EXERCICES(4é.Math) B.Tabbabi Exercice 1: Répondre par vrai ou faux en justifiant. 1 1 et v n 3 sont adjacentes. n n 2.L'ensemble des points M du plan d'affixes z i + e i où 0, 2 est un cercle. 3. L'ensemble des isométries laissant globalement invariant un triangle équilatéral ABC de centre O est: S , S , S , r , r OA 2 . OB OC 2 O , O , 3 3 x sin x 4.La fonction f : x est prolongeable par continuité en 0. 2 x sin x 1.Les deux suites réelles définie sur * par u n 2 Exercice 2: ABC est un triangle équilatéral direct de centre O.A' , B' et C' sont les milieux respectifs de [BC] , [AC] et [AB].On note I le milieu de [AB'] et la médiatrice de [AB']. Soit l'ensemble des isométries du plan transformant le segment [AB'] en le segment [BC']. 2 1.Montrer que la rotation R de centre O et d'angle est un élément de . 3 2.Soit f un élément quelconque de .On pose g R 1 f . a.Déterminer g AB ' . b.Déterminer toutes les isométries laissant le segment [AB'] globalement invariant. c.En déduire que R, R S I , R S AB ' , R S . Exercice 3 : 1.Résoudre dans l'ensemble 2.Soit dans des nombres complexes l'équation : z 2 2 3 i z 1 3 i 0 . l'équation ( E ) : z 3 2 1 2 i z 2 5 i 2 z 3 i 0 . a.Vérifier que ( E ) admet une solution imaginaire pure z 0 que l'on déterminera. b.Résoudre alors ( E ). 3.Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O , u , v ,on considère les points A , B et C d'affixes respectives 1 , i et 1 + 3i . Soit l'application f : P P M( z ) M ' ( z' ); z' = i z + 1 + i . a.Montrer que f est une isométrie. b.Déterminer les images de A , B et C par f. c.Caractériser alors f. 4.La droite ( BC ) coupe ( O , u ) en H.Déterminer l'affixe de H. Exercice 4: On considère la suite réelle ( u n ) définie sur 1.Montrer que pour tout n de par u 0 = 1 et u n 1 1 u n2 pour tout n de un . , u n 1. 2.Vérifier que ( u n ) est croissante. on a : u k2 1 u k2 2 3.a. Vérifier que pour tout k de b.En déduire que pour tout k de 1 . u k2 on a : 2 u k2 1 u k2 2 u k 1 u k . c.Montrer alors que pour tout entier n 1 on a : 2n u n2 1 2n u n 1 . d. Déduire que pour tout n de 4.a.Montrer que pour tout n de n b.Calculer alors lim . n u n ; un 2n 1 puis calculer lim u n . n 1 2n 1 2 1 2 ( on pourra utiliser le résultat de 3.c.) ; 1 un un un