Algèbre L2 S4 - Page Personnelle de Jérôme Von Buhren

Algèbre L2 S4
Exercice : Dans R4 muni de sa structure euclidienne canonique soit F le sous-espace vectoriel défini
par
F = (x, y, z,t) ∈ R4 | x + y + z + t = x − y + z − t = 0 .
1. Déterminer une base orthonormée du supplémentaire orthogonal de F dans R4 .
2. Ecrire la matrice de la projection orthogonale sur F relativement à la base canonique de R4 .
3. Ecrire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à F relativement à la base canonique de
R4 .
4. Posons u = (1, 2, 3, 4). Donner la valeur de la plus petite norme possible pour un vecteur la forme
u − f avec f dans F.
Correction :
1. On commence par déterminer F ⊥ . On commence par remarquer que
F = Vect (1, 0, −1, 0); (0, 1, 0, −1) .
Ainsi, un élément (x, y, z,t) ∈ R4 est dans F ⊥ ssi il vérifie les équations
< (x, y, z,t) | (1, 0, −1, 0) > = 0
x−z = 0
⇔
< (x, y, z,t) | (0, 1, 0, −1) > = 0
y−t = 0
On conclut donc
F ⊥ = Vect (1, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 1) .
On en déduit qu’une base orthonormée de F ⊥ est
1
1
√ (1, 0, 1, 0); √ (0, 1, 0, 1) .
2
2
2. On dispose de la base orthonormée de F suivant
1
1
(u1 , u2 ) = √ (1, 0, −1, 0); √ (0, 1, 0, −1) .
2
2
On utilise pour (x, y, z,t) ∈ R4 la formule
pF (x, y, z,t) =< u1 , (x, y, z,t) > u1 + < u2 , (x, y, z,t) > u2
1
1
= √ (x − z)u1 + √ (y − t)u2
2
2
1
= (x − z, y − t, z − x,t − y).
2
Ainsi, la matrice de pF relativement à la base canonique est


1
0 −1 0
1 0
1
0 −1
.
MatC (pF ) = 

1
0
2 −1 0
0 −1 0
1
1
3. En utilisant la relation sF = 2pF − Id, on obtient


0
0 −1 0
0
0
0 −1
.
MatC (sF ) = 
−1 0
0
0
0 −1 0
0
4. Par le cours, on a que
inf ku − f k = ku − pF (u)k.
f ∈F
On a que pF (u) = (−1, −1, 1, 1), d’où
ku − pF (u)k = k(2, 3, 2, 3)k =
√
26.
Exercice : Soit R2 [x] le R-espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2.
Considérons l’application ϕ : R2 [x] × R2 [x] → R définie par
2
ϕ(P, Q) =
∑ P(k) Q(k)
k=0
1. Montrer que l’application ϕ définit un produit scalaire sur R2 [x].
2. Pour p et q deux entiers de {0, 1, 2} calculer ϕ(x p , xq ).
3. Orthonormaliser par le procédé de Schmidt la famille {1, x, x2 }.
Correction :
1. – On commence par vérifier que ϕ est linéaire en la première variable et symétrique, ce qui permet
d’obtenir que ϕ est bilinéaire.
– Ensuite, en notant q(P) = ϕ(P, P), on a bien que q(P) ≥ 0 pour tout polynôme P ∈ R2 [x]. Ainsi
ϕ est positive.
– Finalement, si q(P) = 0 avec P ∈ R2 [x], alors P(0) = P(1) = P(2) = 0 et comme P est de degré
au plus 2, on conclut que P = 0. Ainsi, ϕ est définie positive, donc c’est un produit scalaire.
2. Par calcul direct
ϕ(1, 1) = ϕ(1, x) = 3,
ϕ(1, x2 ) = ϕ(x, x) = 5,
ϕ(x, x2 ) = 9,
ϕ(x2 , x2 ) = 17.
3. Notons v1 = 1, v2 = x et v3 = x2 . On appliquer l’algorithme de Schmidt
– On pose u01 = v1 . On le normalise en posant
u1 =
u01
1
=√ .
ku01 k
3
– On pose u02 = v2 + λ u1 . On veut que u02 soit orthogonal à u1 , ce qui donne
√
ϕ(u02 , u1 ) = 0 ⇒ λ = −ϕ(v2 , u1 ) = − 3.
Donc u02 = x − 1 et en normalisant
u2 =
u02
x−1
= √ .
ku02 k
2
2
– On pose u03 = v3 + αu1 + β u2 . On veut que u03 soit orthogonal à u1 et u2 , ce qui donne
5
ϕ(u03 , u1 ) = 0 ⇒ α = −ϕ(v3 , u1 ) = − √ .
3
√
0
ϕ(u3 , u2 ) = 0 ⇒ β = −ϕ(v3 , u2 ) = −2 2.
Donc u03 = x2 − 2x + 1/3 et en normalisant
u0
u3 = 03 =
ku3 k
r
2 2
(x − 2x + 1/3).
3
La base obtenue de R2 [x] est donc
1 x−1 r2
(x2 − 2x + 1/3) .
(u1 , u2 , u3 ) = √ ; √ ;
3
3
2
3