, qui est parlante
(absence de mutificateur). Pour que l’expression « x1 » ait un sens, il faut que x soit astreinte à un ensemble
de nombres privé de 0, par exemple R∗ .
3. Les deux expressions ne sont pas synonymes. En effet, la première désigne une fonction, la deuxième un nombre.
En revanche, les expressions « La dérivée de la fonction logarithme » et « x 7→ x1 »sont synonymes.
b.
Question bien réussie.
– Les deux expressions considérées sont des noms. Elles représentent toutes deux des ensembles.
– Dans l’expression « {y ∈ R| y ≥ 3 et y < 10} », il y a une variable, y. Elle est muette (symbole mutificateur
{. . . | . . .}). Elle est astreinte à R. Dans la deuxième expression, il n’y a pas de variable.
– Les deux expressions ne sont pas synonymes. En effet, le réel 10 appartient à « l’intervalle [3, 10] », mais
n’appartient pas à « {y ∈ R| y ≥ 3 et y < 10} ».
c.
Question moyennement réussie, surtout au niveau de la justification !
– Les deux expressions considérées sont des propositions. La première exprime une appartenance à un ensemble.
La seconde exprime une conjonction de deux propositions, l’une exprimant l’appartenance et l’autre l’égalité.
– Dans l’expression z ∈ R, il y a une variable, z, qui est parlante. Elle n’est pas réellement astreinte à un ensemble
de nombres en particulier. Dans la deuxième, même réponse.
– Les deux expressions sont synonymes car elles sont vraies en même temps. En effet
1. Si z ∈ R, alors z ∈ C et z̄ = z (car =(z) = 0).
2. Si z ∈ C et z̄ = z, soient a et b deux réels tels que z = a + ib. Alors z̄ = a − ib. L’égalité z = z̄ implique
donc que a + ib = a − ib, soit ib = −ib, soit 2ib = 0, donc b = 0. Donc z ∈ R.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
LM1 – TD 1
Correction.
N. Laillet
[email protected]
REMARQUE : Pour les autres exercices, il n’était pas demandé de discuter du caractère muet ou parlant des
variables ! Ne faites pas de choses inutiles !
Exercice 2
(7,5 points)
a. Dans les propositions suivantes, les variables ne sont pas astreintes à un ensemble. Trouver à chaque
fois un ensemble (de nombres) pour lequel la proposition est vraie, et réécrire la proposition en astreignant
les variables.
x|∃y, x = y 2 = [0, +∞[
(1)
Si ab ≤ ac, alors b ≤ c
(2)
Si k divise le nombre premier p et k 6= p, alors k = 1.
(3)
b. À quels ensembles astreindre les variables pour rendre les énoncés ci-dessus faux ? (on ne demande
pas de réécrire les phrases).
Correction
Pour cet exercice, ce sont les mathématiques qui ont posé plus de problème que le langage.
a.
1. Il y a deux variables pour le premier énoncé : x et y. Plusieurs résultats rendent la proposition correcte :
(a) x ∈ R|∃y ∈ R, x = y 2 = [0, +∞[.
(b) x ∈ R+ |∃y ∈ R+ , x = y 2 = [0, +∞[.
(c) x ∈ R+ |∃y ∈ R− , x = y 2 = [0, +∞[.
(d) etc.
Vous avez été beaucoup à donner la deuxième phrase comme exemple. Mais il fallait bien comprendre qu’on
pouvait astreindre x à un ensemble plus large (comme dans le premier ce ces trois choix) : l’important était que
l’ensemble auquel on astreignait x contienne [0, +∞[.
2. Cet énoncé a bien été compris : on a le droit de diviser sans changer le sens de l’inégalité pour un nombre
strictement positif (trop de gens ont mis R+ au lieu de R∗+ ! Voici des exemples d’énoncés justes :
(a) Si a ∈ R∗+ , b ∈ R, c ∈ R, et ab ≤ ac, alors b ≤ c.
(b) Si a ∈ N∗ , b ∈ Z, c ∈ R, et ab ≤ ac, alors b ≤ c.
(c) etc.
3. Certains n’étaient pas forcément très à l’aise sur l’arithmétique. Il faut faire attention que 1 et −1 divisent tous
les entiers relatifs ! La variable k était donc à astreindre à N. La variable p était à astreindre à N ou Z ou encore
à l’ensemble des nombres premiers. La phrase se réécrivait donc par exemple :
Si k ∈ N divise le nombre premier p ∈ N et k 6= p, alors k = 1.
b.
Cette question a posé davantage de problèmes. Trop peu d’élèves ont justifié leur résultat avec un contre-exemple !
1. Pour le premier énoncé, on pouvait par exemple astreindre x à R et y à C. On a alors
x ∈ R|∃y ∈ C, x = y 2 = R.
Si en revanche on astreint x à C et y à C, on obtient
x ∈ C|∃y ∈ C, x = y 2 = C.
(en effet, vous avez vu en MM1 qu’on pouvait extraire une racine carrée de tout nombre complexe !)
Enfin, autre possibilité citée par des élèves, restreindre « trop » x. Par exemple
x ∈] − ∞, 0]|∃y ∈ R, x = y 2 = {0}.
2. Si on prend a ∈ R− l’énoncé est faux. a ∈ R ou a ∈ R+ fonctionnaient aussi.
3. Comme précisé ci-dessus, k ∈ Z− rendait la phrase fausse !
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
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Correction.
N. Laillet
[email protected]
Remarque : on pouvait remarquer que le Si...alors faisait office de « Pour tout ». (à méditer !)
Exercice 3 (3 points)
Réécrire sans variables muettes les expressions mathématiques suivantes.
a. « {x ∈ R|∃p ∈ Z, q ∈ Z, x = pq } »
b. « Pour tout réel x, la limite
f (x + h) − f (x)
lim
h→0
h
existe et est finie. »
Correction L’exercice n’a pas vraiment été réussi. C’est dommage, les questions étaient plutôt faciles et rapportaient gros !
a. Un synonyme de l’expression est « Q » ou bien « L’ensemble des rationnels ». Attention à ceux qui m’ont donné
une proposition comme synonyme alors qu’il s’agissait d’un nom !
b. Il est indispensable de se souvenir de ce qui a été fait en analyse au lycée ! Le synonyme ici était simplement « f
est dérivable sur R ».
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/