Analyse fonctionnelle et topologie

Faculté des Sciences
et Techniques de Limoges
Lundi 9 janvier 2006
Analyse fonctionnelle et topologie
Examen écrit no 2
Durée : 3h
Exercice 1 (6 points)
Soit (E, d) un espace métrique et (R, |.|), le corps des nombres réels muni de la valeur
absolue. Pour toute partie U de E, on définit l’application ϕU : E → R par
ϕU (x) = d(x, U ) = inf d(x, y).
y∈U
1. Montrer que l’application ϕU est lipschitzienne.
2. Montrer que x ∈ U si, et seulement si, ϕU (x) = 0.
3. Pour quelles parties U de E a-t-on ϕU = ϕ∂(U ) ?
4. Soit A et B deux parties fermées disjointes de E.
(a) Montrer que pour tout x ∈ E, d(x, A) + d(x, B) > 0 et que l’application
d(x, A)
ψ : E → R, définie par ψ(x) =
, est continue.
d(x, A) + d(x, B)
(b) Préciser les valeurs prises par la fonction ψ sur A, puis sur B.
(c) En déduire l’existence de deux ouverts disjoints OA et OB tels que
A ⊂ OA , B ⊂ OB .
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Exercice 2 (4 points)
Soit (E, d) un espace métrique. On appelle diamètre d’une partie A non vide de E le
nombre ∆(A) =
sup d(x, y).
(x,y)∈A×A
1. Montrer que pour toute partie A de E, on a ∆(A) = ∆(A).
2. Soit K une partie compacte de E. Établir l’existence de deux points a et b de K
tels que ∆(K) = d(a, b).
3. Soit (un ) une suite d’éléments de E. On pose Ωn = {up ; p ≥ n}.
Montrer que la suite (un ) est de Cauchy si, et seulement si, la suite des diamètres
des parties (Ωn ) tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
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Exercice 3 (4 points)
Le couple (E, ||.||) désigne un espace vectoriel normé sur R.
1. Montrer que toute boule ouverte est connexe par arcs.
2. Montrer qu’un ouvert de (E, ||.||) est connexe si, et seulement si, il est connexe par
arcs.
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Problème (8 points)
Soit R[t] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R et N, N # : R[t] → R
deux applications définies, pour tout polynôme P = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn , par
N (P ) = sup |P (t)|
t∈[0,1]
et
N # (P ) = max{|ai |, i = 0, . . . , n}.
1. Montrer que N et N # sont des normes.
2. Calculer les normes au sens de N et N # des polynômes
t2
tn
En (t) = 1 + t +
+ · · · + , Sn (t) = tn et Rn (t) = 1 + t + t2 + · · · + tn .
2!
n!
3. En considérant la suite de polynômes Rn , montrer que les normes N et N # ne sont
pas équivalentes.
Pour tout nombre réel α, on définit la forme linéaire Fα : R[t] → R par Fα (P ) = P (α).
4. On munit l’espace vectoriel R[t] de la norme N .
(a) On suppose que |α| ≤ 1. Montrer que la forme linéaire Fα est continue et que
N (Fα ) = sup |Fα (P )| = 1.
N (P )≤1
(b) On suppose que |α| > 1. Calculer Fα (tn ). En déduire que la forme linéaire Fα
n’est pas continue.
5. On munit l’ensemble R[t] de la norme N # .
(a) On suppose que |α| < 1. Montrer que la forme linéaire Fα est continue. et en
1
.
déduire que N # (Fα ) =
1 − |α|
(b) On suppose que |α| > 1. Calculer Fα (tn ). En déduire que la forme linéaire Fα
n’est pas continue.
(c) Les formes linéaires F−1 et F1 sont-elles continues ?
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