Feuille d'exercices 13 PSI Exercice 1 : 1) a) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un polynôme Tn tel que : ∀θ ∈ R, Tn (cos(θ)) = cos(nθ) b) Quel est le degré de Tn ? 2) Montrer queZ l'application dénie pour P, Q ∈ R[X] par : 1 P (t)Q(t) √ dt est un produit scalaire. 1 − t2 −1 3) Soient m, n ∈ N, calculer < Tm , Tn >. Que peut-on en déduire ? Exercice 2 : D'après CCP 2 1) Montrer que Z l'application dénie pour f, g ∈ C ([0, 1], R) par : < f, g >= Exercice 6 : Une fonction continue à valeurs complexes est dite de carré intégrable sur un intervalle I lorsque |f 2 | est intégrable sur I . 1) a) Montrer que l'ensemble E des fonctions continues de carré intégrable sur I est un C-espace vectoriel. b) Montrer que Z l'application dénie pour f, g ∈ E par : f (t)g(t)dt est un produit scalaire et préciser la norme < f, g >= < P, Q >= 1 2012 - 2013 f (t)g(t) + f 0 (t)g 0 (t)dt est un produit scalaire. 0 2) Soit V = {f ∈ C 2 ([0, 1], R), g(0) = g(1) = 0} et W = {f ∈ C 2 ([0, 1], R), f 00 = f }. Montrer que V et W sont des espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux dans C 2 ([0, 1], R). Exercice 3 : Déterminer l'orthogonal des matrices diagonales, puis celui des matrices symétriques dans M2 (R) muni du produit scalaire canonique. Exercice 4 : Soit p un projecteur d'un espace E préhilbertien réel. Montrer que p est orthogonal si et seulement si : ∀x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk Exercice 5 : Soient m, n ∈ N∗ 1) Montrer que l'application dénie pour A, B ∈ Mn,p (C) par : < A, B >= T r(t AB) est un produit scalaire. √ 2) Montrer que : ∀A ∈ Mn (C), |T r(A)| ≤ n kAk où k.k est la norme associée au produit scalaire précédent. I k.k2 , dite norme de moyenne quadratique, associée à ce produit scalaire. 2) Montrer que : ∀f, g ∈ E, | < f, g > | ≤ kf k kgk et en déduire que si (fn ) et (gn ) sont deux suites de fonctions de E convergeant en moyenne quadratique respectivement vers f et g alors < fn , gn > converge vers < f, g >. Exercice 7 : D'après CCP On admet que l'application dénie pour A, B ∈ Mn (R) par : < A, B >= T r(t AB) est un produit scalaire. a b 1) a) On note F = , (a, b) ∈ R2 . Montrer F est un −b a sous-espace vectoriel de M2 (R). b) Déterminer une base orthonormée de F ⊥ . c) Déterminer le projeté orthogonal de J = 1 1 1 1 sur F ⊥ . 1 2 3 2) a) Exprimer la distance de M = 0 1 2 à S3 (R). 1 2 3 b) Montrer que l'ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de Mn (R) et donner sa dimension. Déterminer la distance à H de la matrice J dont tous les coecients sont égaux à 1. Lycée de l'Essouriau - Les Ulis