Exercices nombres complexes 1) z =−5( √ 2+√ 2−i √ 2−√ 2) Forme exponentielle de z² et z z² =25(2+ √ 2−2+√ 2−2i √ 4−2) √2 √2 ) z²=100( −i 2 2 z² =100 e z =−√ z² =−10e z =10 e i −i π 4 −i π 8 7π 8 2) Linéariser : f ( x )=cos²x sin3 x sin²2x sinx 4 1−cos4x f ( x )= sinx 8 1 1 f ( x )= ( sinx− ( sin5x+sin (−3x))) 8 2 −1 f ( x)= ( sin5x− sin3x−2sinx) 16 f ( x)= n n 3)Déterminer les entiers naturels n tels que A= (1+i √ 3 ) −(1−i √ 3 ) =0 3 n n 3 3 A=0⇔(1+i √ ) =(1−i √ ) 3 n 3 n 2 √3 i 2 √3 i ⇔( ( + )) =( ( − )) √3 2 2 √3 2 2 n n π π √ 3 ni √ 3 −ni ⇔( 2 ) e 6 =(2 ) e 6 3 3 niπ −ni π ⇔e 6 =e 6 ⇔ n π +2k π=−n π +2k ' π ( k ; k ' )∈ℤ ² 6 6 ⇔ n=6( k +k ' ) (k ; k ' )∈ℤ ² Les solutions sont donc du type n=6p , p ∈ℤ ² 3 ( j²+1) ( j+1) √ 3 4) Démontrer que i ( j−1) = 3 puis calculer de même i ( j²−1) z+i z+i ) ²+ +1=0 z−i z−i Résoudre alors : ( 1 1 3 ) ( +i √ ) √ 3(−1+i ( j+1) 2 2 3 √3 √ i =i = = ( j−1) 3 −3 √ 3 3 √ ( +i ) 3(−1+i ) 2 2 3 1 3 √ 3(1+ i ) ( −i √ ) ( j²+1) 2 2 √ 3 = −√ 3 i =i = ( j²−1) 3 −3 √ 3 3 ( −i ) −3(1+i √ ) 2 2 3 On reconnaît la somme des racines troisième de l'unité, d'où : z+i =j z−i jz−ij= z+i i ( j+1) z= j−1 z+i = j² z−i j²z−ij²= z+i i( j² +1) z= j² −1 ou ou ou z= ±√ 3 3 5) a et b sont deux complexes de modules 1 tels que ab soit différent de a−b -1. Démontrer que Z= 1+ab est un imaginaire pur. Calculer Z en posant a =e i α et b=ei β (α+β) 2 (α−β) (α−β) sin e −e 2 2 Z= =i i(α+β) = (α+β) i (α+β) 1+e (α+β) cos e 2 2 cos 2 2 iα e iβ i 2 i sin π π π π 6) Calculer : S =sin 5 +sin 2 5 +sin 3 5 +sin 4 5 iπ S= e 5 −e −i π 5 +e e S= 2i π 5 iπ 5 −e −2i π 5 1−e 4i π 5 1−e iπ 5 +e 2i −e 3i π 5 −i π 5 −e −3i π 5 1−e −4i π 5 1−e 2i +e −i π 5 4i π 5 −4i π 5 −e Donc Z est un imaginaire pur e S= −2i π 2π −2 π 5 e 2 i sin π −i 5 5 −e 5 −i π i π π −π e 10 2 i sin e 10 2 i sin 10 10 2i 2i cotan π 10 S= =cotan π 2i 10 e iπ 5 2i π 5 2 i sin 7)Résoudre dans C : z² +3iz+i−3=0 Δ=−9−4i+12=(2−i) ² −3i+2−i z1= =1−2 i 2 −3i−2+i z2= =−1−i 2 8) Résoudre dans C : ( z² −2z−1) ²−(3i ( z−1)) ²=0 ( z² − z (2−3i)−1−3i) ( z² −z (2+3i)−1+3i)=0 Δ 1=−5−12i+4+12i=i² 2−3i+i z 1= =1−2i 2 2−3i−i z2= =1−i 2 Δ 2=−5+12i+4−12i=i² 2+3i+i z 3= =1+2i 2 2+3i−i z4= =1+i 2 9) Résoudre dans C : z n+2z n−1+2z n−2+...+2z+1=0 z 1− z n 1−z n + =0 1−z 1− z 1−z n (1+z ) =0 1− z 1+z =0⇔ z=−1 n ou 1− z =0 ⇔ z=e 2ik π n , k ∈ ⟦ 1 ; n−1 ⟧ (n ∈ℕ et n⩾2) 1 7 10) Résoudre dans C : z̄ = 3 z 1 z̄4 = 6 ∣z∣ solutionévidente :1 z=1ωk ,k ∈ ⟦ 0 ;3 ⟧ Soit : S ℂ ={ 1;−1 ; i ;−i } 11) Résoudre dans C : ( z+i )n −( z−i)n=0 z+i n =√1 z−i n n z+i= √ 1 z −i √1 (1+ √n 1) z=i n ( √ 1−1) z=i 0 2ik π n 0 2ik π n (e +e (e −e ) ) e 2cos k π n z =i ik π e n 2i sin k π n π z=cotan k n ,k ∈ ⟦ 1 ; n−1 ⟧ ik π n , k ∈⟦ 1 ; n−1 ⟧ ,k ∈ ⟦ 1 ; n−1 ⟧ , n∈ℕ et n⩾2