Fonctions élémentaires

CHAPITRE 6
Fonctions élémentaires
1. Fonctions polynomiales et rationnelles
Un polynôme P à valeurs dans (un corps) K de degré n est une
expression
(1.1)
P (X) := an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ,
où a0 , a1 , . . . , an ∈ K et an 6= 0. L’ensemble de tous les polynômes à
valeurs dans K est noté K [X] et de ceux dont le degré est inférieur
où égal à n par Kn [X]. Par exemple, on dénote Z [X] , R [X] et C [X] ,
respectivement, l’ensemble des polynômes à valeurs entières, réelles et
complexes.
Puisque tout élément de Kn [X] est déterminé par ces coefficients
jusqu’à l’ordre n, il y a un isomorphisme entre Kn [X] est l’espace
vectoriel Kn+1 sur K de dimension n + 1.
Les opérations arithmétiques sur K [X] sont définies de façon naturelle.
Une fonction p : R → R est dite polynomiale réelle s’il existe un
polynôme (1.1) dans R [X] , dont les coefficients définissent p, comme
suit
p (x) := an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
pour tout x ∈ R.
Un nombre r est dit une racine d’une fonction polynomiale p si
p(r) = 0. Dans la suite, on abrégera fonction polynomiale par polynôme.
On vérifie que
Proposition 1.1. Si a, b ∈ K [X] et deg a > deg b, alors il existe
q, r ∈ K [X] tel que
a = bq + r
et deg r < deg b.
Proposition 1.2. Un nombre x0 ∈ R est une racine d’un polynôme
p si et seulement s’il existe un polynôme q tel que
(1.2)
pour tout x ∈ R.
p(x) = (x − x0 ) q(x)
59
60
CHAPITRE 6. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
Démonstration. Si (1.2), alors p(x0 ) = (x0 − x0 ) q(x0 ) = 0. Réciproquement,
si x0 est une racine de p, alors d’après la proposition 1.1, il existe
r ∈ R0 [X] (c’est-à-dire il existe a0 ∈ R tel que r(x) = a0 ) et q ∈ R [X]
tel que
p(x) = (x − x0 )q(x) + a0 ,
et par conséquent, a0 = 0.
3,2
2,4
1,6
0,8
-4,8
-4
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4
4,8
-0,8
-1,6
-2,4
-3,2
Figure 6.1. Fonction f (x) =
totes x = −1 et x = 1.
x2
,
x2 −1
ainsi que les asymp-
De même,
Proposition 1.3. Un nombre z0 ∈ C est une racine d’un polynôme
p ∈ C [X] si et seulement s’il existe un polynôme q ∈ C [X] tel que
(1.3)
pour tout z ∈ C.
p(z) = (z − z0 ) q(z)
D’après le théorème fondamental de l’algèbre (théorème 0.13),
Théorème 1.4. Tout polynôme à coefficients complexes de degré n
a précisément n racines (complexes).
Corollaire 1.5. Tout polynôme à coefficients réels de degré n a
précisément n racines (complexes).
Proposition 1.6. Si z ∈ C est une racine de p ∈ R [X] , alors z
est aussi une racine de p.
MATHÉMATIQUES L1
61
Une fonction f est dite rationnelle s’il existe deux polynômes à
coefficients réels p, q tels que
p(x)
f (x) =
q(x)
pour tout x ∈ R tel que q(x) 6= 0. Ainsi f est définie sur R\{x : q(x) = 0} .
2. Fonctions trigonométriques
On appelle l’angle entre deux vecteurs v0 et v1 non nuls dans R2 , la
partie du plan contenue entre les deux demi-droites sortant de l’origine
0 et passant par v0 et v1 respectivement. On mesure les angles en leur
associant la longueur du segment délimité par ces demi-droites du cercle
de rayon 1 centré à l’origine. Ainsi la grandeur d’un angle est comprise
entre 0 et 2π et ces deux limites correspondent à la même position de
v0 et v1 .
1
1
✓
cos ✓
1
sin ✓
1
1
Si θ est un angle entre v0 = (x0 , y0 ) et v1 = (x1 , y1 ), alors
mercredi 20 novembre 13
cos θ :=
hv0 , v1 i
,
kv0 k kv1 k
p
où hv0 , v1 i := x0 x1 +y0 y1 et si v = (x, y) , alors kvk := x2 + y 2 . Ainsi,
le cosinus cos θ de l’angle θ est défini comme le rapport entre la base
et l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la projection de kv11 k v1
sur kv10 k v0 et de kv11 k v1 .
Le sinus sin θ de l’angle θ est défini comme le rapport entre la
hauteur et l’hypoténuse du même triangle rectangle.
3
2
62
CHAPITRE 6. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
1
-5
-2,5
0
2,5
5
-1
Figure 6.2. Le graphe du sinus passe par (0, 0) et du
cosinus par (0, 1) .
-2
-3
Si on suppose que v0 et v1 ont la longueur unitaire (kv0 k = 1 =
kv1 k), alors on mesure l’angle comme la distance parcourue sur le cercle
unitaire par un point qui va de v0 à v1 dans le sens antihoraire, dit aussi
trigonométrique. En admettant que dans ce parcours le point puisse
faire plusieurs tours, on identifie θ et θ + 2πn pour tout n ∈ Z. Ainsi,
à tout nombre réel r on associe l’angle. De telle sorte, on peut définir
le sinus et et le cosinus tout r ∈ R de façon périodique
sin r := sin θr , cos r := cos θr
où θr = min {r − 2πn : r − 2πn ≥ 0, n ∈ Z} .
3
2
1
-5
-2,5
0
2,5
-1
-2
-3
Figure 6.3. Le graphe de la tangente.
On définit la tangente par
tan θ :=
sin θ
,
cos θ
5
MATHÉMATIQUES L1
63
c’est-à-dire le rapport de la cathète opposée à l’angle à celle adjacente. Ainsi la tangente est définie pour θ pour lesquels cos θ 6= 0.
En résumant, tan : R \ ( π2 + πZ) → R. C’est une fonction surjective.
On rappelle
Théorème 2.1 (Pythagore). Si a et b sont les longueurs des cathètes
d’un triangle rectangle et c est la longueur de l’hypoténuse, alors
a2 + b2 = c2 .
Démonstration. Les deux carrés de même aire, où les quatre
triangles rectangles identiques sont répartis de deux façons différentes.
La comparaison des parties restantes
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = c2 + 4( ab
)
2
donne la formule recherchée.
a
b
c
b
a
a
b
c
b
a
Figure 6.4. Les deux carrés de même aire avec quatre
trinagles identiques répartis de deux façons différentes.
Si θ est l’angle entre b et c, alors a = c sin θ, b = c cos θ, donc
Corollaire 2.2. Pour tout θ ∈ R,
(sin θ)2 + (sin θ)2 = 1.
Proposition 2.3. Pour tout α et β,
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α,
cos(α + β) = cos α cos β − sin β sin α.
64
CHAPITRE 6. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
cos(↵ + )
sin sin ↵
↵+
sin cos ↵
sin
↵
1
sin(↵ + )
cos
sin ↵ cos
↵
cos ↵ cos
lundi 23 septembre 13
Figure 6.5. Il suffit de comparer les côtés opposés du
rectangle ci-dessus.
D’où
α+b
α−b
cos
,
2
2
α+b
α−b
sin α − sin β = 2 cos
sin
,
2
2
α−b
α+b
cos
,
cos α + cos β = 2 cos
2
2
α+b
α−b
cos α − cos β = −2 sin
sin
,
2
2
sin α + sin β = 2 sin
et
1
(cos(α − β) − cos(α + β)) ,
2
1
cos α cos β =
(cos(α − β) + cos(α + β)) ,
2
1
sin α cos β =
(sin(α − β) + sin(α + β)) .
2
Puisque sin(x + 2π) = sin x et cos x = sin(x + π2 ), on en déduit (par
récurrence) que
sin α sin β =
sin(x + 2πn) = sin x et cos(x + 2πn) = cos x
MATHÉMATIQUES L1
65
pour tout n ∈ Z et tout x ∈ R, c’est-à-dire sin et cos sont périodiques de
période 2π. Il s’ensuit que sin et cos ne sont pas injectives, ni d’ailleurs
surjectives, car sin(R) = cos(R) = [−1, 1] . La tangente est également
périodique de période π,
tan(x + πn) = tan x
pour tout n ∈ Z et tout x ∈ R. Néanmoins, on définit les fonctions réciproques arcsin, arccos, arctan, mais il s’agit ici des fonctions
réciproques des restrictions des fonctions trigonométriques. Notamment,
arcsin est définie comme la fonction réciproque de sin :
π πl’arcsinus
− 2 , 2 → [−1, 1] , l’arccosinus arccos comme la fonction réciproque
de cos : [0, π] → [−1,
π 1]π et l’arctangente arctan comme la fonction
réciproque de tan : − 2 , 2 → R.
Les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques peuvent
être calculées à partir des dérivées des fonctions trigonométriques.
1
,
1 − x2
−1
arccos 0 x = √
,
1 − x2
1
arctan 0 x =
.
1 + x2
arcsin0 x = √
q
Effectivement, puisque (sin y) +(cos y) = 1, on a cos y = ± 1 − (sin y)2 ,
q
donc pour − π2 ≤ y ≤ π2 on obtient cos y = 1 − (sin y)2 . Il s’ensuit
que
2
2
1
1
=
(arcsin x)
cos (arcsin x)
1
1
= q
=√
.
1 − x2
1 − (sin (arcsin x))2
arcsin0 x =
sin 0
De même, pour 0 ≤ y ≤ π on a sin y =
q
1 − (cos y)2 et ainsi
1
−1
=
(arccos x)
sin (arcsin x)
−1
−1
= q
=√
.
1 − x2
1 − (cos (arccos x))2
arccos 0 x =
cos 0
66
CHAPITRE 6. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
Enfin
1
(arctan x)
1
1
=
.
2 =
1 + x2
1 + (tan (arctan x))
arctan0 x =
tan 0
3. Fonctions hyperboliques
Les sinus et cosinus hyperboliques sont définis
ex + e−x
ex − e−x
et ch x :=
2
2
et la tangente hyperbolique par
sh x :=
th x :=
sh x
ex − e−x
= x
.
ch x
e + e−x
D’autre part,
(ch x)2 − (sh x)2 = 1.
On calcule facilement que le sinus hyperbolique est une fonction
impaire, donc sh 0 = 0,
limx→+∞ sh x = +∞ et limx→−∞ sh x = −∞,
et par conséquent, est surjective.
Le cosinus hyperbolique est une fonction paire, donc n’est pas injective, ch x ≥ ch 0 = 1.
limx→+∞ ch x = +∞ = limx→−∞ ch x.
Donc, la tangente hyperbolique est une fonction impaire. Enfin
limx→+∞ th x = 1 et limx→−∞ th x = −1,
On calcule les dérivées des fonctions hyperboliques.
(sh x)0 = ch x, (ch x)0 = sh x
1
2
(th x)0 =
2 = 1 − (th x) ,
(ch x)
sh x 0 (sh x)0 ch x − sh x (ch x)0
(ch x)2 − (sh x)2
car (th x) = (
) =
=
.
ch x
(ch x)2
(ch x)2
Il s’ensuit que
0
(1) Le sinus hyperbolique est strictement croissant, car (sh x)0 =
ch x ≥ 1 pour tout x ∈ R, donc sh est injectif.
(2) Le cosinus hyperbolique est strictement décroissant sur R− et
strictement croissant sur R+ .
MATHÉMATIQUES L1
67
(3) La tangente hyperbolique est strictement croissante, car (th x)0 =
1
> 0, donc injective.
(ch x)2
Ainsi le sinus hyperbolique admet la fonction réciproque notée arg sh,
ainsi que la tangente hyperbolique restreinte th : R → [−1, 1] admet la
fonction réciproque notée arg th. Le cosinus hyperbolique ch restreint
ch : R+ → {r ∈ R : r ≥ 1} admet la fonction réciproque notée arg ch.
Leurs dérivées sont
1
(arg sh)0 (x) = √
,
1 + x2
1
,
(arg ch)0 (x) = √
2
x −1
1
(arg th)0 (x) =
.
1 − x2
2
2
q Effectivement, puisque (ch y) − (sh y) = 1, on déduit que ch y =
1 + (sh y)2 , donc
1
1
=
ch(arg sh (x))
sh (arg sh (x))
1
1
=√
.
= q
2
2
1
+
x
1 + [sh(arg sh (x))]
(arg sh)0 (x) =
0
On calcule (arg ch)0 de manière analogue. Enfin
(arg th)0 (x) =
1
1
.
2 =
1 − x2
1 − (th (arg th (x)))
Les fonctions hyperboliques réciproques peuvent être représentés en
termes des fonctions élémentaires. Par exemple, calculons x en fonction
de y à partir de
ex − e−x
y = sh x =
.
2
On a
2yex = (ex )2 − 1,
donc en posant z := ex , on obtient
z 2 − 2yz − 1 = 0.
Ainsi ∆ = 4y 2 + 4 et la solution positive z = y +
p
x = ln(y + y 2 + 1).
p
y 2 + 1, donc
68
CHAPITRE 6. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
Il en résulte
p
y 2 + 1),
p
arg ch y = ln(y + y 2 − 1),
1 1+y
arg th y = ln
.
2 1−y
Bien entendu, On peut retrouver les dérivées des fonctions hyperboliques réciproques à partir des formules ci-dessus.
arg sh y = ln(y +