Nombres complexes Algèbre linéaire I --

Nombres complexes
Algèbre linéaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
Département de mathématiques et d’informatique
Université Laurentienne
Sudbury, 1er avril 2011
L’algèbre et les racines
Une préoccupation majeure de l’algèbre est de résoudre des
équations.
2x = 1 n’a pas de solution dans les entiers (Z). On a inventé
les nombres rationnels (Q). La solution est x = 1/2.
x 2 = 2 n’a pas de solution dans les rationnels (Q). On
√a
inventé les nombres réels (IR). La solution est x = ± 2.
x 2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans les réels (IR). On a
inventé les nombres complexes (C). La solution est x = ±i .
L’unité imaginaire
Définition
Par définition, l’unité imaginaire i est une solution de l’équation
quadratique
x2 + 1 = 0
ou de façon équivalente
x 2 = −1.
Ça signifie que
i 2 = −1.
Comme il n’y a pas de nombre réel tel que son carré soit un
nombre réel négatif, ce nombre est imaginaire et on lui attribue le
symbole i .
Le terme ”imaginaire” pour ces valeurs est dû à René Descartes en
1637.
L’unité imaginaire et
√
−1
√
L’unité imaginaire i est parfois écrit −1, mais on doit faire bien
attention quand on manipule des équations avec des radicaux. On
peut obtenir de faux résultats :
√
√
√
√
−1 = i · i = −1 · −1 = −1 · −1 = 1 = 1
La règle de calcul
√
√ √
a· b = a·b
n’est valide que dans le cas de valeurs réelles positives de a et de
b. Pour éviter de faire de telles erreurs en manipulant les nombres
complexes, on s’interdit de mettre un nombre négatif sous un
symbole de racine carrée.
√
√ Cela signifie qu’on n’écrit pas
d’expressions comme −7, mais à la place on écrit i 7. C’est à
cela que sert le nombre imaginaire i .
Les nombres complexes (p. 495)
Définition
Un nombre complexe z est un nombre de la forme
z = a + bi
où a et b sont des nombres réels, et i est l’unité imaginaire, ayant
la propriété i 2 = −1.
Le nombre réel a est appelé la partie réelle du nombre complexe z
et est noté Re(z) = a.
Le nombre réel b est appelé la partie imaginaire du nombre
complexe z et est noté Im(z) = b.
L’ensemble des nombres complexes (p. 495)
L’ensemble de tous les nombres complexes est habituellement
noté C . L’ensemble des nombres réels, IR, peut être considéré
comme inclus dans C en écrivant chaque nombre réel a comme un
nombre complexe avec une partie imaginaire nulle : a = a + 0i .
Opérations sur les nombres complexes (p. 495)
Définition
Soient z1 = a + bi et z2 = c + di deux nombres complexes.
Addition : z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
Soustraction : z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i .
Multiplication :
z1 z2 = (a + bi )(c + di ) = a(c + di ) + bi (c + di )
= ac + adi + bci + bdii = ac + bdi 2 + (ad + bc)i
= (ac − bd) + (ad + bc)i
Exemples
Soient les nombres complexes z = 2 − 3i et w = −1 + i .
z +w
= (2 − 3i ) + (−1 + i )
= (2 − 1) + (−3 + 1)i
= 1 − 2i
1
z
3
=
zw
= (2 − 3i )(−1 + i )
1
2
(2 − 3i ) = − i
3
3
= 2(−1 + i ) − 3i (−1 + i )
= −2 + 2i + 3i − 3i 2
= (−2 − 3i 2 ) + (2 + 3)i
= 1 + 5i
Égalité de nombres complexes (p. 495)
Définition
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs
parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales entre elles.
Ainsi, a + bi = c + di si et seulement si a = c et b = d.
Le plan complexe (p. 497)
Puisqu’un nombre complexe z = a + bi
est déterminé de manière unique par
un couple (a, b) de nombres réels, il
existe une bijection de l’ensemble des
nombres complexes vers les points du
plan, appelé alors le plan complexe. Le
nombre complexe z est représenté par
un point du plan complexe. Les coordonnées cartésiennes d’un nombre complexe sont sa partie réelle a = Re(z)
et sa partie imaginaire b = Im(z). La
représentation d’un nombre complexe par
ses coordonnées cartésiennes est appelée
la forme cartésienne, la forme rectangulaire ou la forme algébrique de ce
nombre complexe.
ℑ
z = a + bi
b
a
ℜ
Nombre complexe conjugué (p. 496)
Définition
Le nombre complexe conjugué du nombre complexe z = a + bi
est défini par a − bi , et se note z̄.
Le nombre complexe conjugué z̄ est l’image de z par la symétrie
par rapport à l’axe réel.
Théorème
z1 + z2 = z̄1 + z̄2
z1 · z2 = z̄1 · z̄2
z̄¯ = z
z̄
= z
si et seulement si z est réel
Module d’un nombre complexe (p. 496)
Le module (ou la valeur absolue) d’un nombre complexe
z = a + bi est
p
√
|z| = z · z̄ = a2 + b 2
C’est un nombre réel (et positif).
Théorème
On vérifie immédiatement ces propriétés importantes du module :
|z| = 0 si et seulement si z = 0,
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (inégalité triangulaire)
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
|z| = |z̄|
Division par un nombre complexe (p. 496)
Soient z1 et z2 deux nombres complexes. On a
z1
z1 z̄2
z1 z̄2
=
=
z2
z2 z¯2
|z2 |2
En multipliant le dénominateur par son conjugué, il devient réel.
On peut alors identifier la partie réelle et la partie imaginaire du
quotient.
Exemples
Soient les nombres complexes z = 2 − 3i et w = −1 + i .
w
z
=
=
=
=
=
−1 + i
2 − 3i −1 + i
2 + 3i
2 − 3i
2 + 3i
−2 + 2i − 3i + 3i 2
4 + 6i − 6i − 9i 2
−5 − i
13
1
5
− − i.
13 13
Racine carrée de l’unité imaginaire
On peut penser qu’on aura besoin d’inventer un autre ensemble de
nombres imaginaires pour prendre en compte la racine carrée de i .
Cependant ce n’est pas nécessaire car elle√peut s’écrire comme l’un
ou l’autre des deux nombres complexes : i = ± √12 (1 + i ). On
peut le prouver ainsi :
2
1 2
1
=
±√
(1 + i )2
± √ (1 + i )
2
2
1
= (±1)2 (1 + i )(1 + i )
2
1
(1 + 2i + i 2 )
=
2
1
1
=
+i −
2
2
= i
Calcul avec des matrices complexes
Soient A =
2 − 3i
2i
5
−1 + i
et B =
1+i
3i
1−i
4
.
(2 − 3i ) + (1 + i )
(5) + (1 − i )
A+B =
(2i ) + (3i )
(−1 + i ) + (4)
3 − 2i
6−i
=
5i
3+i
2 − 3i
5
1+i
1−i
AB =
2i
−1 + i
3i
4
(2 − 3i )(1 + i ) + (5)(3i )
(2 − 3i )(1 − i ) + (5)(4)
=
(2i )(1 + i ) + (−1 + i )(3i )
(2i )(1 − i ) + (−1 + i )(4)
2 − i + 3 + 15i
2 − 5i − 3 + 20
=
2i − 2 − 3i − 3
2i + 2 − 4 + 4i
5 + 14i
19 − 5i
=
−5 − i
−2 + 6i
Méthode de Cramer
Trouvez la solution du système d’équations
3x
(1 + 2i )x
On pose A =
A est donné par
3
1 + 2i
+ (−2 + i )y
−
iy
−2 + i
−i
et b =
= 4
= 1
4
. Le déterminant de
1
det(A) = (3)(−i ) − (−2 + i )(1 + 2i )
= −3i − (−2 − 4i + i − 2)
= −3i − (−4 − 3i )
= 4
Méthode de Cramer (suite)
x
=
=
=
y
=
=
=
1 4 −2 + i det(A1 (b))
= −i det(A)
4 1
1
1
((4)(−i ) − (−2 + i )(1)) = (−4i − (−2 + i ))
4
4
1 5
1
(2 − 5i ) = − i
4
2 4
det(A2 (b))
1 3
4 = det(A)
4 1 + 2i 1 1
1
((3)(1) − (4)(1 + 2i )) = (3 − (4 + 8i ))
4
4
1
1
(−1 − 8i ) = − − 2i .
4
4
Matrice conjuguée, conjuguée transposée et hermitienne
Définition
La conjuguée d’une matrice A est notée A et est obtenue en
prenant le nombre complexe conjugué de chaque élément de la
matrice.
Définition
La conjugué transposée d’une matrice A est notée A∗ et est
obtenue en prenant le nombre complexe conjugué de chaque
T
élément de la matrice puis en transposant la matrice. A∗ = A .
Définition
La matrice carrée A est dite Hermitienne si A∗ = A.
Propriétés des matrices conjuguées transposées
Théorème
Soient A et B deux matrices avec des éléments complexes et soit z
un nombre complexe.
1. (A + B)∗ = A∗ + B ∗
2. (zA)∗ = zA∗
3. (AB)∗ = B ∗ A∗
4. (A∗ )∗ = A
5. Si A est une matrice carrée, alors det(A∗ ) = det(A)
6. A est inversible si et seulement si A∗ est inversible, et dans ce
cas on a (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
7. Les valeurs propres de A∗ sont les conjugués des valeurs
propres de A.