EC Filtres électriques linéaires du 1er et 2nd ordre 5 PCSI

EC5 Filtres électriques linéaires du 1er et 2nd ordre
PCSI2 2016 – 2017
Nous avons vu dans le deuxième cours de l’année que ce qui pouvait être un signal pour un observateur
pouvait être considéré comme du bruit pour un autre. Nous avions alors donné l’exemple des stations
de radio. Lorsque j’écoute fréquence amitié sur la fréquence 91.3 MHz, je ne veux surtout pas être géné
par Fun radio ou autre horreur qui me ferait saigner les tympans. Ainsi, le signal électrique délivré par
l’antenne radio de ma voiture (qui capte toutes les stations) doit être filtré afin de conserver uniquement
le signal correspondant à ma station préférée. Dans ce chapitre nous verrons comment réaliser ce filtrage
et donnerons des outils d’étude pour les filtres. Les parties II et III constituent un catalogue de filtres
électriques simples, qui ne sont pas à connaître par cœur, mais qui sont là pour vous entrainer à appliquer
les méthodes. Je vous conseille donc lire une première fois ces deux chapitres, puis de refaire chaque
exemple jusqu’à ce que vous n’ayez plus besoin du cours pour vous débloquer.
I
Généralités
1.
Quadripôles
Définition :
ie
is
ue
Source
us
Quadripôle
Charge
Sortie
Entrée
C’est un dispositif électrique délimité par quatre pôles : deux bornes d’entrée et deux de sortie.
Exemple : quadripôle RC avec C en sortie ouverte (charge d’impédance quasiment infinie : voltmètre ou
oscillo).
is ≃ 0
ie
GBF
r
R
ue
e
Voltmètre
i
C
us
Caractéristiques
• Convention d’algébrisation des tensions et intensités : cf. dessin pour les sens des courants et des
tensions.
• Impédance d’entrée Z e =
Ue
Ie
et impédance de sortie Z s =
Us
.
Is
• Un quadripôle est passif s’il ne contient aucune source. Sinon, il est actif.
• Gain en tension : G =
Us
Ue
. On peut aussi définir un gain en intensité ou en puissance.
1
Filtres électriques linéaires
EC5
Définition : un quadripôle est linéaire s’il ne comporte que des éléments linéaires (R, L, C et
sources linéaires).
En conséquence,
• Le signal d’entrée ue et le signal de sortie us sont reliés par une équation différentielle linéaire à
cœfficients constants du type :
Dn
dn us (t)
dn−1 us (t)
dm ue (t)
+
D
+
...
+
D
u
(t)
=
N
+ ... + N0 ue (t)
n−1
0
s
m
dt n
dt n−1
dt m
Le plus grand des entiers n ou m définit l’ordre du circuit.
Remarque : en général, ce dernier est inférieur ou égal au nombre de dipôles réactifs (condensateurs
ou bobines) qu’il contient.
s
Exemple : circuit RC précédent is = 0 et donc ie = i = C du
=
dt
linéaire du premier ordre
1
1
dus
+
us =
ue
dt
RC
RC
ue −us
R
d’où l’équation différentielle
• Si ue est sinusoïdal, alors toutes les autres grandeurs le sont également (après le régime transitoire).
Par la suite, on notera
ue = Ue cos(ωt + φe ) ⇒ ue = Ue ejωt
et us = Us cos(ωt + φs ) ⇒ us = Us ejωt
• Si aux tensions d’entrée ue1 et ue2 correspondent les tensions de sortie us1 et us2 , alors, à la
tension d’entrée αue1 + βue2 (α et β réels), correspond la tension de sortie αus1 + βus2 .
C’est à dire que si on connaît la réponse d’un filtre pour tout signal sinusoïdal pur, on peut en
déduire la réponse à un signal quelconque car ce dernier est décomposable en une somme de
signaux sinusoïdaux : Fourier.
2.
Fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé
Définition : on définit la fonction de transfert (ou transmittance) par la grandeur complexe :
us
Us ejωt
Us
Us j(φs −φe )
H(jω) =
=
=
=
e
jωt
ue
Ue e
Ue
Ue
avec ZC =
1
jC ω
⇒ H(jω) =
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1
1+jR C ω
=
1
1+j ωω
0
où ω0 =
R
ue
Us
ZC
= H(jω) =
Ue
R + ZC
is = 0
ie
Exemple : quadripôle RC en sortie ouverte ie = i et on retrouve un pont
diviseur de tension :
i
C
us
1
RC
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Filtres électriques linéaires
EC5
Relation entre équation différentielle et fonction de transfert : remplaçons us et ue par leurs expressions dans l’équation différentielle en notation complexe qui caractérise le circuit :
dn us (t)
+ Dn−1
dn−1 us (t)
+ ... + D0 us (t) = Nm
dm ue (t)
+ ... + N0 ue (t)
dt n
dt n−1
dt m
or, en notation complexe, la dérivée nieme revient a multiplier par (jω)n , il vient donc :
Dn
Dn (jω)n us (t) + Dn−1 (jω)n−1 us (t) + ... + D0 us (t) = Nm (jω)m ue (t) + ... + N0 ue (t)
us (t)
N(jω)
N0 + jωN1 + ... + (jω)m Nm
=
⇒
= H(jω) =
n
ue (t)
D0 + jωD1 + ... + (jω) Dn
D(jω)
Les racines de N(jω) = 0 sont les zéros de H(jω)
et les racines de D(jω) = 0 sont ses pôles.
Stabilité d’un circuit linéaire : un circuit est dit stable lorsque sa réponse s(t) à un signal d’entrée
e(t) restant borné ne diverge pas quels que soient les paramètres de e(t) et les conditions initiales.
• Pour un système d’ordre 1 ou 2, les cœfficients Di de l’équation différentielle homogène
dn s(t)
dn−1 s(t)
doivent être du même signe.
+ ... + D0 s(t) = 0
dt n
dt n−1
• En RSF, H(jω) ne doit pas admettre de pôles réels (ω tels que H(jω) devienne infinie) et d’autre
part, lorsque ω → ∞, |H(jω)| ne doit pas tendre vers l’infini ce qui impose m ≤ n.
Dn
+ Dn−1
Exemple : circuit RC en sortie ouverte.
On peut retrouver l’expression de H(jω) à partir de l’équation différentielle.
ω0
dus
1
+ ω0 us = ω0 ue ⇒ H(jω) =
=
dt
ω0 + jω
1 + j ωω0
Filtre du premier ordre.
Remarque : on pose parfois (en SI) jω = p, la variable de Laplace.
La fonction de transfert s’écrit alors de façon générale :
Pm
k
N0 + pN1 + ... + pm Nm
k=0 Nk p
P
=
H(p) =
n
k
D0 + pD1 + ... + pn Dn
k=0 Dk p
Définitions : Gain en tension et déphasage : Si on écrit H(jω) sous la forme
H(jω) = G(ω)ejφ(ω)
• G(ω) est le module de H(jω)
G(ω) = |H(jω)| =
|Us |
Us
=
|Ue |
Ue
est le gain en tension.
• φ(ω) est l’argument de H(jω)
φ = arg(H(jω)) =
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arg(Us )
= φs − φe
arg(Ue )
est l’avance de phase algébrique de us sur ue
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3.
3.a.
Filtres électriques linéaires
Rappels
Définition : Un filtre électrique linéaire est un quadripôle linéaire qui permet de transmettre
sélectivement certaines fréquences. On parle de bande passante (intervalle des fréquences telles
que G ≥ G√max
) et de bande coupée.
2
3.b.
Principaux types de filtres linéaires : Cf. TP
bande passante [0; ωc ] où ωc est la pulsation de coupure.
Filtres passe bas :
G(ω)
O
G(ω)
ωc
Filtre idéal
O
ω
ωc
Filtre réel d’ordre 1
ω
On tend vers un filtre idéal en ↑ l’ordre du filtre (mais plus de composants → plus coûteux et moins
robuste).
bande passante [ωc ; +∞[.
Filtres passe haut :
G(ω)
O
G(ω)
ωc
Filtre idéal
Filtres passe bande :
ω
ω
G(ω)
ωc1
ωc2
Filtre idéal
ω
Filtres réjecteur de bande (coupe-bande) :
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ωc
Filtre réel d’ordre 1
bande passante [ωc1 ; ωc2 ] avec ωc1 et ωc2 les pulsations de coupure.
G(ω)
O
O
O
Filtre réel d’ordre 2
ω
[ωc1 ; ωc2 ] est la bande coupée.
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G(ω)
G(ω)
O
ωc1
ωc2
Filtre idéal
Filtres déphaseur :
3.c.
O
ω
Filtre réel d’ordre 2
ω
garde G constant mais il produit un déphasage entre us et ue .
Diagrammes de Bode
Gain en décibel GdB : Le gain en tension G = |H(jω)| =
le filtre est actif.
Us
Ue
peut varier dans un très large domaine si
Définition : on définit le gain en décibels (dB) ou gain du filtre par la relation :
GdB = 20 log G(ω) = 20 log(|H(jω)|)
Bande passante à −3 dB : soit G(max) le gain maximal en tension du filtre.
Les pulsations de coupure ωc = 2πfc sont les pulsations pour lesquelles
G=
√
G(max)
G(max)
√
⇐⇒ GdB = 20 log G = 20 log √
= 20 log G(max) − 20log 2
2
2
⇒ ω = ωc ⇐⇒ GdB = GdB (max) − 3 dB
c’est le gain en dB maximum −3 dB.
Définition : diagrammes de Bode d’un filtre : c’est la représentation de sa fonction de transfert
H(jω) = G(ω)ejφ(ω) : deux courbes.
Afin de visualiser les variations de G(ω) et φ(ω) sur un grand domaine de fréquence, on trace ces fonctions
en fonction de log ω.
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Courbe de réponse en Gain :
Courbe de réponse en phase :
GdB en fonction de log ω
φ en fonction de log ω
GdB (ω)
φ(ω)
0
0
log ω
Échelle logarithmique
log ω
Échelle semi-logarithmique
Avantages :
• Grande lisibilité pour une plage de fréquences très vaste.
• Tracé asymptotique très facile et fiable (voir plus loin).
II
Exemples de filtres du premier ordre
1.
Filtre passe bas du premier ordre : exemple du quadripôle RC .
1.a.
Montage
ie
R
ue
1.b.
is = 0
i = ie
C
us
Comportement asymptotique
Basse fréquence
ie is = 0
R
ue
Haute Fréquence
ie is = 0
R i=
i=0
C
us = ue
ue
R
us = 0
ue
Il s’agit d’un filtre passe bas car en basse fréquence la sortie est égale à l’entrée (le signal passe) et en
haute fréquence la sortie est nulle (le signal ne passe pas).
1.c.
Fonction de transfert
H(jω) =
ZC
1
1
1
=
=
ω =
R + ZC
1 + jRC ω
1 + j ω0
1 + jx
avec ω0 =
1
RC
et x =
ω
= RC ω
ω0
La fonction de transfert d’un filtre passe bas du premier ordre peut toujours se mettre sous la forme :
H(jω) =
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G0
1 + jx
Forme canonique
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avec :
• x=
ω
ω0
la pulsation réduite (sans dimension).
• G0 le gain statique (x = 0) qui est ici la valeur maximale de G (égale à 1).
1.d.
Pulsation de coupure ωc
G(xc ) =
1
G(max)
G0
1
1
√
= √ ⇒ xc = 1 ⇒ ωc = ω0 =
=√ ⇒p
RC
2
2
2
1 + xc2
1.e. Diagrammes de Bode
Réponse en gain :
G0
GdB = 20 log G = 20 log √
= 20 log G0 − 10 log(1 + x 2 )
2
1+x
Diagramme asymptotique :
• Asymptote basses fréquences :
Quand ω ≪ ω0 , (ω < ω100 ⇐⇒ log x < −1) x → 0, log x → −∞ et GdB → −20 log G0 : droite
horizontale.
• Asymptote hautes fréquences :
Quand ω ≫ ω0 , (ω > ω100 ⇐⇒ log x > 1) x → ∞, log x → ∞ et 1 + x 2 → x 2 soit GdB =
20 log G0 − 10 log(1 + x 2 ) → 20 log G0 − 10 log x 2 = 20 log G0 − 20 log x : droite de pente -20
dB/décade qui passe par 20 log G0 .
Une décade est l’intervalle de fréquence compris entre une fréquence f et 10f : si on multiplie la
fréquence par 10, le gain en dB chute de 20 dB.
GdB
−1
ω0
10
O
−3 dB
1
2
10ω0
100ω0
log x
ω
−20 dB
−40 dB
Asymptote de pente −20 dB par décade
L’écart maximum entre les asymptotes et la courbe réelle est de −3 dB, il est atteint en x = 1 on a pris
G0 = 1 ici.
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Réponse en phase :
φ = arg(H(jω)) = arg
G0
= arg G0 − arg(1 + jx) ⇒ tan φ = −x
1 + jx
si G0 > 0.
Diagramme asymptotique :
• Asymptote basses fréquences :
Quand ω ≪ ω0 , x → 0, log x → −∞, H → G0 > 0 et φ → 0 : droite horizontale.
• Asymptote hautes fréquences :
Quand ω ≫ ω0 , x → ∞, log x → ∞, H → −jG0 et φ → − π2 : droite horizontale.
• Pour ω = ω0 , x = 1, log x = 0 et φ = − π4 → on complète par une droite.
−1
O
φ
1
−6°
log x
− π4
− π2
L’écart maximum entre les asymptotes et la courbe réelle est |∆φ| < 6°.
1.f.
Caractère intégrateur du filtre
R
Un filtre électrique se comporte en intégrateur si us (t) = ±ω0 ue (t)dt (inverseur si −), avec ω0 une
1
constante. En régime sinusoïdal, cela revient à us = ±ω0 jω
ue soit une fonction de transfert
H(jω) =
us
1
1
=± ω =±
ue
j ω0
jx
Un intégrateur est donc caractérisé par :
• Un gain GdB = 20 log 1x = −20 log x
• Une phase φ = ± π2
D’où le diagramme de Bode :
GdB
−1
−20
O
1
avec x la pulsation réduite x =
ω
.
ω0
droite de -20 dB par décade.
log x
π
2
φ
O
log x
− π2
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Pour notre filtre RC , H(jω) =
et H(jω) ≃ jx1 .
1
1+jx
Nous obtenons ces caractéristiques pour x ≫ 1, en effet, 1 + jx ≃ jx
On vérifiera en TP que ce circuit devient intégrateur si ω > 10ω0 (Cf. TP).
1.g.
Modélisation
On peut modéliser le quadripôle précédent par :
is = 0
is = 0
ie
R
ue
ue
us
C
ie
Ze
Zs
H.ue
us
On obtient ici Ze = R + jC1ω car is = 0 et us = H.ue + Z s .is = H.ue si is = 0.
La source de tension H.ue est liée à ue : on parle d’une source de tension commandée en tension.
2.
Filtre passe haut du premier ordre.
2.a.
Montage et comportement asymptotique
Il suffira de permuter R et C dans le montage précédent :
ie
ie = 0 is = 0
is = 0
C
C i = ie
ue
us
R
ue
ie
i=0
i=
us = 0
R
Circuit
ue
is = 0
ue
R
us = ue
R
BF
HF
• Pour ω → 0, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, i = 0 et Us = Ri = 0.
• Pour ω → ∞, le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé et Us = Ue .
Il s’agit d’un filtre passe haut.
2.b.
Fonction de transfert
ie = i et on retrouve un pont diviseur de tension :
j ωω0
jx
R
jRC ω
H(jω) =
=
=
ω =
R + ZC
1 + jRC ω
1 + j ω0
1 + jx
avec x =
ω
ω0
ω0 =
1
RC
La fonction de transfert d’un filtre passe bas du premier ordre peut toujours se mettre sous la forme :
H(jω) =
jxG0
1 + jx
Forme canonique
avec :
• x=
ω
ω0
la pulsation réduite (sans dimension).
• G0 la valeur maximale de G, atteint quand x ≫ 1
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2.c.
Fréquence de coupure :
G(ω) = |H(jω)| = |
et xc =
ωc
ω0
est telle que
G(xc ) =
2.d.
jx
|jx|
x
|=
=√
1 + jx
|1 + jx|
1 + x2
1
1
x
1
G(max)
√
= √ ⇒ xc = 1 ⇒ ωc = ω0 =
=√ ⇒p
RC
2
2
2
1 + xc2
Diagrammes de Bode :
Réponse en gain
GdB = 20 log G = 20 log √
x
1+
x2
= 20 log x − 10 log(1 + x 2 )
Diagramme asymptotique :
• Asymptote basses fréquences : Quand ω ≪ ω0 , x → 0, log x → −∞ et GdB → 20 log x −20 log 1 =
20 log x : droite de pente + 20 dB/décade.
• Asymptote hautes fréquences : Quand ω ≫ ω0 , x → ∞, log x → ∞ et 1 + x 2 → x 2 soit GdB =
20 log x − 10 log(1 + x 2 ) → 20 log x − 10 log x 2 = 0 : droite horizontale.
GdB
O
−1
1
log x
−20
Asymptote de pente +20 dB par décade
L’écart maximum entre les asymptotes et la courbe réelle est de −3 dB, il est atteint en x = 1.
Réponse en phase
φ = arg(H(jω)) = arg
π
jx
= arg jx − arg(1 + jx) ⇒ φ = − arctan x
1 + jx
2
soit la même courbe que plus haut, simplement translatée de π2 .
φ
π
2
π
4
O
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log x
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2.e. Caractère dérivateur du filtre
Un filtre électrique se comporte en dérivateur si us (t) = ± ω10 dudte (t) , avec ω0 une constante.
En régime sinusoïdal, cela revient à us = ± ω10 jωue soit une fonction de transfert
H(jω) =
us
ω
= ±jx
= ±j
ue
ω0
avec x la pulsation réduite x = ωω0 .
Un dérivateur est donc caractérisé par :
• Un gain GdB = 20 log x : droite de +20 dB par décade.
• Une phase φ = ± π2 .
D’où le diagramme de Bode :
GdB
−1 O
log x
1
π
2
−20
φ
O
log x
− π2
Pour notre filtre RC ,
H(jω) =
jx
1 + jx
Nous obtenons ces caractéristiques pour x ≪ 1, en effet, 1 + jx ≃ 1 et H(jω) ≃ jx.
On vérifiera en TP que ce circuit devient dérivateur si ω <
III
1.
1.a.
ω0
.
10
Exemples de filtres du deuxième ordre
Filtre passe bas d’ordre deux
Montage
Circuit RLC avec C en sortie ouverte.
is = 0
ie
R
ue
1.b.
L
i
C
us
Comportement asymptotique
Basses fréquences
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Hautes fréquences
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UR = 0
UL = 0
I=0
uR = 0
uL = ue
R
L
R
ue
C
us = ue
i=0
uC = 0
ue
Conclusion : il s’agit bien d’un filtre passe bas.
1.c.
Fonction de transfert
La sortie étant ouverte, on retrouve un pont diviseur de tension.
H(jω) =
us
ZC
1
=
=
ue
Z
RC ωj − LC ω2 + 1
En utilisant les mêmes changements de variables que dans le chapitre sur les régimes transitoires :
√1 la pulsation propre
LC
Lω0
Q = R = R C1ω0 le facteur de
x = ωω0 la pulsation réduite.
• ω0 =
du circuit.
•
qualité.
•
On obtient H(jω) sous la forme canonique :
H(jω) =
1.d.
G0
1 − x 2 + j Qx
(ici, G0 = 1)
Diagramme de Bode
Réponse en gain :
Gain en décibels :
1
G(ω) = |H(jω)| = q
(1 − x 2 )2 +
GdB = 20 log G(ω) = 20 log q
1
(1 − x 2 )2 +
x2
Q2
= −10 log[(1 − x 2 )2 +
x2
Q2
x2
]
Q2
• Asymptote en basses fréquences :
ω → 0, x → 0 et log x → −∞
2
GdB = −10 log((1 − x 2 )2 + Qx 2 ) ≃ −10 log 1 = 0 : asymptote horizontale.
• Asymptote en hautes fréquences :
ω → ∞, x → ∞ et log x → ∞ et (1 − x 2 )2 ≃ x 4 ≫
x2
Q2
d’où
x2
GdB = −10 log((1 − x 2 )2 + Q 2 ) ≃ −10 log x 4 = −40 log x : droite de pente −40 dB par décade (on
se rapproche du filtre idéal).
• Pour x = 1 soit ω = ω0 , GdB = −10 log((1 − 12 )2 +
12
)
Q2
= −10 log Q12 = 20 log Q
L’écart entre la courbe asymptotique et la courbe réelle augmente quand Q s’éloigne de
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√1 .
2
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GdB
log x
1
O
−1
−40
Asymptote de pente −40 dB par décade
Q = 0, 1
Q=
√1
2
Q=4
Remarques :
• On retrouve la résonance en tension aux bornes du condensateur si Q >
pourquoi Q est appelé aussi facteur de surtension.
√1
2
(Cf. chap EC4 ), c’est
• pour un bon passe bas, il faut que G soit constant avant ωc la pulsation de coupure, on aura donc
intérêt à prendre Q ≃ √12 .
Réponse en phase
φ = arg(H(jω)) = arg(
1
1−
x2
+
j Qx
) = arg(
−j
−j(1 − x 2 ) +
x
Q
)=−
π
1
− arctan Q(x − )
2
x
Diagramme asymptotique :
• Asymptote basses fréquences :
Quand x → 0, log x → −∞, H → 1, d’où φ → 0 : droite horizontale.
• Pour ω = ω0 , x = 1, log x = 0 et φ = − π2 .
• Asymptote hautes fréquences :
Quand x → ∞, log x → ∞ et H → − u12 < 0 d’où φ → −π : droite horizontale.
O
φ
log x
− π2
−π
Q = 0, 1
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Q=
√1
2
Q=4
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2.
Filtre passe haut d’ordre deux.
2.a.
Montage
Circuit RLC avec L en sortie ouverte.
is = 0
ie
R
i
C
ue
2.b.
L
us
Comportement asymptotique
Basses fréquences
uR = 0 uC = ue
R
Hautes fréquences
uR = 0
i=0
C
uC = 0
i=0
R
us = 0
ue
ue
us = ue
L
Conclusion : il s’agit bien d’un filtre passe haut.
2.c.
Fonction de transfert
La sortie étant ouverte, on retrouve un pont diviseur de tension.
H(jω) =
2.d.
us
ZL
jLω
=
=
ue
Z
R + jLω +
1
jC ω
=
LC (jω)2
−x 2
=
RC ωj − LC ω2 + 1
1 − x 2 + j Qx
Diagramme de Bode
Réponse en gain
x2
q
G(ω) = |H(jω)| =
(1 − x 2 )2 +
Gain en décibels : GdB = 20 log G(ω) = 20 log r
x2
2
(1−x 2 )2 + x 2
Q
x2
Q2
= 40 log x − 10 log((1 − x 2 )2 +
x2
).
Q2
• Asymptote en basses fréquences : ω → 0, x → 0 et log x → −∞ GdB = 40 log x − 10 log((1 −
2
x 2 )2 + Qx 2 ) ≃ 40 log x − 10 log 1 = 0 : droite de pente 40 dB par décade.
• Asymptote en hautes fréquences : ω → ∞, x → ∞ et log x → ∞ (1 − x 2 )2 ≃ x 4 ≫
GdB = 40 log x − 10 log((1 − x 2 )2 +
x2
Q2
x2
)
Q2
d’où
) ≃ 40 log x − 10 log x 4 = 0 : asymptote horizontale.
2
• Pour x = 1 soit ω = ω0 , GdB = 40 log 1 − 10 log((1 − 12 )2 + Q1 2 ) = −10 log Q12 = 20 log Q
L’écart entre la courbe asymptotique et la courbe réelle augmente quand Q augmente.
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Filtres électriques linéaires
EC5
GdB
log x
1
O
−1
−40
Asymptote de pente 40 dB par décade
Q = 0, 1
Q=
√1
2
Q=4
Remarques :
• La courbe du passe haut est la symétrique de celle du passe bas par rapport à l’axe vertical.
• On a une résonance en tension aux bornes de la bobine si Q >
√1 .
2
• Pour un bon passe haut, il faut que G soit constant après ωc la pulsation de coupure, on aura donc
intérêt à prendre Q ≃ √12 .
Réponse en phase
φ = arg(H(jω)) = arg(
jx 2
−x 2
)
=
arg(
1 − x 2 + j Qx
−j(1 − x 2 ) +
x
Q
)=
π
1
− arctan Q(x − )
2
x
On remarque que φPH = π + φPB , on déduit donc la courbe du passe haut de celle du passe bas en
ajoutant simplement π.
Diagramme asymptotique :
• Asymptote basses fréquences : x → 0, log x → −∞, H → −x 2 et φ → π : droite horizontale.
• Pour ω = ω0 , x = 1, log x = 0 et φ = π2 .
• Asymptote hautes fréquences, x → ∞, log x → ∞, H → 1 et φ → 0 : droite horizontale.
π
φ
π
2
O
log x
Q = 0, 1
4.
4.a.
Q=
√1
2
Q=4
Filtre coupe bande d’ordre deux
Montage et comportement asymptotique
Circuit RLC avec LC en sortie ouverte.
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Filtres électriques linéaires
EC5
R
ue
HF
ie is = 0
BF
ie is = 0
ie is = 0
R
R
C
i
C
us
ue
L
us = ue
i=0
ue
us = ue
i=0
C
• Aux basses fréquences : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, on a donc
i = 0, uR = 0 et us = ue .
• Aux hautes fréquences : la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert, on a donc i = 0,
uR = 0 et us = Ri = ue .
Conclusion : il s’agit bien d’un filtre coupe bande.
4.b.
Fonction de transfert
H(jω) =
4.c.
Us
ZLC
1 − LC ω2
1 − x2
=
=
=
Ue
Z
RC ωj − LC ω2 + 1
1 − x 2 + j Qx
Diagramme de Bode
Réponse en gain
|1 − x 2 |
G(ω) = |H(jω)| = q
(1 − x 2 )2 +
Gain en décibels : GdB = 20 log G(ω) = 20 log r
|1−x 2 |
2
(1−x 2 )2 + x 2
Q
x2
Q2
= 20 log |1 − x 2 | − 10 log((1 − x 2 )2 +
x2
)
Q2
• Asymptote en basses fréquences : ω → 0, x → 0 et log x → −∞, GdB = 20 log |1−x 2 |−10 log((1−
2
x 2 )2 + Qx 2 ) ≃ 20 log 1 − 10 log 1 = 0 : asymptote horizontale.
• Asymptote en hautes fréquences : ω → ∞, x → ∞ et log x → ∞, (1 − x 2 )2 ≃ x 4 ≫
GdB = 20 log |1 − x 2 | − 10 log((1 − x 2 )2 +
x2
Q2
x2
Q2
d’où
) ≃ 40 log x − 10 log x 4 = 0 : asymptote horizontale.
• Asymptote centrale : Pour x → 1 soit ω = ω0 , |(1 − x 2 )2 | → 0, GdB = 20 log |1 − x 2 | − 10 log((1 −
2
12 )2 + Q1 2 ) → −∞ : droite verticale.
O
GdB
log x
Q = 0, 1
PCSI2 2016 – 2017
Q = 0.71
Q=4
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Filtres électriques linéaires
EC5
Bande coupée on retrouve également ∆ω = ω2 −ω1 =
proportionnelle au facteur de qualité.
ω0
Q
: la largeur de la bande est donc inversement
Réponse en phase
φ = arg(H(jω)) = arg(
x
1 − x2
2
2
)
x ) = arg(1 − x ) − arg(1 − x + j
2
1−x +jQ
Q
et arg(1 − x 2 ) = 0 si x < 1 et arg(1 − x 2 ) = π si x > 1
On remarque que φR B = φPB si x < 1 et φR B = π + φPB si x > 1, on déduit donc la courbe du réjecteur
de bande de celle du passe bas en ajoutant simplement 0 si x < 1 et π si x > 1.
Diagramme asymptotique :
• Asymptote basses fréquences :
Quand x → 0, log x → −∞ et φ → 0 : droite horizontale.
• Asymptote hautes fréquences :
Quand x → ∞, log x → ∞ et φ → 0 : droite horizontale.
• Si x → 1− , φ → 0 − arg( Qj ) = − π2
• Si x → 1+ , φ → π − arg( Qj ) =
π
2
π
2
φ
O
log x
− π2
Q = 0, 1
PCSI2 2016 – 2017
Q = 0.71
Q=4
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Filtres électriques linéaires
EC5
Table des matières
I
Généralités
1.
Quadripôles
2.
Fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé
3.
Filtres électriques linéaires
3.a.
Rappels
3.b.
Principaux types de filtres linéaires : Cf. TP
3.c.
Diagrammes de Bode
II Exemples de filtres du premier ordre
1.
Filtre passe bas du premier ordre : exemple du quadripôle RC .
1.a.
Montage
1.b.
Comportement asymptotique
1.c.
Fonction de transfert
1.d.
Pulsation de coupure ωc
1.e.
Diagrammes de Bode
1.f.
Caractère intégrateur du filtre
1.g.
Modélisation
2.
Filtre passe haut du premier ordre.
2.a.
Montage et comportement asymptotique
2.b.
Fonction de transfert
2.c.
Fréquence de coupure :
2.d.
Diagrammes de Bode :
2.e.
Caractère dérivateur du filtre
III Exemples de filtres du deuxième ordre
1.
Filtre passe bas d’ordre deux
1.a.
Montage
1.b.
Comportement asymptotique
1.c.
Fonction de transfert
1.d.
Diagramme de Bode
2.
Filtre passe haut d’ordre deux.
2.a.
Montage
2.b.
Comportement asymptotique
2.c.
Fonction de transfert
2.d.
Diagramme de Bode
4.
Filtre coupe bande d’ordre deux
4.a.
Montage et comportement asymptotique
4.b.
Fonction de transfert
4.c.
Diagramme de Bode
PCSI2 2016 – 2017
Lycée Victor Hugo de Besançon