L’algèbre et les racines Nombres complexes Algèbre linéaire I — MATH 1057 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d’informatique Université Laurentienne Sudbury, 1er avril 2011 L’unité imaginaire Par définition, l’unité imaginaire i est une solution de l’équation quadratique x2 + 1 = 0 Ça signifie que 2x = 1 n’a pas de solution dans les entiers (Z). On a inventé les nombres rationnels (Q). La solution est x = 1/2. x 2 = 2 n’a pas de solution dans les rationnels (Q). On √a inventé les nombres réels (IR). La solution est x = ± 2. x 2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans les réels (IR). On a inventé les nombres complexes (C). La solution est x = ±i . L’unité imaginaire et Définition ou de façon équivalente Une préoccupation majeure de l’algèbre est de résoudre des équations. √ −1 √ L’unité imaginaire i est parfois écrit −1, mais on doit faire bien attention quand on manipule des équations avec des radicaux. On peut obtenir de faux résultats : √ √ √ √ −1 = i · i = −1 · −1 = −1 · −1 = 1 = 1 x 2 = −1. La règle de calcul i 2 = −1. n’est valide que dans le cas de valeurs réelles positives de a et de b. Pour éviter de faire de telles erreurs en manipulant les nombres complexes, on s’interdit de mettre un nombre négatif sous un symbole de racine carrée. √ √ Cela signifie qu’on n’écrit pas d’expressions comme −7, mais à la place on écrit i 7. C’est à cela que sert le nombre imaginaire i . Comme il n’y a pas de nombre réel tel que son carré soit un nombre réel négatif, ce nombre est imaginaire et on lui attribue le symbole i . Le terme ”imaginaire” pour ces valeurs est dû à René Descartes en 1637. √ √ √ a· b = a·b Les nombres complexes (p. 495) L’ensemble des nombres complexes (p. 495) Définition Un nombre complexe z est un nombre de la forme z = a + bi où a et b sont des nombres réels, et i est l’unité imaginaire, ayant la propriété i 2 = −1. Le nombre réel a est appelé la partie réelle du nombre complexe z et est noté Re(z) = a. Le nombre réel b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe z et est noté Im(z) = b. Opérations sur les nombres complexes (p. 495) L’ensemble de tous les nombres complexes est habituellement noté C . L’ensemble des nombres réels, IR, peut être considéré comme inclus dans C en écrivant chaque nombre réel a comme un nombre complexe avec une partie imaginaire nulle : a = a + 0i . Exemples Soient les nombres complexes z = 2 − 3i et w = −1 + i . Définition Soient z1 = a + bi et z2 = c + di deux nombres complexes. z +w = (2 − 3i ) + (−1 + i ) = (2 − 1) + (−3 + 1)i Addition : z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i = 1 − 2i Soustraction : z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i . Multiplication : z1 z2 = (a + bi )(c + di ) = a(c + di ) + bi (c + di ) 2 1 z 3 = zw = (2 − 3i )(−1 + i ) 1 2 (2 − 3i ) = − i 3 3 = ac + adi + bci + bdii = ac + bdi + (ad + bc)i = 2(−1 + i ) − 3i (−1 + i ) = (ac − bd) + (ad + bc)i = −2 + 2i + 3i − 3i 2 = (−2 − 3i 2 ) + (2 + 3)i = 1 + 5i Égalité de nombres complexes (p. 495) Définition Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales entre elles. Ainsi, a + bi = c + di si et seulement si a = c et b = d. Nombre complexe conjugué (p. 496) Définition Le nombre complexe conjugué du nombre complexe z = a + bi est défini par a − bi , et se note z̄. Le nombre complexe conjugué z̄ est l’image de z par la symétrie par rapport à l’axe réel. Le plan complexe (p. 497) Puisqu’un nombre complexe z = a + bi est déterminé de manière unique par un couple (a, b) de nombres réels, il existe une bijection de l’ensemble des nombres complexes vers les points du plan, appelé alors le plan complexe. Le nombre complexe z est représenté par un point du plan complexe. Les coordonnées cartésiennes d’un nombre complexe sont sa partie réelle a = Re(z) et sa partie imaginaire b = Im(z). La représentation d’un nombre complexe par ses coordonnées cartésiennes est appelée la forme cartésienne, la forme rectangulaire ou la forme algébrique de ce nombre complexe. ℑ z = a + bi b ℜ a Module d’un nombre complexe (p. 496) Le module (ou la valeur absolue) d’un nombre complexe z = a + bi est p √ |z| = z · z̄ = a2 + b 2 C’est un nombre réel (et positif). Théorème Théorème z1 + z2 = z̄1 + z̄2 z1 · z2 = z̄1 · z̄2 z̄¯ = z z̄ = z si et seulement si z est réel On vérifie immédiatement ces propriétés importantes du module : |z| = 0 si et seulement si z = 0, |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (inégalité triangulaire) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | |z| = |z̄| Division par un nombre complexe (p. 496) Exemples Soient les nombres complexes z = 2 − 3i et w = −1 + i . w z Soient z1 et z2 deux nombres complexes. On a z1 z1 z̄2 z1 z̄2 = = z2 z2 z¯2 |z2 |2 = = En multipliant le dénominateur par son conjugué, il devient réel. On peut alors identifier la partie réelle et la partie imaginaire du quotient. = = = Racine carrée de l’unité imaginaire On peut penser qu’on aura besoin d’inventer un autre ensemble de nombres imaginaires pour prendre en compte la racine carrée de i . Cependant ce n’est pas nécessaire car elle√peut s’écrire comme l’un ou l’autre des deux nombres complexes : i = ± √12 (1 + i ). On peut le prouver ainsi : 2 1 2 1 = ±√ (1 + i )2 ± √ (1 + i ) 2 2 1 = (±1)2 (1 + i )(1 + i ) 2 1 (1 + 2i + i 2 ) = 2 1 1 = +i − 2 2 = i −1 + i 2 − 3i −1 + i 2 + 3i 2 − 3i 2 + 3i −2 + 2i − 3i + 3i 2 4 + 6i − 6i − 9i 2 −5 − i 13 1 5 − − i. 13 13 Calcul avec des matrices complexes Soient A = 2 − 3i 2i 5 −1 + i et B = 1+i 3i 1−i 4 . (2 − 3i ) + (1 + i ) (5) + (1 − i ) (2i ) + (3i ) (−1 + i ) + (4) 3 − 2i 6−i = 5i 3+i 2 − 3i 5 1+i 1−i AB = 2i −1 + i 3i 4 (2 − 3i )(1 + i ) + (5)(3i ) (2 − 3i )(1 − i ) + (5)(4) = (2i )(1 + i ) + (−1 + i )(3i ) (2i )(1 − i ) + (−1 + i )(4) 2 − i + 3 + 15i 2 − 5i − 3 + 20 = 2i − 2 − 3i − 3 2i + 2 − 4 + 4i 5 + 14i 19 − 5i = −5 − i −2 + 6i A+B = Méthode de Cramer Méthode de Cramer (suite) Trouvez la solution du système d’équations 3x (1 + 2i )x On pose A = A est donné par 3 1 + 2i + (−2 + i )y − iy −2 + i −i et b = = 4 = 1 = −3i − (−2 − 4i + i − 2) = −3i − (−4 − 3i ) = 4 Matrice conjuguée, conjuguée transposée et hermitienne Définition La conjuguée d’une matrice A est notée A et est obtenue en prenant le nombre complexe conjugué de chaque élément de la matrice. Définition La conjugué transposée d’une matrice A est notée A∗ et est obtenue en prenant le nombre complexe conjugué de chaque T élément de la matrice puis en transposant la matrice. A∗ = A . La matrice carrée A est dite Hermitienne si A∗ = A. = = 4 . Le déterminant de 1 det(A) = (3)(−i ) − (−2 + i )(1 + 2i ) Définition x = y = = = 1 4 −2 + i det(A1 (b)) = −i det(A) 4 1 1 1 ((4)(−i ) − (−2 + i )(1)) = (−4i − (−2 + i )) 4 4 1 5 1 (2 − 5i ) = − i 4 2 4 det(A2 (b)) 1 3 4 = det(A) 4 1 + 2i 1 1 1 ((3)(1) − (4)(1 + 2i )) = (3 − (4 + 8i )) 4 4 1 1 (−1 − 8i ) = − − 2i . 4 4 Propriétés des matrices conjuguées transposées Théorème Soient A et B deux matrices avec des éléments complexes et soit z un nombre complexe. 1. (A + B)∗ = A∗ + B ∗ 2. (zA)∗ = zA∗ 3. (AB)∗ = B ∗ A∗ 4. (A∗ )∗ = A 5. Si A est une matrice carrée, alors det(A∗ ) = det(A) 6. A est inversible si et seulement si A∗ est inversible, et dans ce cas on a (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . 7. Les valeurs propres de A∗ sont les conjugués des valeurs propres de A.