LM1 – TD 1 Noms et propositions. N. Laillet [email protected] TD 1 : noms et propositions. Exercice 1 propositions. Déterminer si les expressions suivantes sont des noms ou des 1. 2x + y = −3. 9. b × 2. Les multiples de 7. 3 X a n n=1 10. x = y 2 . 2 2 3. AM + BM = −12. 4. {x | f (x) = a}. Z 12. x 5. x 7→ 11. {x ∈ R|∃y ∈ R, x = y 2 }. tdt. 1 f (x) = 6. eiθ = 1 7. g est une fonction décroissante. 8. La suite de terme général n2 . x −x si x ≥ 0 si x < 0 13. R → f: x 7→ R x −x si x ≥ 0 si x < 0 14. Si un entier naturel n est divisible par 4, alors il est divisible par 2. 15. L’ensemble des solutions de l’équation x2 − xy = 0 d’inconnues réelles x et y . 16. a est solution de l’équation x2 − xy = 0 d’inconnue réelle x. 17. Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. 18. Toute fonction dérivable sur I. 19. La suite (un )n∈N définie, pour tout entier naturel n, par un = 1 n+1 20. Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan vérifiant −−→ −−→ AM .BM = 0. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ LM1 – TD 1 Noms et propositions. Exercice 2 suivantes ? N. Laillet [email protected] Quelle propriété semble vouloir démontrer l’auteur des lignes f une fonction croissante sur R k un réel négatif x, x0 ∈ R x ≤ x0 f (x) ≤ f (x0 ) kf (x) ≥ kf (x0 ) Compléter le texte de cette démonstration. Exercice 3 Pour un objet mathématique donné, il y a souvent plusieurs manières de le définir : à l’aide de mots, de symboles, de manière plus ou moins explicite. Par exemple, pour une fonction (d’un sous-ensemble A de R dans R), la façon la plus classique est de la définir ainsi : f : x 7→ une expression dépendant de x. (1) Ainsi, « la fonction carrée » et x 7→ x2 sont des expressions synonymes. Trouver pour chacune des expressions suivantes un synonyme. a. La fonction inverse. b. f : x 7→ √ x. c. La fonction affine d’ordonnée à l’origine 1 et dont la courbe passe par le point (3, 7). d. (difficile) La fonction qui a un réel x associe le plus grand entier qui lui est inférieur. Devoir maison à rendre le 1er octobre. Exercice 4 Donner trois noms et trois propositions. Exercice 5 Déterminer si les expressions suivantes sont synonymes ou non (justifier). 1. « X 4 − 1 = 0 » est/n’est pas synonyme de « X = 1 ou X = −1 ». 2. « La dérivée de la fonction exponentielle en 0 » est/n’est pas synonyme de « 1 ». 3. « x − 3 » est/n’est pas synonyme de « y − 3 ». Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ LM1 – TD 1 Noms et propositions. N. Laillet [email protected] 4. « LM = AE » est/n’est pas synonyme de « le quadrilatère LAM E est un rectangle ». 5. « L’ensemble des entiers naturels impairs » est/n’est pas synonyme de « {2n − 1 |n ∈ N} ». 6. « L’équation x2 + 3x + b = 0 d’inconnue réelle x » est/n’est pas synonyme de « L’equation y 2 + 3y + b = 0 d’inconnue réelle y ». 7. « n X k 2 » est/n’est pas synonyme de « k=1 Exercice 6 n(n + 1)(2n − 1) ». 6 (Bonus) a. En utilisant seulement des variables astreintes à R∗+ , le symbole d’égalité =, le symbole d’inégalité <, les connecteurs propositionnels NON, OU, ET, ⇒, ⇔, les quantificateurs ∀, ∃, écrire une proposition synonyme de : Il n’existe pas de nombre réel strictement positif plus petit que tous les nombres réels strictement positifs. b. Montrer que cette proposition est vraie. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/