Nombres complexes Fiche 1 Cours et exercises d'application

Fiche 1
Prof: Mr OUNI Anouar
Nombres complexes
Cours et exercises d'application
BAC :Maths & Sciences
A-S: 2013-2014
-I- Ensemble  des nombres complexes:
Théorème (admis) et définitions :
Il existe un ensemble noté  appelé ensemble des nombres complexes, qui vérifie les propriétés suivantes:
 L'ensemble  contient l'ensemble  des nombres réels :   
 L'addition et la multiplication dans  ont les mêmes propriétés que celles dans 
 Il existe dans  un nombre complexe notée i tel que i 2  1
 Pour tout nombre complexe z il existe un unique couple (a,b) de réels tel que : z=a+i b
Forme algébrique d'un nombre complexe :
L'égalité z=a+i b est la forme algébrique du nombre complexe z (dite aussi forme cartésienne) .
Le réel a s'appelle la partie réelle de z qu'on note Re(z) et le réel b s'appelle la partie imaginaire de z qu'on
note Im(z)
Exemple : Re(3-5i)=3 et Im(3-5i)=-5 ; Re(2i)=0 et Im(2i)=2 ; Re(- 2 )=- 2 et Im(- 2 )=0 …etc
 Un nombre est dit réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle:
Im( z)  0  z 
 Un nombre complexe est dit imaginaire pur réel si et seulement si sa partie réelle est nulle :
Re( z)  0  z  i
 Le 0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur
Calculs avec les complexes :
-1) On a par convention : i 2  1
Astuce N°1 :  k 
i 0  i 4  i8  i12  ...  i 4 k  1
i1  i 5  i 9  i13  ...  i 4 k 1  i
i 2  i 6  i10  i14  ...  i 4 k  2  1
i 3  i 7  i11  i15  ...  i 4 k 3  i
Application :
 Le reste de la division euclidienne de 2013 par 4 est 1 d’où : i 2013  i1  i car 2013  4  503 1
 Le reste de la division euclidienne de 171 par 4 est 3 d’où : i171  i 3  i car 171  4  42  3
-2) Les calculs se font comme avec les nombres réels :
-a) Exemple : " Somme et produit de deux nombres complexes "
(5  2i )  (3  4i)  5  2i  3  4i   5  3   i  2  4   2  2i
(5  2i )  (3  4i)  5   3  5   4i   2i   3  2i   4i 
 15
 20i
 6i
 8 i2
1
 15
 20i
 6i
 8  7  26i
 a  a'
-b) Egalité de deux nombres complexes : a  ib  a ' ib '  
b  b'
x  3
Exemple : x  iy  3  4i  
 y  4
Fiche 1 : Nombres complexes
En particulier a+ib=0  a=b=0
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1
Le plan complexe :
 
On considère un plan rapporté à un repère orthonormal o, u, v .Ce plan est le plan complexe dès lors que :


 A tout point M de coordonnées  xM , yM  on associe le complexe xM  iyM ,noté zM et l'affixe de M.
 A tout complexe x+iy ( avec x et y des réels) on associe le point M dont le couple de coordonnées
est (x,y) , noté M(x+iy) et appelé image du nombre complexe x+iy
 
Exemple :Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O, OI , OJ .Représenter les points M


et N d'affixes respectives 3+2i et 3-i ; et placer le point K image de nombre complexe -2+2i.
Conséquence : affixe
 d'un vecteur .
 
Pour tout vecteur w il existe un point M et un seul tel que : OM  w .C'est pourquoi l'affixe z du point M est

aussi l'affixe du vecteur w .
 

Pour tous points A et B , il existe un seul point M tel que : OM  AB .Le point M et le vecteur AB ont donc
pour coordonnées  xB  xA , yB  y A  et pour affixe  xB  xA   i  yB  y A  .De

 xB  xA   i  yB  yA    xB  iyB    xA  iyA   zB  z A il résulte que AB a pour affixe z B  z A .

On écrit : aff ( AB)  zB  z A
Exemple :
Soit A(-1,3) et B(4,7) .Alors : z A  1  3i et z B  4  7i
  z  z   4  7i    1  3i   5  4i
z
B
A
AB
Vocabulaire :
 L'axe des abscisses est aussi dénommé "axe réel" car il est l'ensemble des points pour lesquels y=0
 L'axe des ordonnées est aussi dénommé "axe imaginaire" car il est l'ensemble des points pour
lesquels x=0
-II- Nombre complexe conjugué:
Soit z  x  iy un nombre complexe avec x et y réels. Le conjugué de z est le nombre complexe z  x  iy
Exemple : 3  2i  3  2i ; 4  i  4  i ; 2i  2i ; 3  3
Astuce N°2: Soit z un nombre complexe :
 z est réel si et seulement si z  z : z  z  z  
 z est imaginaire pur si et seulement si z   z : z   z  z  i
A SAVOIR :
Opérations sur les nombres complexes conjugués : Pour tous complexes z et z' on a :
z z' z z'
1 1
 z  *
 .z   .z    z z
z  z'  z  z '
n
z n  z n  
z
z

z'  *
z' z'
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2
Produit z.z : Soit z=x+iy , avec x et y réels , on a : z.z=x2  y2    nombre réel positif 
Astuce N°3: " Inverse d'un nombre complexe non nul "
Soit z=x+iy un nombre complexe non nul .
Pour déterminer la forme algébrique de nombre complexe de Z 
le dénominateur de Z 
1
1
, on multiplie le numérateur et

z x  iy
1
par z :
z
x

Re( Z )  2

x  y2
1
z
x  iy  x    y  
Z 
 2


i



 

y
z z.z x  y 2  x 2  y 2   x 2  y 2  
Im( Z )  2

x  y2

4  3i
1
Exemple : Mettre sous forme algébrique les nombre complexe Z 
et Z ' 
3  5i
i
2
4  3i  4  3i  3  5i  12  20i  9i  15i
3  29i  3   29 
Z



  i 
2
2
3  5i  3  5i  3  5i 
34
 34   34 
3   5
1
i
i
1
Z' 
 2  i   i
i i.  i  
i
i

1
Astuce N°4: mettre sous forme algébrique : 1  i 
2
; 1  i  ; 1  i 
2
13
; 1  i  et
7
1 i
1 i
 1  i  =12  2. 1 .  i   i 2  2i
2
 1  i  =12  2. 1 .  i   i 2  2i
2
 1  i 
13

= 1  i  . 1  i   1  i 
12

 1  i  = 1  i  . 1  i   1  i 
7
6
 .1  i    2i  .1  i   2 . i .1  i   64  64i
2 6
 .1  i    2i 
2 3
6
6
6
 64 1
3
  2  . i3 . 1  i   8i. 1  i   8i  8i 2  8  8i
 i
3
8
1  i   2 i  i
1  i 1  i 1  i 

 2
1  i 1  i 1  i  1   12
2


2

2
-III- Application: Recherche d'ensemble des points "Méthode analytique"
A SAVOIR :
-1) les droites dans le plan :
 
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O, OI , OJ , l'ensemble des points M  x, y 


formant la droite D peut se représenter par une équation de la forme :ax+by+c=0 où a , b et c sont des
constantes telles que (a,b)≠(0,0). Dans ce cas, D   x, y   2 / ax  by  c  0
Cas particuliers :
 Dans le plan, une droite D parallèle à l'axe des abscisses (horizontale) a une équation de la forme:
y  y0 avec y0  

De même, une droite D parallèle à l'axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme :
x  x0 avec x 0  
Toute droite admet une équation du type y=ax+b avec a le coefficient directeur (ou pente) de la droite et b
l'ordonnée à l'origine.
Remarque : l'ordonnée à l'origine est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
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3
Définition: soit A  xA , y A  et B  xB , yB  alors le coefficient directeur de
la droite (AB) est défini par : a 
y A  yB
xA  xB
Propriétés :


Si deux droites d: y=ax+b et d': y=a'x+b' sont parallèles,
alors a=a'
Si deux droites d et d' sont perpendiculaires, alors a.a '  1
(réciproque vraie)
Exercice :
Tracer la droite (AB) passant par A(1,2) et B(-2,3) et déterminer une équation cartésienne de (AB) .
L'équation cartésienne de la droite (AB) est de la forme :
y=ax+b avec a est la pente et b l'ordonnée a l'origine on a :
A(1, 2)  ( AB )  y A  a.x A  b  2  a  b 1
B (2,3)  ( AB )  yB  a.xB  b  3  2a  b 2
1  2  2  3   a  b    2a  b   a  
ou encore : a=
1
3
3
y A  yB
23
1


x A  xB 1   2 
3
1
7
3 dans 1  2    b  b   2.33
3
3
d’où une équation de (AB) est de la forme :
1
7
( AB) : y   x  ou encore 3 y  x  7  0
3
3
en écrit : ( AB)  M ( x, y)  Plan / 3 y  x  7  0
Remarque : la pente a est négatifs alors la droite est décroissante
-2) les cercles :
Equation cartésienne d'un cercle :


L'ensemble E  M ( x, y )  Plan /  x  x0    y  y0   R 2 est le cercle de centre   x0 , y0  et de rayon R
2
Exemple :

2

E  M ( x, y )  Plan /  x  1  y 2  16 est le cercle de centre   1, 0  et de rayon R  16  4
2
  M ( x, y)  Plan / x2  y 2  1 Est le cercle de centre O  0,0  et de rayon R  1
  M ( x, y)  Plan / x2  y 2  3  


  M ( x, y )  Plan /  x  5    y  3  0    5, 3 : un point
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2
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4
Equation généralisé d'un cercle :
E  M ( x, y )  Plan / x 2  y 2   x   y    0
 
      

x  y   x   y    0   x   x   y   y    0   x     y            0
2 
2 2 2

2
2
2
2
2
2
2
2
 
  2 2
 2   2  4

 x   y  

 
2 
2
4
4
4

2
on pose  
(i ) si  =
2
 2   2  4
4
 2   2  4
(ii ) si  =
4
 2   2  4
(iii) si  =
4
 2   2  4
4
<0  E=
    
=0  E     ,   
  2 2 
 2   2  4
  
>0  E est le cercle de centre    ,   et de rayon R=
4
 2 2
Exemple :
Déterminer les ensembles des points M suivants :
E  M ( x, y )  Plan / x 2  y 2  2 x  3 y  4  0
1


F   M ( x, y )  Plan / x 2  y 2  4 x  3 y   0 
4




G  M ( x, y )  Plan / x 2  y 2  2 x  2 y  1  0
Solution :
 E  M ( x, y )  Plan / x 2  y 2  2 x  3 y  4  0
22  32  4  4
3
 0 E 
4
4
1


 F   M ( x, y )  Plan / x 2  y 2  4 x  3 y   0 
4


1
2
 4   32  4  24
3

4

 6  0  F est le cercle de centre   2,   et de rayon R= 6
4
4
2




G  M ( x, y )  Plan / x 2  y 2  2 x  2 y  1  0
 
2  2  4 1
2
2  

 0  G    
,

4
2  
  2
2
2
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-IV- Module et argument:
-1) Coordonnées polaires :
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O, u, v .


Soit z un nombre complexe et le point M(z=x+iy) du plan.
Le point M est repéré aussi par ses coordonnée polaires
 r,  , ou le réel strictement positif r est égal à la distance


OM et le réel  est une mesure de l'angle u , OM


M ( x, y )  Plan





OM  x.u  y.v  r cos  .u  r sin  .v


avec r = x 2  y 2  0 et   u, OM  2 


x
x

cos   r 
2
x  y2

on a alors : 
y
 sin   y 

r
x2  y 2

-2) Module d'un nombre complexe :
Le Module du nombre complexe z=x+iy est le nombre réel positif
z.z  x2  y 2 .
On le note z  z.z   
Dans le plan complexe, le module du nombre complexe z est égal à la distance OM , ou M est le point
d'affixe z. OM  z  r
Exemple :
3  5i  32   5   9  25  34  Si M (3, 5) on a :OM  34
2
A SAVOIR :
Opérations sur les modules des nombres complexes:
Pour tous complexes z et z' on a :
z z'  z  z'
z  z  z
zn  z
n
1 1

z  *
z
z
avec n  
Re( z )  i Im( z )  Re( z )  Im( z )
2
2
z
z

z'  *
z'
z'
z  z. z '
2
Remarque : Le Module est une extension aux nombres complexes de la notion de valeur absolue.
z  a  i.0   on a : z  a 2 
a

Valeur absolue
Exemples :
1  i 
3 3
 1
2
 12  1  1  2
4  4
Fiche 1 : Nombres complexes
2i  02   2   2  2
2
  si    
 si    
 .i    
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6
-3) Argument d'un nombre complexe non nul :
Soit z un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z dans le plan complexe.


Toute mesure  de l'angle u , OM est un argument de z . On note : arg( z )    2 


Re marque : arg( z)    2     2k avec k 
Conséquence : tout point M d'affixe z non nul a pour coordonnées polaires

 z ,arg( z) par rapport à O, u 
il en résulte les formules suivantes :
Si arg(z)    2  et z  r alors :

Re( z )
Re( z )  r.cos   cos  
z


Im(z)  r.sin   sin   Im( z )

z

Exemple :
Soit z  1  i 3 .En designant par  un argument de z il vient :
Re( z )
1
1




 cos   z  2
2
Le
réel
est une solution de ce systeme
2

1  3

3



Im(
z
)
3
3
 sin 

On conclut que arg(z)   2 


2


3

z
2
12  3

Astuce 5:
 z     arg(z)  0  2 
 z    arg(z)  0    
EXP: arg(2)  0  2  et arg(-1)    2 
 z     arg(z)    2 


z  i   arg(z)   2 





2
 z  i  arg(z)     
EXP: arg(i)   2  et arg(-i)    2 
2
2
2
 z  i  arg(z)     2 


2
a    on a :
arg(a  ai) 

4
 2 


4
 2 

2 
4
4
3
3
arg( a  ai) 
 2  EXP :arg(3  3i)  2 
4
4
3
3
arg( a  ai)    2  EXP :arg(  2  i 2)    2 
4
4
A SAVOIR :
Opérations sur les arguments:
Pour tous complexes non nuls z et z' on a :
arg(a  ai)  
 2 
EXP :arg(1  i) 
EXP :arg(2  2i)  
arg( z  z ')  arg(z)  arg(z')  2 
arg( z n )  n arg(z)  2 
arg( z )   arg(z)  2 
arg( z)    arg(z)  2 
Fiche 1 : Nombres complexes
1
arg( )   arg(z')  2 
z'
z
arg( )  arg( z )  arg(z')  2 
z'
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7
Cercle et formules trigonométrique :
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8
-V- Nombres complexes et géométrie:
-1) Distance de deux points :
La distance de deux ponts A et B est : AB  zB  z A
Exemple :
Soient A(-1+3i) et B(4+7i) on a :
AB= z B  z A  (4+7i)  (-1+3i)  5  4i  41
-2) angles et complexes :
A,B et C trois points d'affixes respectives z A ; zB et zC Soit le nombre complexe
 
z  zA
AC

Z C
; on a Z 
et Arg(Z)  AB; AC  2 
zB  z A
AB


Astuce 6 :
 Pour montrer que A, B et C sont alignées on montre que :
 
 
z z
z z

AB et AC colinéaires  AB; AC  Arg( C A )  0    C A  
zB  z A
zB  z A
 Pour monter que le triangle ABC est rectangle (en A par exemple) on montre que :
 1ere méthode avec les arguments ( angles):
 
 
z  zA
z  zA


AB et AC orthogonaux  AB; AC  Arg( C
)     C
 i
zB  z A
2
zB  z A




 2eme méthode avec les modules (distances) :
2
2
2
AB2  AC 2  BC 2  zB  z A  zC  z A  zC  zB : La réciproque de Pythagore.
-VI- Les déférentes formes d'un nombres complexes:
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O, u, v . Soit z un nombre complexe non nul et le point M


d'affixe z
on pose z  r et   arg(z)  2 
 
x  iy  r  cos   i sin     r ,    r
ei
  exp onentielle
Les formes 
z
a lgé brique
polaire
trigonométrique
Formule de binôme de Newton :


2
2
 z  r  x  y  

Re( z ) x
avec :  cos  

z
r


Im( z ) x

 sin  
z
r

A SAVOIR : Opérations sur les exponentielles:
rei  r ' ei '  rr ' e 
i   '
n
k 0
ei 0  ei 2 k  1 k  
  r ,    r ', '   rr ',    '
ei  ei  2 k 1  1 k  
 r ,     r ,    '
re
r i   '
 e  
i '

r 'e
r'
 r ', '  r '
i
 re 
i
n
n
  a, b    2 et n   :  a  b    Cnk a n  k b k
e
 r n ein n     r ,    r n , n  
i

2
 i et e
i

2
 i
n
Formules de Moivre :
  , n      :  ei   ein
n
i
e  cos   i sin 
 e  cos   i sin   cos   i sin   cos( )  i sin( )  e
i
i
en alors : e  e
 i
  re
Fiche 1 : Nombres complexes
i
  re
 i
BAC : Sc & Maths
 i
  cos   i sin    cos  n   i sin  n  
n
Formules d'Euler :
cos  
Mr : OUNI Anouar
ei  ei
ei  ei
et sin 
2
2i
[email protected]
9
Série
N°1
Prof: OUNI Anouar
Nombres complexes
BAC : Maths & Sciences
Série d'exercices N°1
A-S: 2013-2014
Exercice 1 :
Déterminer dans chacun des cas ci-dessous, les nombres complexes z sous forme algébrique :
2010
2011
2
z i
z i
2 z  i 2iz
4  2i
f ) z= 1  i   1  i 
 4  2i 
a)
 2i b)
 1  i c)

d ) z=
z i
2z
iz
1 z
1  2i e) z=  2i   i
Exercice 2 :
Soit z1  1  i et z 2  4  5i
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
2
iz  2 2i.z1.z2
2
2 z1  z2 ;  z2  ; z1  z2 ; 1
;
z1  4
z1  iz2
Exercice 3 :
1
3
Soit j le nombre complexe définie par : j    i
2
2
1
1. Montrer que : j 2  j 
j
2. En déduire que : j 3  1 et que : 1+j +j 2  0


3. Montrer que : a3  b3   a  b  a  jb   a  j 2b    a, b  2
Exercice 4 :
On donne les nombres complexes suivants : z1 
2012  i 2011
2012  i 2011
et z2 
2012  i 2011
2012  i 2011
Montrer que :  z1  z2    et que :  z1  z2   i
Exercice 5 :
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O, u, v .Soit z un nombre complexe.


Déterminer et construire les ensembles des points suivants :


A  M ( z )  P / z  1  2i  2
2z  2


D  M ( z)  P /
 2
z i




z i


B  M ( z )  P / z  2i   z  3i
E1  M ( z )  P /
 
z i


z i



z 1 
E2  M ( z)  P /
 i 
C  M ( z )  P /
 1
z i


z i


Exercice 6 :


z 1


F1  M ( z )  P /
 
z


z 1


F2  M ( z )  P /
 i 
z





G  M ( z )  P / arg(z)  et z  2 
3


  
Déterminer la forme exponentielle puis trigonométrique des nombres complexes suivants :     , 
 2 2


z7  cos   i sin 
z4  6  i 2
z0  sin  i sin
9
9
z8  cos   sin   i  cos   sin  
1 i


z5 
2
z1  2 cos  2i sin
z9   i  tan  
6 i 2
5
5
2


z10  sin   i cos 
z2   cos  i sin
 6 i 2
7
7
z6 
1  i tan 
6
z11 


1  i 
z3  sin  i cos
1  i tan 

9

9
Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
Mr : OUNI Anouar
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10
Exercice 7 :
1. Monter que :  z   , z  1  z  1
z
2. En déduire que : si  z1 , z2   2 tels que z1  z2  1  z1  z2  
1  z1 z2
3. Soit z' un nombre complexe. Déterminer z pour qu'on a : z '  1  z '  z '2
Exercice 8 :
Déterminer et représenter les ensembles des points M d'affixe z suivants :
A  M ( z )  plan / z  a  i (a  1) ; a  
D  M ( z )  plan / z  2ei ;    0,  



B   M ( z )  plan / z  2i sin ;   0, 2  
2


E  M ( z )  plan / z  2ei ;    0,  
F  M ( z )  plan / z  2  cos   i sin  ;    0, 2 
C  M ( z )  plan / a( z  i )  i ( z  1) ; a  *
Exercice 9 :
Soit A, B et C les points d'affixes respectives : 2+i , -1 et 3-2i
1. Placer dans le plan complexe les points A, B et C.
2. Déterminer l'affixe du point I milieu de [BC]
3. Calculer AB , AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ?
4. Déterminer l'affixe du point D symétrique de A par rapport à I
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Exercice 10 :
Déterminer a l'aide du graphique ci-contre , un argument des affixes
des points A ,H ,M ,E ,D et F.
Exercice 11 :
1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
3
3
5
3
1  i
z1  8i. 3  i
 1  i 3  1  i  . 1  i 
3i 1  i 3
z2 
z4  
 .
z3 
2
2
5  5i
3

i


1  i 




2. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :



1 i
2i
i
i
1  
z5 
e
z6  e 4
z7   3e 3
z8  2ie 6 .  , 
cos1
2 3 
Exercice 12 :
Soit z1  1  i et z 2  3  i
a. Déterminer la forme algébrique et la forme trigonométrique de z1 .z 2
b. En déduire les valeurs exactes de cos

12
et sin

12
Exercice 13 :
a. Donner la forme exponentielle du nombre complexe : Z 
1 i 3
3 i
b. En déduire la forme algébrique de Z 6
c. Donner la forme exponentielle du nombre complexe : Z '  1 i .
d. En déduire que :
Fiche 1 : Nombres complexes
 1  i 
11
 32  32i
BAC : Sc & Maths
Mr : OUNI Anouar
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11
Exercice 14 :
-A) Soit un réel  de 0,   .

i


i
 
1. Montrer que : 1  ei  2cos e 2 et que : 1  ei  2sin e 2
2
2
2. En déduire le module et l'argument de chacun des nombres complexes : 1  ei et 1  ei
-B)
1. Donner la forme exponentielle des nombres complexes z dans chacun des cas suivants :
ei  ei
 
 
  
z1  1  i tan  ;   0, 
z3  ei 2  i ;   0, 
z2  i
;    , 
i
e e
 2
 4
 2 2
2. On désigne par M et M' les points images respectives de z3 et z 3 .Déterminer l'affixe du point N pour
que OMNM' soit un losange.


  i  

3. Montrer que z3  2 cos     e  4 
4

z
4. Mettre 3 sous la forme exponentielle.
z3
5. En déduire la valeur de  pour que OMNM' soit un carré.
6. Construire le carré OMNM' pour la valeur de  trouvée.
Exercice 15 :
 
Soit  un réel de  0,  .On désigne par  le cercle trigonométrique de centre O . Soit un point M de 
 2
d'affixe z tel que : arg( z )    2 
1.
2.
3.
4.
Placer les points A et B d'affixes respectives : z A  1  cos  et z B  1  i sin 
Montrer que le quadrilatère OAMB est un parallélogramme.
Montrer qu'il existe une valeur de  tel que OAMB est un losange.
Donner une valeur approchée de  à 10 1 près.
5. On désigne par    l'aire du parallélogramme OAMB. Montrer que    est maximale ssi  

3
Exercice 16 :
1
sin   i 1  cos    .
2
1. Déterminer en fonction de  , le module et un argument de z
Soit  un réel de 0,   et z le nombre complexe défini par : z 
2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes : z1  z  i et z 2 
z
z i
3. On considère les points M et N d'affixes respectives z1 et z 2 .
a. Déterminer l'ensemble E décrit par le point M.
b. Déterminer l'ensemble F décrit par le point N.
c. Représenter E et F.
Exercice 17 :
On désigne par  le cercle trigonométrique de centre O . Soit un point M de  d'affixe t tel que :
 

 
u, OM    2  ,   0,  . on pose p=t 3 et q=2t .
 2
1. Ecrire chacun des nombres p et q sous la forme trigonométrique.
2. Soit w  2t  t 3 , A , B et C les points d'affixes respectives p , q et w .Placer dans le plan les points


A , B et C lorsque  

3
3. Déterminer le réel  pour lesquels O, A et B sont alignés.
4. Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Déterminer  pour que OABC soit un rectangle.
Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
Mr : OUNI Anouar
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12
Série
N°2
Nombres complexes
Exercices récapitulatifs
Prof: OUNI Anouar
BAC : Maths & Sciences
A-S: 2013-2014
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
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13
Exercice 4 :
Exercice 5 :
Exercice 6 :
Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
Mr : OUNI Anouar
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14
Exercice 7 :
Exercice 8 :
Exercice 9 :
Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
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15
Fiche 2
Prof: Mr OUNI Anouar
Nombres complexes
BAC :Maths & Sciences
Cours : Equations complexes
A-S: 2013-2014
-I- Equation de type z 2 =  avec   C* " Racine carrées d'un nombre complexe " :
Activité :
Résoudre dans  les équations suivantes :
E : z2  4
G : z 2  17
F : z 2  9
H : z 2  4i
Solution :
-1) E : z 2  4  z   4  z  2  S  2;2
I : z2  1 i
K : z 2  4  3i
J : z2  3  i
L : z 2  3  4i
-2) F : z 2  9
1ere Méthode :
2
z 2  9  z 2  i2  32   3i   z  3i  S  3i;3i
1
9
eme
2 Méthode : " Analytique "
On pose z=x+iy avec x et y des réels , on a :
2
2
z 2  9   x  iy   9  x 2  i  2 xy    iy   9  x 2  i  2 xy   y 2  9
 x 2  y 2  9 1

 2 xy  0 2
2  x  0 ou y=0
Si x=0 on a d'aprés 1 02  y 2  9  y 2  9  y  3
Si y=0 on a d'aprés 1 x 2  02  9  x 2  9  x n'existe pas car x  
Donc les solution sont z=x+iy=0  3i  S  3i;3i
3eme Méthode : " Trigonométrique "
On pose z   r,  avec r= z  x2  y 2 et arg(z)   2 
z 2  9   r ,  
2
9,  

  r 2 , 2   9,  
Forme polaire de 9
 r  9 avec r     r  3

2    2   2    2k ; k  0;1
2
 r 3



i
 


2

z

3,

3
e
 3i

0


 0  2


 2


 S  3i;3i



i
 k   k ; k  0;1        3




2
2
 3i
 1 2

 z1  3,  2   3e
2







  2 

2

Remarque :
 On utilise généralement la 3eme méthode si on peut déterminer l'argument de nombre complexe z 2 .
C'est-à-dire si l'angle est remarquable.
-3) G : z 2  17  z 2  i 17


Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
2

 z  i 17  S  i 17; i 17

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16
-4) H : z 2  4i
1ere Méthode :
On pose z   r,  avec r= z  x2  y 2 et arg(z)   2 
z 2  4i   r ,   
2
 
 4, 2 

 
  r 2 , 2    4, 
 2
Forme polaire de 4i
 r  4 avec r     r  2




2   2   2   2k ; k  0;1

2
2
 r2



i
 


4

z

2,

2
e
 0 
 0  4


 4 




3
i
 k   k ; k  0;1        5

3 

4
1
4
z

2,


2
e


 1 
4
4


4 




3
  2 


4

2
2 

 2
2
2








z0  2  cos  i sin  = 2+i 2

4
4

















 z  2 cos   3   i sin   3     2  i 2   z

0




 1
4 
4 





2
2






2
2


 S   2  i 2; 2+i 2

2eme Méthode : " Analytique "
On pose z=x+iy avec x et y des réels , on a :
2
2
z 2  4i   x  iy   4i  x 2  i  2 xy    iy   4i  x 2  i  2 xy   y 2  9
 x2  y 2  0 1



2 xy  4  xy  2  0 2
 2
2
x  y  4 3
cette 3eme équation est ajouté d'après : z 2  4i  z  4
2
2  x et y de memes signes
1  3  2 x 2  4  x 2  2  x   2   si x= 2  y  2  z 0 = 2  i 2


3  1  2 y 2  4  y 2  2  y   2  2  si x=  2  y   2  z1 =  2  i 2

 S   2  i 2; 2+i 2


Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
Mr : OUNI Anouar
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17
A vous de trouver les résultats suivantes :
-5)

9
i
i

 
I : z 2  1  i  S   4 2e 8 ; 4 2e 8   

 
2 1
i
2
2 1
;
2
2 1
i
2
2  1 

2 

Re marques :
1
1
 x n  n x x    et n  * en particulier : x 2  2 x  2
1
1 1
1

 12  2
2 2
2   2   2  24  4 2
 
 cos

 0 et sin

0
8
8
9
9
 cos
 0 et sin
0
8
8


9
9
, sin , cos
et sin
8
8
8
8

13
i
i

 
2 3
2 3
2 3 
 2 3

-6) J : z 2  3  i  S   2e 12 ; 2e 12   
i
;
i

2
2
2
2 

 




13
13
 En déduire les valeurs exactes de : cos
, sin
, cos
et sin
12
12
12
12
 En déduire les valeurs exactes de : cos




2 3 2
2
 3 2
2
-7) K : z  4  3i  S  
i
;
i

2
2
2
2 

 
 
2
  2 3i 

  3 i 

2
2

L'angle de 4+3i est non remarquable on n'utilise que la méthode analytique
-8) L : z 2  3  4i  S  2  i ; 2  i
L'angle de 4+3i est non remarquable
Astuce : "Déterminer la racine carrée d'un nombre complexe ; Cas général"
Résoudre l'équation z 2   avec   a  ib  *
1ere Méthode : " Analytique "
On pose z=x+iy on alors le système suivant :
 x 2  y 2  Re()  a 1

2
2
z     x  iy   a  ib   z 2    x 2  y 2  a 2  b 2 3

2 xy  b 2 nous indique si x et y ont les memes signes ou non
  Re()
3 1
 x
2
2
  Re()
3- 1
 y
2
2
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18
2eme Méthode : " Trigonométrique "
On pose z   r ,  avec r= z    et   arg(z) 2 
On cherche (si possible) la forme polaire de     ,  
z 2     r ,  
 , 

2
  r 2 , 2     ,  
Forme polaire de 
r 2   avec r    r  


 2    2   2    2k ; k  0;1
r 


i



 z0    ,    e 2



2



0 








2
i (  )
i

  k   k ; k  0;1  

2
2


z


,




e



e
2

 1 

    
2




 1 2




 z0    cos 2  i sin 2 




 z   z     cos   i sin  
0


 1
2
2

Remarque : dans les des résolutions des équations des seconds degrés  est le discriminent , on pose
généralement    2
puisque on ne peut parler de  =  si  est un nombre complexe .
-II- Equations complexes du second degré :
Théorème :
Soit a , b et c trois nombres complexes tel que a  * , et l'équation :  E  : a z 2  b z +c=0
On pose   b2  4ac   2 , on a  est une racine carrée de 
1. Si     alors les deux solutions de (E) sont de type : z ' 
2. Si   0 alors on a une solution double : z '  z''=
b  
b  
et z''=
2a
2a
b
2a
3. Si    2   alors on prend  est une racine carrée de  et on a deux solutions complexes
Dans ce cas :
a. Si      2    on a   i  est on a deux solutions complexes :
z'
b  i
b  i
et z''=
2a
2a
b. Si    2   alors on a deux solutions complexes : z ' 
b  
b  
et z''=
2a
2a
Astuces :
-1) Si a , b et c sont des réelles alors forcement  on a alors :
Si      2    on a   i  est on a deux solutions complexes Conjuguées :
z'
b  i
b  i
et z''=
 z'
2a
2a
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-2) Dans tous les cas si z' et z'' sont les deux solutions d'une équation de second degré  E  : a z 2  b z +c=0
on a : Somme  S  z ' z ''  
b
c
et Produit=P=z'.z''= et on a le système suivant :
a
a
 z ' z ''  S
 
  z 2  S .z  P  0
 z '.z ''  P
b

S    z ' z ''


a
 az 2  bz  c  0  
 P  c  z '.z ''

a
Application 1: "Rappel équation de second degré a coefficients réelles et quelques formules utile"
-1) On donne l'équation :  E  : 3 z 2  9 z +6=0
a. Soit z' et z'' les deux racine de (E) . Calculer S= z'+z'' et P=z'.z''
b
c
S  z ' z ''    3 et P=z'.z''=  2
a
a
b. Résoudre dans  l'équation (E) .
c. Factoriser le polynôme : P(z)= 3 z 2  9 z +6
Solution :
b
c
a- S  z ' z ''    3 et P=z'.z''=  2
a
a
b- 1ereMéthode :
  b2  4ac  81  4  3  6  9  32      3 on prend  =3 une seule racine de 
b   9  3

z'

1


2a
6

 S  1, 2
 z '  b    9  3  2

2a
6

eme
2 Méthode :
c
on a : 3-9+6
 =0  z'= 1 et z''=  2
a
a b  c  0
Remarque : Si on a : a-b+c=0 alors : z'=-1 et z''=-
c
a
c- P(z)= a  z  z ' z  z ''  3  z  1 z  2 
Astuce : "Théorème d'Alembert-Gauss"
Soit P( z )  an z n  an1 z n1  an2 z n2  ....  a1 z  a0 un polynôme de degré n à coefficients complexes alors
l'équation P(z)=0 admet exactement n solutions complexes qu'on note : z0 , z1 , z2 ,..., zn .
n
une factorisation de ce polynôme est : P( z)  a  z  z0  z  z1  ...  z  zn   a  z  zk 
k 0
On d'autre terme : si P( z0 )  0 alors z 0 est une racine de P(z) et on peut écrire :
P( z )

Polynome de degré n
  z  z0  .
Q
( z)

Polynome de degré n-1
Application 2 :
Determiner les solutions de l'équation du second degree (E): p( z )  z 2   2  3i  z  5  i  0
Solution :
2
   2  3i   4  5  i   15  8i
On cherche les deux racines de  que l'on appellera 1 et  2
Ces racines vérifient :  2   x  iy   15  8i
2
Fiche 1 : Nombres complexes
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20
Ce qui permet d'écrire :
 x 2  y 2  15 1
 2
2
 x  y  15  8i  17 3

 2 xy  8  0 2

31
 x  4 et 
2
31
 y  1
2
2 donne : x et y sont de meme signe
On en déduit les deux racines de  sont : 1  4  i et  2  4  i
On en déduit les solutions de l'équation du second ordre :
z0 
2  3i  4  i
2  3i  4  i
 3  2i et z 0 
 1  i
2
2
Le +
Au-delà de  les quaternions :
est un corps quasi-parfait. En effet comme nous venons de le voir, tout polynôme y est totalement scindé.
La question que l'on peut se poser est :
Existe-t-il quelque chose au-delà des nombres complexes qui soit comparable du point de vue des opérations
à et à ? Autrement écrit, un corps au-delà de ?
La réponse est oui ! Mais à la différence des deux précédents, il n'est pas commutatif pour la
multiplication. C'est-à-dire que le produit a × b peut être différent du produit b × a.
Ce corps est celui des quaternions.
On le note . On doit sa genèse à l'irlandais William Hamilton au XIXème siècle.
Pour le définir, il convient d'introduire deux nouveaux nombres j et k.
Puis on construit une table de multiplication :
Produit
de
a×b
i
j
k
i
-1
k
-j
j
-k
-1
i
k
j
-i
-1
Fiche 1 : Nombres complexes
BAC : Sc & Maths
Avec cette table, l'ensemble se retrouve muni d'une structure
de corps.
Tout quaternion est alors de la forme :
Q= réel1 + réel2 i + réel3 j + réel4 k.
Mais tout cela est une autre histoire...
Mr : OUNI Anouar
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21
Le ++
Nombres complexes pourquoi les trouvent-on en physique
La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par
exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes électromagnétiques, ou en
électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des autoinductances (selfs ou bobines) notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples : R +
jLw ou R – j/Cw). Dans le domaine de l'électronique, le nombre i représentant l'imaginaire en
mathématiques, se note j (pour ne pas risquer de confusion avec les intensités de courant). On peut tracer
alors le diagramme de Fresnel, et ce quelle que soit l'expression.
En fait, on se sert du fait que ℂ contient ℝ pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un
paramètre vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’un seul nombre, ce qui
est bien plus simple.
En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique
comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on
peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela
simplifie grandement les opérations.
On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines,
comme le traitement du signal.
Mécanique quantique :
Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes. Les
fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des
théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions
(espace-temps), mais de 5 et plus — dans certaines théories jusqu’à 11 — aux échelles quantiques (petites).
Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension imaginaire pourrait donc fort
bien correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité
d’écriture.
Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour
engendrer des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite (Fractale, Complexité de
Kolmogorov, Compression, Entropie de Shannon et même Notation neumatique en musique !!).
Mécanique des fluides dans le plan :
En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En
effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en Vx et Vy. Or, on montre
que :
Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle
que :
où
Ceci permet encore d’écrire :
On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on
obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut
modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit
être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats
simples d’analyse complexe.
Pour plus d'information contacter moi par email : [email protected]
Ou sur le site : https://www.facebook.com/Recherche.Mathematique
par télé: 22 290 911
Mr OUNI Anouar
Fiche 1 : Nombres complexes
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22
Prof: Mr OUNI Anouar
Nombres complexes
Série
N°3
BAC :Maths & Sciences
Equations de second degré
A-S: 2013-2014
Exercice 1 :
Résoudre dans  les équations suivantes :
( E ) : 1  z   1
(F) :  2 z  1   i  z   0
2
2
2
(I) : z 2   4  2i  z  2  4i  0
(H) : z 2  2iz  1  0
Exercice 2 :
Résoudre dans  les équations bicarrées suivantes :
( E ) : z 4  6 z 2  25  0
(G) : z 2  z  1  0
(J) :  2  i  z 2  1  7i  z  5  0
(F) : z 4  4 z 2  77  0
(G) : z 4   3  i  z 2  2 1  i   0
(H) : z 4  1  i  z 2  i  0
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