Le cercle, une gure optimale Kikoo <3 Bieber 17.05.12

Le cercle, une gure optimale
Kikoo <3 Bieber
17.05.12
Abstract
Nous nous intéresserons ici à la conguration particulière du cercle, gure qui maximise sa surface pour un périmètre donné.
L'étude portera ainsi tout d'abord sur l'aire et le périmètre d'un n-gone pour nalement en déduire que le cercle est le cas
limite d'étude, ce qui nous permettra de conclure.
Nous élargirons ensuite le sujet en analysant la conguration d'une boule, puis nous verrons en quoi une bulle de gaz dispose
d'une forme optimale répondant de manière ecace aux contraintes de son milieu.
1 Aire et périmètre d'un n-gone régulier
∀ n ∈ N ∗ , n ≥ 3,
Un n-gone régulier est un polygone régulier à n côtés,
c'est-à-dire une gure plane comportant n côtés de même
longueur et dont les angles aux sommets ont tous la même mesure.
Notons
h
l'apothème du n-gone,
ρ
son rayon et
b
la mesure d'un de ses côtés.
Nous savons que tout n-gone régulier peut être subdivisé en n triangles isocèles, en vertu de cette dernière propriété. Ainsi, on
peut découper un n-gone régulier en n triangles isocèles de côté
ρ,
de hauteur
h
et de base
Nous calculons l'aire d'un de ces triangles :
On sait tout d'abord que
AT =
b·h
2 .
De plus,
sin
π
n
=
b
2
ρ
⇒
π
π
b
= sin
· ρ ⇒ b = 2 sin
·ρ
2
n
n
Aussi,
cos
π
n
=
π
h
⇒ h = ρ cos
ρ
n
Enn, nous pouvons dire que l'aire d'un de ces triangles est :
AT =
2 sin
π
n
cos
2
π
n
ρ2
=
sin
2π
n
ρ2
2
L'aire d'un n-gone est :
An−gone =
Y
n
AT = n · AT = sin
2
∗∗∗
1
2π
n
ρ2
b.
De même, il est alors aisé de déterminer le périmètre d'un n-gone, qui n'est que le produit par n de la mesure d'un de ses côtés :
Pn−gone =
Y
b = 2n sin
π
n
·ρ
2 Le cercle est une gure optimale d'isopérimétrie
L'isopérimétrie est la science qui s'intéresse à l'étude des propriétés des formes géométriques du plan partageant un même
périmètre (Wikipedia).
En particulier, un des problèmes centraux est de déterminer la forme géométrique plane qui maximise son aire pour un périmètre
donné. Or la réponse à ce problème peut s'avérer être un résultat remarquable en ce qui concerne la conguration géométrique
de certains corps en physique (yeux de bouillon, bulles de gaz ou de savon, géoïde terrestre, ...).
∞
Que devient l'aire d'un n-gone quand son nombre de côtés tend vers
∞
Que devient son périmètre lorsque son nombre de côtés tend vers
?
?
C'est pour cela que nous poserons tout d'abord les outils qui nous permettront de rééchir à la résolution de cette énigme, en
les admettant pour la plupart.
Théorème : Un polygone de n côtés, de périmètre
De plus, si
An−gone
Pn−gone
désigne l'aire du polygone régulier, on dispose des inégalités isopérimétriques :
An−gone ≤
Démo : En eet,
et d'aire maximale pour ce périmètre est régulier.
p = 2n sin
π
n
·ρ
d'où
p2 = 4n2 sin2
π
n
p2
4n tan
π <
n
p2
4π
· ρ2
Encore,
p2
4n tan
π =
n
π
π
4n2 sin2 nπ · ρ2
4n2 sin2 nπ · ρ2
2π
n
2
= n sin
cos
ρ = sin
=
ρ2 = An−gone
π
sin( n
)
n
n
2
n
4n tan nπ
4n cos π
(n)
Aussi, par l'approximation de Gauss,
∀θ ∈ R
assez petit nous avons
tan(θ) ≈ θ,
ce qui nous donne l'inégalité stricte d'un côté.
CQFD
∗∗∗
Lemme : Si un polygone à n côtés est solution du problème isopérimétrique, les angles entre deux côtés partageant
un même sommet sont égaux.
Tout ceci nous permet de dire que parmi les polygones existant, seuls ceux qui sont convexes et réguliers peuvent potentiellement
être solution du problème isopérimétrique.
Intéressons-nous maintenant à l'analyse de l'aire et du périmètre d'un n-gone lorsque son nombre de côtés tend vers l'inni.
2.1
L'aire, un paramètre croissant
L'aire d'un n-gone régulier augmente lorsque son nombre de côtés augmente.
En eet, si
An−gone =
n
2
sin
2π
n
ρ2
alors :
sin 2π
π cos
dAn
n
=
−
dn
2
n
2π
n
2
=
n sin
2π
n
− 2π cos
2n
2π
n
Or
n sin
2π
n
− 2π cos
2π
n
>0
n sin
car
2π
n
2π
n , ce qui équivaut à :
> 2π cos
n tan
2π
n
> 2π , ∀n > 4
inégalité vraie par l'approximation des petits angles.
Nous pouvons penser que cette aire devra être majorée... Nous le vérierons plus tard.
2.2
Le périmètre, un paramètre décroissant
An−gone = 1,
r
π
= 2 n tan
n
Nous montrons que pour un n-gone d'aire constante, disons par exemple
Pn−gone
le périmètre vaut
Démo : D'une part
An−gone = 1 ⇒ ρ2 =
n
2
1
sin
2π
n
=
2
1
1
⇒ ρ= q
·
n sin 2π
π
n
n sin n cos
π
n
D'autre part
Pn−gone
π
n
cos
n 2 sin
=4· ·
2
2 cos nπ
π
n
2
ρ
2An
=
·
=
ρ
cos nπ ρ
2
q
n sin
π
n
cos
cos
π
π
n
√
=2 n
s
n
sin
cos
π
n
π
n
r
π
= 2 n tan
n
∗∗∗
Nous vérions que la dérivée prend des valeurs négatives sur les entiers de
N, ∀n > 4.
Nous en déduisons que le périmètre d'un n-gone est décroissant pour une même aire, quand le nombre de côtés augmente.
Supposons de même que ce périmètre est minoré par une valeur limite, que nous calculerons.
2.3
Résolution
Nous savons que l'aire d'un n-gone augmente quand son nombre de côtés augmente, et que son périmètre diminue conséquemment.
Nous calculons
n
lim An = lim
· sin
n→∞
n→∞ 2
2π
n
ρ2 = lim
n→∞
n 2π
2
n
ρ2 = πρ2
Nous constatons ainsi que l'aire d'un n-gone de rayon 1 est majorée par l'aire d'un disque de rayon 1, quand
De même,
lim 2n sin
n→∞
π
n
ρ = lim 2n ·
n→∞
n→∞
π
· ρ = 2πρ
n
Donc le périmètre d'un n-gone régulier est minoré par le périmètre d'un cercle de rayon 1, lorsque
n → ∞.
Nous pouvons conclure que le cercle est la gure qui maximise son aire pour un périmètre donné et que de manière réciproque,
il minimise son périmètre pour une aire donnée.
Ce résultat est de prime abord assez intéressant, mais nous allons voir qu'il peut aussi se montrer utile et qu'il a même des
applications en physique !
3 La sphère, une surface optimale
Les observations faites précédemment peuvent être étendues à l'espace à trois dimensions.
En eet, la sphère est la surface fermée dont l'aire est minimale pour un volume donné. Nous pourrions penser qu'il existe ainsi
une innité de polyèdres réguliers convexes, qui nous permettraient d'approcher une sphère. Néanmoins, cela n'est pas vrai, car
il n'en existe que 5 : les solides de Platon.
Nous pouvons quand même avoir ce résultat :
Théorème isopérimétrique dans un espace euclidien de dimension 3 : Soit un solide mesurable au sens de Lebesgue
ayant un bord mesurable, son volume est plus petit que celui de la boule dont la sphère a même aire.
3
3.1
Une bulle dans l'eau...
Une bulle de gaz dans un milieu liquide est soumise à une pression interne, qui vise à compenser la pression externe (en état
d'équilibre).
Cet équilibre est dû à la cohésion des molécules qui forment l'interface liquide-gaz.
En eet, celles-ci subissent la force
électromagnétique de Van-Der-Waals qui tend la surface comme une matière élastique.
Cette tension s'oppose à la pression
interne (pression de Laplace) qui tend à faire grossir la bulle.
Nous pouvons d'ailleurs commenter la stabilité d'une bulle de gaz, qu'elle se trouve dans de l'air ou qu'elle se trouve dans un
liquide.
4