Résolution graphique d`équations

Résolution graphique d’équations
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Résolution graphique d’équations
I)
Exemples
On ne peut plus appliquer la méthode précédente utilisée pour f (x) = k parce que
cette fois k s’exprime en fonction de l’inconnue x au lieu d’être une constante.
La question revient en fait à trouver un point de la courbe dont l’ordonnée est égale
à l’abscisse. En effet, si on pose y = f (x), le point de coordonnées (x; y) appartient
à la courbe par définition, et dire qu’il est solution du problème équivaut à dire que
y = x.
Quel est l’ensemble des points du plan tels que y = x ? C’est une droite qui passe
par l’origine et par le point de coordonnées (1; 1). C’est la représentation graphique
de la fonction linéaire g définie par g(x) = x.
On cherche l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite. Graphiquement, on trouve x = 1
1. Voici la représentation graphique d’une fonction f définie sur l’intervalle [−6; 16]. On
a représenté l’origine O du repère et un quadrillage d’unité 1.
Résoudre l’équation f (x) = 0 par lecture graphique.
•
O
La question équivaut à chercher les antécédents de 0. On trace la droite horizontale d’ordonnée 0 (c’est l’axe des abscisses). On regarde où cette droite coupe la
courbe. On trouve trois points, dont les abscisses sont −5, 2 et 11. L’ensemble des
solutions de l’équation f (x) = 0 est donc l’ensemble de ces trois nombres, qu’on
note {−5; 2; 11}
2. Avec la courbe précédente, donner un exemple de nombre k tel que l’équation f (x) = k
admette exactement une solution.
On cherche une droite horizontale d’ordonnée k qui coupe la courbe en un seul
point.
On peut choisir par exemple k = 4. La droite horizontale d’ordonnée 4 coupe la
courbe en un seul point d’abscisse 15. Autrement dit, 4 n’a qu’un seul antécédent,
qui est 15. L’équation f (x) = 4 n’a qu’une solution : x = 15.
4
•
•
O
3. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = x
15
y=x
O •
•
1
II)
Résumé
1. Soit k un nombre fixé. Résoudre l’équation f (x) = k d’inconnue x équivaut à
trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe de f et de la droite
horizontale d’ordonnée k.
2. Soit f et g deux fonctions. Résoudre l’équation f (x) = g(x) d’inconnue x équivaut
à trouver les abscisses des points d’intersection des courbes de f et de g
Remarque : la pemière équation (f (x) = k) n’est qu’un cas particulier de la
deuxième (f (x) = g(x)) car la fonction constante g : x 7→ k a pour courbe la
droite horizontale d’ordonnée k
3. Cette méthode de résolution graphique n’est pas une démonstration mathématique
entièrement rigoureuse. Elle dépend beaucoup de la précision et de l’échelle avec
laquelle sont tracées les courbes, ainsi que du domaine dans lequel elles sont tracées.