Corrigé decembre 2007

C30MAT4 L2 Algèbre Linéaire 1
Responsable Patrick Delorme, Décembre 2007
Durée 3 h, Documents et calculettes non autorisés
Sujet de 2 pages
NB: Dans chaque exercice on pourra admettre les résultats de questions pour continuer, en signalant les résultats admis.
I Soit f l’applicaton de R4 dans R4 définie par (x1 , ..., x4 ) 7→ (x1 , −x2 , x1 + x3 , 2x4 ).
Montrer que c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Citer le théorème utilisé.
II Soit P le sous espace vectoriel de R3 d’équation x + 2y − z = 0 et D le sous-espace
vectoriel de R3 d’équations:
x + y = 0 et y + z = 0
a) Donner une base de P et une base de D.
b) Montrer que ces sous-espaces vectoriels sont
III Soit

1
a

A = −a 1
b −c
supplémentaires.

−b
c 
1
Calculer son déterminant. Les vecteurs colonnes sont ils toujours linéairement
indépendants a) si le corps de base est R, b) si le corps de base est C ?
IV a) Soit A une matrice carrée réelle (n, n) et I la matrice identité (n, n). Calculer
(I − A)(I + A + A2 )
b) Dans la suite n = 3 et


0 a 0
A= 0 0 a 
0 0 0
Calculer A2 , A3
c) Déduire des questions précédentes que I − A est inversible.
V Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et (e1 , e2 , e3 ) une base de E. Soit f : E → E
l’application linéaire dont la matrice dans cette base est


1 1 −1
A =  4 1 −2 
6 3 −4
a) Trouver une base de Kerf et de Imf .
1
b) Soit v1 = e1 + 2e2 + 3e3 , v2 = e2 + e3 , v3 = e1 + 2e3 . Montrer que (v1 , v2 , v3 ) est une
base de E.
c) Calculer la matrice de f dans cette nouvelle base
d) En déduire que f ◦ f = −f .
VI Soit E un espace vectoriel de dimension n. On suppose qu’il existe une application
linéaire f : E → E telle que Imf = Kerf .
a) On notera p la dimension de Kerf . Montrer que n = 2p : on citera le théorème
utilisé.
b) Soit F un sous-espace vectoriel de E supplémentaire de Kerf . Montrer qu ’il est
de dimension p. Montrer que f (F ) = f (E).
En déduire si (u1 , u2 , . . . , up ) est une base de F , (v1 = f (u1 ), v2 = f (u2 ), . . . , vp = f (up ))
est une base de Kerf . Citer le théorème utilisé.
c) Montrer que (v1 , . . . , vp , u1 , . . . up ) est une base de E : citer le théorème utilisé.
d) Ecrire la matrice de f dans cette base.
Corrigé
I l’application est injective car son noyau est réduit à zéro ( résoudre le système
f (0) = 0. Donc bijective ( théorème du rang par exemple).
II Passage équations à base (x, y, z) ∈ P SSI (x, yz) = (−2y + z, y, z) c’est a dire SSI
(x, y, z) = y(−2, 1, 0) + z(1, 0, 1)
Base de P : (−2, 1, 0), (1, 0, 1) ( famille génératrice et libre).
Pour D, en résolvant en z, (x, y, z) ∈ D SSI (x, y, z) = (z, −z, z) = z(1, −1, 1). Base
(1, −1, 1) .
Ces deux espaces sont de dimension 1 et 2 ( de somme 3). Donc ( cours ) il suffit
de voir que leur intersection est réduite à 0 ce qui se fait en résolvant le système de 3
équations à 3 inconnues.
III Le déterminant est égal à 1 + a2 + b2 + c2 . Il n’est jamais nul sur R donc les colonnes
sont linéairement indépendants. C’est faux sur C : par exemple si a = i, b = c = 0, le
déterminant est nul.
IV a) résultat après développement et simplifications: I − A3
b) A2 a une seule entrée non nulle (ligne 1, colonne 3: a2 ) , A3 est nulle
c) d’après a) et b) , I − A a pour inverse I + A + A2 .
V Voir Liret Martinais p. 143, Exercice 2
VI a) Le théorème du rang donne n = dimImf + dimKerf i.e. n = 2p
b) Soit x ∈ E. Alors x = y + z avec x ∈ Kerf et y ∈ F . Donc f (x) = f (y). D’où
f (E) est contenu dans f (F ), donc égal à f (F ) ( double inclusion) .
Par conséquent f (v1 ), . . . , f (vp ) engendre f (E), et comme p est la dimension de f (E),
c’est une base (cours).
c) Comme Kerf et F sont suplémentaires la réunion d’une base de l’un et d’une base
de l’autre est une base de E ( cours) . La matrice de f comporte quatre blocs (p, p),
tous sont nuls sauf le bloc en haut à droite qui est l’identité.
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