Calculs avec les nombres complexes

Calculs avec les nombres complexes
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Calculs avec les nombres complexes
I
Questions de cours
1. Un nombre complexe est un nombre de la forme z = ...? , avec x et y réels, et avec
i vérifiant i2 = ...? Tout nombre complexe admet une écriture unique sous cette
forme. Cette écriture s’appelle la forme ...? du nombre complexe.
L’ensemble des nombres complexes se note ...?
x s’appelle la partie ...? de z, y s’appelle la partie ...? de z.
On note x = ...? (z) et y = ...? (z)
Dire que z est réel équivaut à dire que y = ...?
2.
3.
4.
5.
Dire que z est imaginaire pur équivaut à dire que ...?
Les règles de calcul dans C pour les opérations +, ×, −, / sont les mêmes que dans
...? mais la notion de signe n’est pas définie dans C (donc pas d’inégalités) et les
puissances z n ne peuvent avoir que des exposants n entiers pour z non réel.
Principe d’identification (égalité de deux nombres complexes) : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie ...? et même partie ...?
Cette propriété permet de traduire une égalité entre deux nombres complexes par
un système de deux équations entre nombres réels.
Soit z de forme algébrique x + iy et z 0 de forme algébrique x0 + iy 0
Re(zz 0 ) = ...? ; Im(zz 0 ) = ...? ; Re(z + z 0 ) = ...? ; Im(z + z 0 ) = ...?
Soit z de forme algébrique x + iy.
On appelle conjugué de z le nombre noté z = ...?
Le conjugué du conjugué de z est z = ...? ; zz = ...? ; z + z = ...?
Dire que z est réel équivaut à dire que z = ...?
Dire que z est imaginaire pur équivaut à dire que z = ...?
1
6. Inverse : pour z =0,
/
= ...? (utiliser le conjugué de z).
z
7. Pour chacune des opérations +, −, ×, /, puissance le conjugué du résultat de
l’opération appliquée à deux nombres complexes est le résultat de l’opération appliquée aux conjugués des deux nombres. Traduire cette propriété par quatre formules.
II
Exemples
1. Déterminer la partie réelle de z 2 en fonction de la partie réelle et de la partie imaginaire
de z. En déduire les solutions de l’équation z 2 = 2i
Notons x la partie réelle de z : x = Re(z) et y sa partie imaginaire y = Im(z).
Autrement dit z = x + iy avec x et y réels. Alors z 2 = (x + iy)2 = x2 + 2ixy + (iy)2
(les régles habituelles de calcul s’appliquent). Donc z 2 = x2 + 2ixy − y 2 (puisque
i2 = −1).
z 2 = (x2 − y 2 ) + (2xy)i avec x2 − y 2 réel et 2xy réel.
Donc d’après l’unicité de la décomposition d’un nombre complexe sous sa forme
algébrique, Re(z 2 ) = x2 − y 2 et Im(z 2 ) = 2xy.
L’équation z 2 = 2i équivaut à (x2 − y 2 ) + (2xy)i = 2i. Donc,
le principe
d’après
x2 − y 2 = 0
d’identification des parties réelles et des parties imaginaires,
.
2xy = 2
On résout ce système : la première équation équivaut à x = y ou x = −y. En
remplaçant dans le deuxième, on obtient 2x2 = 2 ou −2x2 = 2. Seule la première
de ces équations a des solutions réelles : x = 1 ou x = −1. Donc finalement les
solutions sont (x, y) = (1, 1) ou (x, y) = (−1, −1), soit z = 1 + i ou z = −1 − i.
Vérifions : (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i − 1 = 2i.
2. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de iz en fonction de celles de z. Pour
quels z de C a-t-on iz imaginaire pur ?
Soit z = x + iy la forme algébrique de z. iz = i(x + iy) = ix + i2 y = ix − y.
Donc Re(iz) = −Im(z) et Im(iz) = Re(z).
iz est imaginaire pur lorsque Re(iz) = 0, soit Im(z) = 0, soit z réel.
3. Calculer la forme algébrique de l’inverse de 1 + i
1
1−i
1−i
1−i
1−i
1 1
1
=
×
=
= 2
=
= − i.
2
1+i
1+i 1−i
(1 − i)(1 + i)
1 −i
2
2 2
(méthode : on a multiplié et divisé par le conjugué de 1 + i, qui est 1 − i).
4. Déterminer les nombres complexes z tels que z + 1 + iz = z + 1 − iz
z + 1 + iz = z + 1 − iz (Propriétés utilisées : conjugué d’une somme, conjugué d’un
réel 1, conjugué d’un produit iz, conjugué d’un imaginaire pur i).
La condition s’écrit : z + 1 − iz = z + 1 − iz ⇔ z(1 − i) = z(1 − i) ⇔ z = z (car
1 − i=0)
/ C’est équivalent à dire que z est réel.