Existence d`un revêtement universel

Existence d’un revêtement universel
Pour tout lacet σ de (X, ∗), on note [σ] ∈ π1 (X, ∗) sa classe d’homotopie. On notera ∗ le lacet
constant en ∗ et donc [∗] sa classe d’homotopie.
Rappelons qu’un espace topologique X est dit « semi-localement simplement connexe » si
pour tout point x ∈ X, il existe un voisinage V de x dans X, tel que le morphisme de
groupes π1 (V, x) → π1 (X, x) induit par l’inclusion de V dans X soit trivial. Ceci signifie
qu’un lacet de (V, x), qu’il soit ou qu’il ne soit pas homotope à un lacet constant dans V , est
homotope à un lacet constant dans X.
On utilisera le fait que si x et y sont reliés par un chemin τ dans un tel ouvert V , la classe
d’homotopie [τ ] de τ dans X ne dépend pas de τ , puisque que si τ 0 est un autre chemin de x
à y dans V , le lacet τ ? τ 0−1 est homotope à un lacet constant dans X.
+ 1 Théorème. Soit (X, ∗) un espace pointé connexe, localement connexe par arcs et
semi-localement simplement connexe. Alors (X, ∗) a un revêtement universel, qui est un
revêtement principal de groupe π1 (X, ∗), dont l’espace total est connexe par arcs et simplement connexe.
Démonstration. Posons G = π1 (X, ∗). Pour tout x ∈ X, notons [∗, x] l’ensemble des classes
d’homotopies de chemins de X de ∗ à x. Noter que G agit à gauche sur [∗, x] et que cette
action est libre est transitive. Enfin soit
a
E=
[∗, x]
x∈X
l’union disjointe de la famille des ensembles [∗, x]. Un élément de E est donc une paire
(x, [σ]), où x est un élément de X et σ un chemin de ∗ à x dans X. Le groupe G agit à
gauche librement sur E. On prendra le point ∗ = (∗, [∗]) pour point de base dans E. Pour
tout U ouvert de X connexe par arcs et tel que tout lacet de U soit homotope dans X à un
lacet constant, on considère le sous-ensemble
EU =
a
[∗, x]
x∈U
de E. Soit x0 ∈ U et soit ϕ : EU → U × [∗, x0 ] l’application qui envoie tout (x, [σ]) de EU sur
(x, [σ ? τ ]), où τ est un chemin de x à x0 dans U . Noter que [σ ? τ ] ne dépend pas du choix
de τ à cause du fait que deux chemins de U de mêmes extrémités sont homotopes dans X.
L’application ϕ est donc bien définie et ne dépend que de U et de x0 . Par ailleurs, elle est
bijective avec pour inverse l’application définie par ϕ−1 (x, [σ]) = (x, [σ ? τ −1 ]), où τ est à
nouveau un chemin dans U de x à x0 .
On munit l’ensemble [∗, x0 ] de la topologie discrète et EU de l’unique topologie telle que
ϕ : EU → U × [∗, x0 ] soit un homéomorphisme. Il est alors clair que la projection canonique
EU → U est un revêtement trivial. On recouvre X par des ouverts Ui ayant les propriétés
de l’ouvert U précédent, et on munit E de la topologie finale pour la famille des injections
EUi → E. Noter qu’une partie de E est ouverte si et seulement si son intersection avec
chaque EUi est un ouvert de EUi . Il s’en suit que EUi vu comme un sous-espace topologique
de E a la topologie définie plus haut faisant de ϕ un homéomorphisme.
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La projection p : E → X est alors un revêtement, puisque la restriction pi : p−1 (Ui ) → Ui de
p à p−1 (Ui ) n’est autre que la projection canonique EUi → Ui , qui est un revêtement trivial.
De plus, p est un revêtement principal de groupe G.
Si τ : [0, 1] → X est un chemin de ∗ à x, et σ un lacet de (X, ∗), l’unique relèvement de τ
à partir de (∗, [σ]) ∈ E aboutit à (τ (1), [σ][τ ]) ∈ E. En effet, on a l’application τ̃ : [0, 1] → E
donnée par τ̃ (t) = (τ (t), [σ][s 7→ τ (ts)]) (noter que le chemin σ ? (s 7→ τ (ts)) va de ∗ à τ (t)),
qui est clairement continue, qui est telle que τ̃ (0) = (∗, [σ]) et p ◦ τ̃ = τ , et qui est donc
l’unique relèvement de τ à partir de (∗, [σ]) ∈ E. Ce relèvement aboutit à (τ (1), [σ][τ ]) ∈ E.
Pour voir que le revêtement p : E → X est universel, il suffit de montrer que E est connexe
par arcs et simplement connexe. Comme p est un revêtement et comme X est connexe par
arcs, il suffit pour montrer que E est connexe par arcs de montrer que pour tout point (∗, [σ])
de p−1 (∗) il existe un chemin de (∗, [∗]) à (∗, [σ]) dans E. Or, l’unique relèvement du lacet
σ à partir de (∗, [∗]) est précisément un tel chemin. Enfin, si σ est un lacet de (E, (∗, [∗])),
σ 0 = p ◦ σ est un lacet de (X, ∗), et σ est l’unique relèvement de σ 0 à partir de (∗, [∗]), et ce
relèvement aboutit à (∗, [σ 0 ]). On a donc [σ 0 ] = [∗], c’est-à-dire [σ 0 ] = 1 ∈ π1 (X, ∗), et comme
p∗ : π1 (E, ∗) → π1 (X, ∗) est injectif, on a [σ] = 1 ∈ π1 (E, ∗).
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