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1/13 THEME 2 : COMPRENDRE/Lois et modeles CHAP 06 LES LOIS DE NEWTON 1. SYSTEMES MECANIQUES. ET REFERENTIELS 1.1. Systèmes mécaniques On appelle système un objet que l’on distingue de son environnement pour une étude particulière. Dans l’étude des mouvements des systèmes matériels étendus, on se limitera au mouvement d’un point de ce système. Exemples : Etude d’un astronaute dans l’espace Le système étudié est constitué par l’un des astronautes que nous distinguons de ses équipiers, de la navette et de la Terre. Etude du système solaire Le système étudié comprend tous les astres du système solaire, que nous distinguons du reste de l’univers. Etude du mouvement d’un électron dans un faisceau Le système se réduit à l’électron étudié, que nous distinguons des autres électrons du faisceau ainsi que du dispositif expérimental 1.2. Référentiel 2/13 Un référentiel, ou solide de référence, est le solide par rapport auquel on décrit le mouvement d’un mobile. Afin de pouvoir repérer un point dans un référentiel, on choisit un repère d’espace lié à ce référentiel. z zM y M yM M yM y M x x xM Repère dans l’espace O xM Repère dans le plan O Repère sur un axe x Exemples de référentiels Référentiels terrestres Les référentiels terrestres sont construits à partir de n’importe quel solide de référence lié à la Terre, c’est à dire fixe par rapport à la Terre. Référentiel géocentrique C’est un référentiel dont l’origine est le centre de la Terre et les trois axes sont dirigés vers trois étoiles fixes de la voûte céleste. Référentiel héliocentrique C’est un référentiel dont l’origine est le Soleil et les axes sont dirigés vers des étoiles fixes. Rem : - Le mouvement d’un objet dépend du référentiel - Le mouvement c’est la combinaison de la trajectoire et de la vitesse : ex mouvement rectiligne uniforme (trajectoire droite et vitesse constante) 3/13 2. VECTEUR POSITION 2.1. Repère d’espace et de temps Dans un repère mathématique (O, ⃗i, ⃗j) L’objet M a comme coordonnées ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM(t) = x(t). ⃗i + y(t). ⃗j indique que M bouge au cours du tps où : x(t) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM(t) = y(t) Valeur ou norme : OM(t) ou ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM(t)‖ = √x(t)2 + y(t)2 Rem ; Pour simplifier on ne met pas le « t » ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐎𝐌 = x. ⃗𝐢 + y. ⃗𝐣 2. VECTEUR VITESSE 2.1. Vecteur vitesse moyenne cf TP a) Par exemple pour le vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝑀 𝑣5 𝑡 4−𝑡6 = ⃗⃗⃗⃗⃗= 6 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀4 𝑀6 𝛥𝑡 b) Caractéristiques ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟓 a la direction et le sens de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝟒 𝑴𝟔 𝑴𝟒 𝑴𝟔 et pour valeur : 𝒗𝟓 = 𝒕 −𝒕 𝟔 𝟒 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟒 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝟒 𝑴𝟔 est également noté Δ𝑶𝑴 4/13 2.2. Vecteur vitesse instantannée a) Définition ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝑂𝑀 Lorsque 𝛥𝑡 tends vers 0, le rapport 𝛥𝑡 est la dérivée du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 par rapport au temps en physique cette dérivée est appelée vecteur vitesse instantanée Il est noté : m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = dOM(t) v(t) dt s m.s-1 b) Caractéristiques du vecteur vitesse Direction : Tangente à la trajectoire Sens : celui du mvt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √vx (t)2 + vy (t)2 Valeur : v(t) = ‖v(t) Rem : Pour un cercle, le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon ⃗⃗ v ⃗⃗ v sens de rotation ⃗⃗ v 5/13 c) Coordonnées du vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x. ⃗i + y. ⃗j On a : OM Or v ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dOM dt = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⃗i + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 . ⃗j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = vx. ⃗i + vy . ⃗j d’où : v(t) Que l’on note 𝑑𝑥 vx = 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ v(t) 𝑑𝑦 vy = 𝑑𝑡 Rem : On note aussi 𝑑𝑥 : ẋ et 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 : ẏ d’où : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vx = ẋ v(t) vy = ẏ 3. VECTEUR ACCELERATION 3.1. Vecteur accélération moyenne a) Par exemple pour le vecteur accélération ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒂𝟓 𝑎5 ⃗⃗⃗⃗⃗= ⃗⃗⃗⃗⃗−𝑣 𝑣 6 ⃗⃗⃗⃗⃗ 4 𝑡6 −𝑡4 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝑣 5 𝛥𝑡 b) Caractéristiques ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒂𝟓 a la direction et le sens de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝑣 𝜟𝒗 𝒆𝒕 pour valeur : 𝒂𝟓 = 𝒕 −𝒕 𝟔 𝟒 6/13 Remarque : La valeur v d'une grandeur vectorielle (vitesse, force, accélération, etc.) est proportionnelle à la norme ‖𝒗 ⃗⃗‖ du vecteur qui la modélise. La valeur et la norme sont liées par l'échelle de représentation. La valeur s'exprime avec une unité. Attention : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜟𝒗𝟓 = ⃗⃗⃗⃗⃗𝒗𝟔 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟒 mais : 𝜟𝒗 ≠ v6 – v4 3.2. Vecteur accélération instantannée a) Définition m.s-1 a⃗⃗ = ⃗⃗ dv dt = En mathématiques, si f est une fonction de t, on note sa dérivée seconde f"(t). On a alors : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d2 OM 𝒅 dt2 f"(t) = 𝒅𝒕 s m.s-2 3.3. Coordonnées On a : v ⃗⃗ = vx. ⃗i + vy . ⃗j a⃗⃗ = Or d’où : ⃗⃗ dv dt = vẋ ⃗i + vẏ . ⃗j a⃗⃗ = ax. ⃗i + ay . ⃗j Que l’on note ̇ ax = vx (t) ⃗a⃗ ̇ ay = vy (t) ou ax = x a⃗⃗ a = y y Valeur : a = ‖a⃗⃗‖ = √ax 2 + ay 2 a⃗⃗ ax = ay = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝒅𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝑑2 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 2 7/13 4. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT - Le vecteur quantité de mouvement permet l'étude du mouvement d'un système. 4.1. Définition Le vecteur quantité de mouvement 𝑝⃗ d'un point matériel est égal au produit de sa masse m par son vecteur vitesse m.s-1 ⃗⃗ = 𝑚. 𝑣⃗ p kg.m.s-1 4.2. Caractéristiques Le vecteur quantité de mouvement a toujours la même direction et le même sens que le vecteur vitesse, car la masse m est une grandeur toujours positive 5. RECONNAITRE UN MOUVEMENT Il existe des trajectoires rectilignes et circulaires, ainsi que des mouvements uniformes et non uniformes 5.1. Mouvements rectilignes uniformes a) Définition - Dans un référentiel donné, le mouvement d'un système est rectiligne et uniforme lorsque la trajectoire est une portion de droite et la valeur de sa vitesse est constante. - Dans un référentiel donné, un système a un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse a toujours même direction, même sens et même valeur : il est constant. Son vecteur accélération est alors égal, à chaque instant, au vecteur nul : a⃗⃗ = ⃗⃗ dv dt = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d2 OM dt2 =0 8/13 b) Graphiques 5.2. Mouvements rectilignes uniformément variés a) Définition - Dans un référentiel donné, le mouvement d'un système est rectiligne et uniformément varié lorsque sa trajectoire est une portion de droite et la valeur de son accélération est constante. - La valeur de la vitesse est alors une fonction affine du temps. - Dans un référentiel donné, un système a un mouvement rectiligne uniformément varié si son vecteur accélération a toujours même direction, même sens et même valeur; il est constant. - Le mouvement rectiligne est accéléré si le vecteur accélération est dans le sens du vecteur vitesse. - Le mouvement est décéléré (ralenti) si le vecteur accélération est dans le sens opposé. b) Graphiques 9/13 5.3. mouvements circulaires uniformes - Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la valeur vde la vitesse et celle a de l'accélération sont constantes - Dans un référentiel donné, un système a un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur v de sa vitesse est constante. - Le vecteur accélération est alors centripète, de valeur a constante : a = 𝒗𝟐 𝑹 b) Vecteur accélération - Le vecteur accélération est centripète, de valeur a constante : a= 𝒗𝟐 𝑹 5.4. mouvements circulaires non uniformes a) Définition - Dans le cas d'un mouvement circulaire non uniforme, la valeur de l'accélération n'est pas constante - Dans un référentiel donné, un système a un mouvement circulaire non uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur de son accélération n'est pas constante. b) Vecteur accélération À chaque instant, le vecteur accélération a se décompose en deux vecteurs : ⃗⃗ = 𝒂 ⃗⃗𝑻 + 𝒂 ⃗⃗𝑵 𝒂 ⃗⃗𝑻 est l'accélération tangentielle : elle est tangente à la trajectoire -𝒂 orientée dans le sens du mouvement, de valeur aT = 𝒅𝒗 𝒅𝒕 ⃗⃗𝑵 est l'accélération normale : elle est centripète, de valeur aN = -𝒂 𝒗𝟐 𝑹 10/13 6. LES LOIS DE NEWTON 6.1. Référentiel Galiléen - C’est un référentiel dans lequel s’appliquent les lois de Newton 6.2. 1ère loi : Le principe de l’inertie Ds un réf Galiléen Si un corps est au repos ou s’il a un mouvement rectiligne uniforme, les forces qu’il subit se compensent (la sommes des forces = 0) Réciproque : Si les forces agissant sur un corps se compensent, alors le corps est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme Rem : - Un corps au repos à tendance à le rester - Un corps en mouvement à tendance à le rester 6.3. 2ème loi de Newton ou principe fondamentale de la dynamique Ds un réf Galiléen si v n’est pas constante, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐅(𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐞𝐮𝐫𝐞𝐬) = 𝑑𝑡 Si m reste constant : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ dp 𝑑(𝑚.𝑣) 𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐅(𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐞𝐮𝐫𝐞𝐬) = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = m. 𝑑𝑡 = m.𝑎⃗ 11/13 6.4. 3ème loi :Principe des actions réciproques Soit A et B , deux corps en interaction, la force ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ exercée par A sur B (F A→B ) et la force ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ exercée par B sur A (F B→A ) ont même direction mais de sens opposés ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ FA→B = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ FB→A 7. COMPLEMENTS DERIVEES PRIMITIVES L L P f é f f 12/13 OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I FONCTION f FONCTION DERIVEE ƒ' ƒ(x) = k (constante) ƒ'(x) = 0 FONCTION DERIVEE ƒ(x) = x ƒ'(x) = 1 u +v u' +v' ƒ(x) = a.x + b ƒ'(x) = a k.u (k : constante) k.u' ƒ(x) = xn ƒ'(x) = n.xn −1 uv u'.v +u.v' 1 v − ƒ(x) = v' v2 u '.v u.v ' v2 u v n u u n.u'.u u' 2. u ƒ(x) = x 1 x ƒ'(x) = 1 2 x ƒ'(x) = - 1 x2 ƒ(x) = cos(x) ƒ'(x) = −sin(x) ƒ(x) = sin(x) ƒ'(x) = cos(x) ƒ(x) = tan(x) ƒ'(x) = 1 + tan2(x) = ƒ(t) = cos(ω.t + ϕ) ƒ'(t) = −ω.sin(ω.t + ϕ) ƒ(t) = sin(ω.t + ϕ) ƒ'(t) = ω.cos(ω.t + ϕ) ƒ(t) = tan(ω.t + ϕ) ƒ'(t) = ω.(1 + tan2(ω.t + ϕ) n −1 1 cos 2 (x) Page 13 sur 13
