MM2, groupe 1M1ECO – TD 0 Révisions. N. Laillet [email protected] TD 0 : révisions d’algèbre linéaire. Dans tout le TD, n désignera un entier non nul. 1 Systèmes linéaires Exercice 1 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss), par rapport aux indéterminées x, y ∈ R : −x + y = 0 −2x + 3y = 0 3x + √3y = 0 , (c) . (a) , (b) x − y=0 x + 2y = 0 x + y=0 Exercice 2 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss), par rapport aux indéterminées x, y, z ∈ R : −2x + y + z = 0 −2x + 3y + z = 0 −2x + 6y − 4z = 0 (a) , (b) , (c) x − 2y = 0 , x + 2y + 3z = 0 3x − 9y + 6z = 0 3x + 2y + 4z = 0 −3x + z = 0 x + 2y − 2z = 0 x + y − 2z = 0 2x + y + 4z = 0 , (d) x + 2y + 9z = 0 −3x + 2y + z = 0 , (e) 2x + 7y − 9z = 0 2x + 4y + z = 0 . (f) −x − 2y = 0 Exercice 3 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss), par rapport aux indéterminées x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R : x1 + x2 − x3 − x4 = 0 x1 − x2 + 2x4 = 0 2x1 + x2 + x3 − 4x4 = 0 . (b) (a) −3x1 + x3 + 2x4 = 0 , −x1 − 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + x2 − x3 = 0 5x + 2x + 4x − 11x = 0 1 2 3 4 Exercice 4 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss), par rapport aux indéterminées x, y, z ∈ R : x + y + z = 8 2y − 3z = 5 2x + y − 3z = 7 (a) −3x + 2y + 8z = −1 , (b) 2x − y + 2z = −3 , (c) 4x + 5y + z = 4 . 2x + 5y − 3z = −5 6x + y = 1 −2x − 7y − 11z = 3 Exercice 5 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss), par rapport aux indéterminées x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R : Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ MM2, groupe 1M1ECO – TD 0 Révisions. (a) N. Laillet [email protected] x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0 3x1 + x3 + 3x4 = −2 . −4x1 + 3x2 − 6x3 − 3x4 = 2 Exercice 6 (b) x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 3 −x + 5x + 2x + 2x = −2 1 2 3 4 2x1 + 4x2 + 7x3 − 2x4 = 13 3x2 + 4x3 − 5x4 = 9 . Déterminer pour quels valeurs a, b, c ∈ R le système : x1 + x2 + x3 − 2x4 = a 2x1 − x2 + x4 = b 3x1 − 3x2 − x3 + 4x4 = c (a) admet une solution unique ; (b) admet une infinité de solutions ; (c) n’a pas de solutions. Expliciter les solutions pour a = b = c = 1. Exercice 7 Déterminer pour quels valeurs de a, b ∈ R le système : 2x + 3z = 0 2y + az = b −x + ay + 3z = a (a) admet une solution unique ; (b) admet une infinité de solutions ; (c) n’a pas de solutions. Expliciter les solutions pour a = b = 2. Exercice 8 Déterminer pour quels valeurs de a, b ∈ R le système : ax + y + 2z = b 2x + z = 1 2y + 3az = 3 (a) admet une solution unique ; (b) admet une infinité de solutions ; (c) n’a pas de solutions. Expliciter les solutions pour a = b = 0. Exercice 9 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss), par rapport aux indéterminées complexes x, y, z ∈ C : x + iy = 0 x + iy − 3z = 1 (a) (b) . 3x + 2y + z = 4 + i , ix − y − iz = −1 ix − y + (1 + i)z = 2 −x − iy − (3 + 4i)z = −3 − 2i Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ MM2, groupe 1M1ECO – TD 0 Révisions. 2 N. Laillet [email protected] Sous-espaces vectoriels Exercice 10 Retour sur la définition d’un espace vectoriel. a. Rappeler la définition d’un espace vectoriel de Rn . b. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de Rn est-elle un sous-espace vectoriel de Rn ? Prouver ou donner un contre-exemple. c. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de Rn est-elle un sous-espace vectoriel de Rn ? Prouver ou donner un contre-exemple. d. Parmi tous ces sous-ensembles de R2 et R3 , lesquels sont des sous-espaces vectoriels ? E = {(α, 0, 2α + β); α et β ∈ R}. F = {(α + 1, α, −α); α ∈ R}. G = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y + 2z = 0}. H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 1}. J = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z ≥ 0}. K = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = y = 2z}. L = {(x, y) ∈ R2 ; x + y ≤ 1}. M = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 = 1}. N = {(x, y) ∈ R2 , x2 = y 2 }. Exercice 11 On considère les vecteurs v1 = (1, −1) et v2 = (1, 1). Montrer que tout vecteur de R2 est combinaison linéaire de v1 et v2 . Exercice 12 On considère les vecteurs u1 = (2, −3, 4), u2 = (1, −2, 2), v1 = (2, 1, −1), v2 = (2, −1, 2) et v3 = (3, 0, 1)} . a. On considère le vecteur u = (1, 1, 2). Déterminer deux réels a et b tel que u = a u1 + b u2 . b. Soit le vecteur v = (0, −1, 1). v est-il combinaison linéaire de u1 et u2 ? c. Soit le vecteur w = (4, 7, −9). Exprimer w comme combinaison linéaire de v1 , v2 et v3 . Exercice 13 On considère les vecteurs v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 3, −3) et v3 = (−3, −1, m), où m est un réel. a. À quelle condition sur le paramètre m le vecteur v3 est-il combinaison linéaire de v1 et v2 ? b. On suppose que cette condition est vérifiée. Montrer que v1 est combinaison linéaire de v2 et v3 et que v2 est combinaison linéaire de v1 et v3 . c. On suppose que cette condition n’est pas vérifiée. Montrer que tout vecteur de R3 est combinaison linéaire de v1 , v2 et v3 . Exercice 14 Etudier l’indépendance de chacune des familles de vecteurs suivantes et dire si cette famille est génératrice de l’ensemble Rn la contenant. S1 = {(2, −3, 4), (1, −2, 2)}. S2 = {(2, 1, −1), (2, −1, 2), (3, 0, 1)}. S2 = {(−1, 2, −3), (2, −3, 5), (1, −1, 2)}. S3 = {(2, −1, 2), (−1, 2, −3), (4, 1, 0)}. 3 9 S4 = {(2, − 21 , −3 2 ), (−2, 1, 3), (−3, 2 , 2 )}. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ MM2, groupe 1M1ECO – TD 0 Révisions. N. Laillet [email protected] S5 = {(2, −3, −1, 1), (3, −2, 1, −1); (2, 3, 5, −1), (1, −1, 0, 1)}. S6 = {(−1, 2, 1), (1, −1, 0), (1, m, −1)}. Exercice 15 Les familles suivantes sont-elles des bases de R3 ? A = {(1, −2, 3), (3, 2, 1)}. B = {(2, −2, 3), (2, 1, 0); (1, 2, 3)}. C = {(−1, 1, −1), (2, −3, 1); (−1, 0, −2)}. Exercice 16 Montrer que u1 = (−3, 2, −1), u2 = (2, 0, 2) et u3 = (−1, 1, 1) forment une base de R3 . Donner les coordonnées de u = (1, 4, 3) dans cette base. Exercice 17 Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels suivants : E = {(x, y, z) ∈ R3 ; −x + y + z = 0} F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0 et x + y + 3z = 0} G = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − z − t = 0} H = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; −x + y + 2z = 0 et x + y − 2t = 0} K = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; −2x + 2y + z + t = 0 et x − y + 3z − 2t = 0 et x + y + 4z + t = 0} J = {(x − y, 2x, y); x, y ∈ R} Exercice 18 Soit E le sous-espace vectoriel engendré par u1 = (−1, 2, −2), u2 = (3, −1, 2) et u3 = (1, 3, −2). Soit u = (1, 8, −6), v = (2, 1, −3) et w = (−3, −4, 2) . Donner, parmi ces vecteurs, ceux qui sont dans E. Exercice 19 Pour chacun des s e v suivants, donner le rang, une base parmi la famille génératrice donnée, la dimension et un système d’équations minimal. Compléter la base de chaque s-e-v, s’il y a lieu, en une base de Rn . E = V ect( (−1, 1, 1); (−1, 1, 2) ) F = V ect( (2, −3, 1); (1, 2, −3); (3, −1, −2) ) G = V ect(1, 1, −2) H = V ect( (2, −1, 2, 1); (−1, 3, 0, 1); (1, 2, 2, 2) ) K = V ect( (−3, 1, 2, −1), (−3, 1, 2, 0) ) Exercice 20 Mêmes questions que l’éxercice précédent. E = V ect( (−1, −2, 1); (1, 3, −1); (−1, 0, 1) ) F = V ect( (1, 1, −1); (−1, 1, 1); (1, −1, 0) ) G = V ect( (1, 2, 1, 2); (1, 4, 2, 4); (1, 1, 2, 2); (1, 3, 2, 4) ) H = V ect( (2, −1, 2, 1); (1, 3, 1, −1); (1, −1, 2, 2); (2, 3, 1, −2) ) K = V ect( (−1, −2, 1, 1, −1); (2, 1, −1, 1, 1); (1, 3, 1, −1, 1); (2, 2, 1, 1, 1); (1, 0, 2, 2, 0) ) Exercice 21 Pour chacun des s e v suivants, donner une base, la dimension et un système d’équations minimal. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ MM2, groupe 1M1ECO – TD 0 Révisions. N. Laillet [email protected] E = {(2x − y, x + y, −x + y); x, y ∈ R}. F = {(x + 2y, y − 2x, y − x); x, y ∈ R ). Exercice 22 Déterminer un système d’équations cartésiennes pour chacun des sous-espaces vectoriels suivants de R3 . a. A = {(3α + 2β, β + 2α, α − β); α, β ∈ R}. b. B = V ect(b) où b = (3, 2, 1). Exercice 23 Montrer que les vecteurs u1 = (2, −1, 1) et u2 = (−3, 1, −2) engendrent le même sous-espace vectoriel que v1 = (1, −1, 0) et v2 = (3, −2, 1). Exercice 24 Dans R4 on considère a1 = (2, −2, 3, 1) et a2 = (−1, 4, −6, −2). a) Trouver des vecteurs a3 et a4 tels que (a1 , a2 , a3 , a4 ) est une base de R4 . b) Déterminer un système d’équations pour le sous-espace vectoriel de R4 engendré par a1 et a2 . Exercice 25 Soient les sous-ensembles de R3 : F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + 2z = 0 } et G = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = x + z = 0 } a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 . Soient les vecteurs : u = (2, 0, −1), v = (0, 2, −1) et w = (−1, 1, 0). b. Montrer que {u, v} engendre F . Vérifier que w appartient à F ; déterminer des réels a et b tels que w = au + bv. Les vecteurs u, v, w sont-ils linéairement indépendants ? c. Déterminer F ∩ G. d. Pour (x, y, z) dans R3 , montrer qu’il existe un réel r tel que s = (x+r, y−r, z −r) appartienne à F ; exprimer ce vecteur s comme combinaison linéaire de u et de v. e. Montrer que F + G = R3 . Exercice 26 On considère les deux s-e-v E et F de R3 définies par : E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0 et x − y − z = 0}. a. Donner une base pour chacun des s e v E, F , E ∩ F et E + F . b. Montrer que E + F = R3 . Exercice 27 On considère les vecteurs suivants de R4 : u1 = (1, 2, 3, 4), u2 = (2, 2, 2, 6), u3 = (0, 2, 4, 4), v1 = (1, 0, −1, 2), v2 = (2, 3, 0, 1). On pose : F = V ect(u1 , u2 , u3 ) et G = V ect(v1 , v2 ). Donner une base, la dimension, et un système d’équations caractérisant les s e v F , G, F ∩ G et F + G. Exercice 28 On considère les deux s-e-v E et F de R4 définies par : E = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; −x + z = 0 et x − y + t = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; y + z − t = 0}. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ MM2, groupe 1M1ECO – TD 0 Révisions. N. Laillet [email protected] a. Donner une base pour chacun des s e v E, F , E ∩ F et E + F . b. A-t-on E + F = R4 ? Exercice 29 On considère les vecteurs suivants de R4 : u1 = (1, −3, 1, 1), v1 = (1, −2, 2, −1), u2 = (1, −7, 1, 6), v2 = (−3, 7, −6, 2), u3 = (3, −1, 3, −7), v3 = (−5, 8, −9, 7). Soit F le s-e-v engendré par les vecteurs u1 , u2 et u3 . soit G le s-e-v engendré par v1 , v2 et v3 . a. Donner une base, la dimension, et un système d’équations pour chacun des s-e-v F et G. b. Donner une base et la dimension pour les s-e-v F ∩ G et F + G. Exercice 30 On considère les deux familles de vecteurs dans R4 : S1 = {(1, −4, −2, 2); (−4, −2, 5, 4); (6, −6, −9, 0)} et S2 = {(−1, −2, 1, 2); (2, 1, −3, 1); (−1, 1, 1, 3)} Soit E1 et E2 les sous-espaces vectoriels de R4 , engendrés par S1 et S2 . a. Montrer que E1 ⊂ E2 . b. E1 = E2 ? Si non, donner un vecteur de E2 qui n’est pas dans E1 . Exercice 31 Dans R4 on considère l’ensemble E des (x, y, z, t) tels que x + y + z + t = 0 et l’ensemble F des (x, y, z, t) tels que x = y = z = t. a. Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4 . b. Déterminer des bases de E et de F . Exercice 32 Soit E1 le sous-espace vectoriel de R4 engendré par {(1, 3, 0, 4), (2, 0, 1, 2)} et E2 le sous-espace vectoriel engendré par {(1, 1, 2, 3), (4, −1, 0, 2)}. Les sous-espaces E1 et E2 sont-ils supplémentaires dans R4 ? Exercice 33 dans R3 , on considère les sous-espaces vectoriels E1 = V ect(v1 , v2 ) et E2 = V ect(w1 , w2 ) avec v1 = (2, 1, 1) et v2 = (2, 2, 1), w1 = (1, 2, −1) et w2 = (2, 1, 2). a. Déterminer la dimension de E1 ∩ E2 . b. Déterminer la dimension de E1 + E2 . c. A-t-on : R3 = E1 + E2 ? R3 = E1 ⊕ E2 ? Exercice 34 Dans R4 , on considère les sous-espaces vectoriels E1 = V ect(v1 , v2 ) et E2 = V ect(w1 , w2 ) avec v1 = (1, −1, 0, 1) et v2 = (0, 2, 1, 0), w1 = (0, 6, −1, 4) et w2 = (3, 3, 1, 5). a. Donner une base de E1 ∩ E2 . b. Donner une base de E1 + E2 . c. Déterminer un supplémentaire de E1 + E2 dans R4 . Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/