derivation

Mme Frikha
3ème math 1
Série d’exercices
Exercice 1 : Q C M ( cocher les bonnes réponses )
y
40
20
x
0
-2
-1
0
1
2
1. La courbe représentative de la fonction f ci-dessus permet de dire que :
f est impaire.
f ’ s’annule deux fois.
Si f(x) est un polynôme, il est au moins de
f ’(−1)=1.
degré 4.
f ( x)
existe et est comprise entre 10
x 0 x
lim
et 15.
L’équation f(x)=0 n’a pas de solutions.
La dérivée f ’ est croissante sur
l’intervalle , −1 ;0,5].
Le coefficient directeur de la tangente en
1
est égal à 0.
2
Quand x  [0, 1], la courbe de f est en
dessous de sa tangente en tout point.
La tangente en –1 a un coefficient
directeur négatif.
Il n’existe aucun point de C d’ordonnée
inférieure à –30.
L’équation f(x) = 20 a deux solutions sur
,−2, +2-.
La fonction f admet un extremum relatif
en 1.
f(2) = 60.
2. Soit g( x)  1  2 x . Alors :
1
2
La dérivée de g est définie sur ]  , ] .
g '( x) 
2
.
1  2x
La tangente à Cg en
1
est horizontale.
2
1
2
g est strictement décroissante sur ]  , ]
.
La tangente à la courbe représentative de
g a une tangente orthogonale à (y = x) en
0.
Les coefficients directeurs des tangentes
à Cg sont tout positifs.
Exercice 2 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a. f ( x)  4 x 5  6 x 3  2 x  1
b. g( x)  1  x 2
c. h( x ) 
2 x  1
4x2
d. k( x)  3 x 2  2 x 
g. h( x) 
1
1  x2
( 2 x 2  x )2
4x
e. f ( x ) 
h. k( x) 
4
x2
f. g( x)  x 1  x2
3  2x2
2
1

3 x2
x
7. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et préciser leur sens de variation :
a. f ( x)  4 x 5  6 x 3  2 x  1
d. k( x)  3 x  2 
b. g( x)  1  x 2
c. h( x ) 
2 x  1
4x2
1
1  x2
par: f  x   4x  5
Exercice 3 : 1) Soit f la fonction définie sur
a) Déterminer le nombre dérivé de f en 5.
b) Estimer
25,0004 .
c) Comparer le résultat avec celui affiché par la calculatrice.
2) Donner une approximation de
4, 008 . Quelle est la valeur réelle?
Exercice 4 : Soit f la fonction définie sur
par : f  x   ax 3  bx  c où a, b, c sont des réels. Soit  C 


la représentation graphique de f dans un repère orthonormé O, i, j .


A/ Déterminer a, b, c sachant que :  C  passe par le point A  0, 
parallèle à la droite d’équation y  
B/ Soit f  x   2x 3 
1
 ;  C  admet en A une tangente
2
3
1
x  ;  C  coupe l’axe des abscisses au point B d’abscisse 1.
2
2
3
1
x .
2
2
1) Factoriser f  x  sachant que f 1  0 .
2) On considère la fonction g définie sur
a) Etudier la dérivabilité de g en 1 et en 
par g  x   f  x  .
1
.
2
b) Construire la tangente ou les demi-tangentes à  C  , représentation de g, aux points d'abscisses
respectives 1 et 
1
2
c) Déterminer x 0 l’abscisse du point M 0 de  C  , avec x 0  1 tel que la tangente à  C  en ce point
1
5
soit perpendiculaire à  : y   x  1 .
Exercice 5 : La courbe ( f) représente une fonction f définie et dérivable sur [0 ; 4] dans un repère
orthonormé. (Figure 1)On note f ’ la fonction dérivée de f.
La droite (TA) est la tangente au point A d’abscisse 0.
La courbe admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1.
1) a) Donner f (0), f (1), f ’ (0) et f ’ (1).
b) Donner le tableau des variations de f.
2) On considère la fonction g inverse de f, c’est-à-dire g =
a)
b)
c)
d)
1
. On note g’ la fonction dérivée de g.
f
Déterminer g (0), g (1) et g (3).
Déterminer les valeurs g’ (0) et g’ (1).
Déterminer le sens de variation de g. justifier.
Construire sur le graphique la courbe représentative de g.
Exercice 6 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f (x)  x²  3x  2  x  7

2x  x²  2x  1
f (x) 
x²  x

si x  1
3
si x  1
 
(  ) La courbe représentative de f dans un repère orthonormé (o, i , j )
I/
f(x)
; lim f(x)  2x 
x x 
b) En déduire qu’il existe une fonction affine g telle que lim f(x)  g(x)   0
1) a) Calculer lim f(x) ; lim
x 
x 
x 
2) a) Montrer que f est continue en 1.
b) Déterminer, le domaine de continuité de f.
3) a) Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1.
b) En déduire que (  ) admet deux demi tangentes au point (1, 6). Construire ces deux demi
tangentes
II / Soit (  1) la partie de (  ) relative à] 1, + [
1
1) a) Vérifier que pour tout x  ]1, + [on a : f (x) = 2x + 3 +
x
1
b) Soit a  ]1, + [, montrer que f est dérivable en a et que f ’(a) = 2 – 2
x0
2) a) (  1) admet – elle une tangente parallèle à l’axe des abscisses ?
b) Soit la droite (D) : 4x + 7y – 7 = 0. Montrer qu’il existe un seul point de (  1) où la tangente
à (  ) est perpendiculaire à (D).
Exercice 7 : I ]Soit la fonction f : IR  IR ; x  ax  b 
4
; où a et b sont des réels.
x 1

 

On désigne par (C) sa courbe représentative dans la plan rapporté à un repère orthonormé o, i , j .
1) a) Justifier que f est dérivable en tout point de IR \ {1} et calculer f ’(x) pour tout x  IR \ {1}
b) Déterminer a et b pour que (C) admette en son point d’abscisse 2 pour tangente la droite
Δ : y = – 3x + 15.
2) On donne a = 1 et b = 3

a) Déterminer les points de (C) où la tangente est parallèle à l’axe o, i
b) Soit D une droite de coefficient directeur m ; où m est un réel. Montrer que si D est tangente
à (C) alors m  ]-, 1[
c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (C) passant par le point A(1, -4)
 
II-
4

si x   ,0
g (x)  x  3 
x 1
Soit g la fonction définie par : 
g (x)  x  1  x²  2x si x  0,

1) Montrer que g est continue en tout point de son ensemble de définition.
2) Etudier la dérivabilité de g en zéro. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Exercice 8 :
+
+
oit ( ) =
pour
1
−1
−2 − −
*1+ , ( ) =
1)Montrer que pour tout
( − 1)
2) Déterminer et sachant que '( 3)=0 et (3) = 2
−4 +7
3) Dans la suite de l’exercice on donne ( ) =
−1
Déterminer lim ( ( ) − ) , interpréter graphiquement ce résultat.
4) Déterminer les points de
où les tangentes sont parallèles à la droite
5) Tracer la courbe
dans un repère orthonormé ( , )
Exercice 9 : I) Soit f la fonction définie sur IR\{2}par f(x)=
 
=− +2
x 2 3x  3
et on désigne
x2
par (C) sa courbe représentative dans un R.O.N (o, i , j ) .
1) Vérifier que f(x)= x  2 
1
pour tout x  2 .
x2
2) Déterminer les asymptotes à (C).
x 2 4 x  3
3) Justifier que f est dérivable sur IR\{2} et que f '(x)=
pour tout x  2 .
( x  2) 2
4) a) Déterminer les points de (C) où les tangentes sont parallèles à la
droite (Δ): 8x  9 y    0 ;   IR .
b) Déterminer alors les valeurs possibles de  pour que (Δ) soit, elle-même une tangente à (C) .
f ( x) si x  1

II) Soit g(x)=  x  1
 a si x  1

 x
; a IR . On désigne par (C') sa
 
courbe représentative dans un R.O.N (o, i , j ) .
1) Déterminer la valeur de a pour que f soit continue en 1.
Dans la suite, on prendra a  1.
2) Etudier la dérivabilité de g à droite de 1. Interpréter graphiquement le résultat.
3) g est-elle dérivable en 1? Justifier.
4) Calculer x lim  g( x) . Interpréter graphiquement le résultat.
2 x
5) Montrer que g est dérivable sur ]1,   [ et g'(x)=
2x
2
x 1
pour x  1 .