Algèbre session contrôle

ISITCOM HAMMAM SOUSSE
EXAMEN
Classe : Première année licence Télécom .
Matière: Algèbre 1
Documents et Calculatrices Non Autorisés
Durée: 1H30
Date: 02/06/2014.
A. U.: 2013/2014
Session : Contrôle
Nombre Total de Pages: 2
Exercice 1 (10 points)
I. Soient B(X) et A(X) les polynômes donnés par:
A(X) = X 5
3X 4 + 4X 3
4X 2 + 3X + 1 et B(X) = X 4
2X 3 + 2X 2
1. En utilisant une division euclidienne, montrer que
A(X) = (X
1)B(X) + 2.
2. Montrer que 1 est une racine double de B(X).
1)2 (X 2 + 1).
3. En déduire que B(X) = (X
II. Soit F (X) la fraction rationnelle donnée par:
F (X) =
1. Montrer que F (X) = X
1+
(X
A(X)
.
B(X)
2
1)2 (X 2 + 1)
2. Décomposition F (X) en éléments simples dans IR(X).
Exercice 2 (10 points)
Soient la matrice A donnée par


0 1 0
A =  0 0 1 .
0 0 0
Pour tout nombre réel x on associe la matrice
x2
M (x) = I3 + xA + A2 (?)
2
où I3 est la matrice unité d’ordre 3.
1. Calculer A2 et A3 et en déduire, pour tout entier naturel n, la valeur de
An .
2. Calculer en utilisant la formule (?) le produit M (x)M (y) et montrer que
M (x)M (y) = M (x + y) (??).
3. En déduire que pour tout entier naturel n: [M (x)]n = M (nx). Reconnaı̂tre
alors M (0).
2X + 1.
4. Ecrire les matrices M (x) et [M (x)]n sous forme de tableaux.
5. Justifier l’inversibilité de la matrice M (x) sans chercher à calculer son
inverse.
6. Déterminer l’inverse de M (x) en n’utilisant que la relation (??).


1 4 8
7. Soit la matrice B =  0 1 4  . Déduire des questions précédentes les
0 0 1
matrices B −1 et B n .