Groupe fondamental et revêtements TD 2 26 Janvier 2015 TD 2 : Homotopies Exercice 1.— Espaces contractiles 1. Montrer qu’un espace contractile est connexe par arcs. 2. Soit X un espace topologique, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (a) X est contractile. (b) id : X → X est homotope à une application constante. (c) Toute application Y → X est homotope à une application constante. (d) Deux applications Y → X sont toujours homotopes. (e) Toute application X → Z est homotope à une application constante. 3. Deux applications X → Z sont-elles toujours homotopes ? Exercice 2.— Une rétraction par déformation explicite Décrire une rétraction par déformation du tore T2 privé d’un point sur l’union de deux cercles méridien/longitude. Exercice 3.— Simple connexité Soit X un espace topologique. 1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (a) Toute application continue S1 → X est homotope à une application constante. (b) Toute application continue S1 → X s’étend en une application continue D2 → X. (c) π1 (X, x0 ) = 0 pour tout x0 ∈ X. 2. En déduire que X est simplement connexe ssi toutes les applications continues S1 → X sont homotopes. Exercice 4.— Composante connexe Soit X un espace topologique et x0 ∈ X. On note X0 la composante connexe de x0 , montrer que l’inclusion X0 ⊆ X induit un isomorphisme π1 (X0 , x0 ) → π1 (X, x0 ). Exercice 5.— Lacet ambiant Soit X un espace topologique et φ : [0, 1] × X → X une application continue telle que φ(0, .) = φ(1, .) = idX . Montrer que pour tout x0 ∈ X, le lacet t 7→ φt (x0 ) est dans le centre de π1 (X, x0 ). Exercice 6.— Groupe fondamental d’un groupe topologique Soit G un groupe topologique (c’est-à-dire muni d’une topologie pour laquelle la multiplication et l’inverse sont continus). 1. Montrer que pour tout g, h ∈ G, π1 (G, g) ' π1 (G, h). 2. Montrer que π1 G est abélien. 3. Montrer que la multiplication terme à terme des chemins coincide avec la concaténation des chemins à homotopie près. ENS Lyon 1 L3 Groupe fondamental et revêtements TD 2 26 Janvier 2015 Exercice 7.— Cylindre d’une application Soit f : X → Y une application continue, on considère l’espace Cf = X × [0, 1] t Y / ∼ où ∼ est la relation d’équivalence engendrée par (x, 1) ∼ f (x) pour x ∈ X. 1. Montrer que Cf se rétracte par déformation sur Y . 2. Montrer que Cf se rétracte par déformation sur X × {0} si et seulement si f est une équivalence d’homotopie. 3. Montrer que deux espaces X et Y ont le même type d’homotopie si et seulement si il existe un espace Z contenant X et Y comme rétractés par déformation. Exercice 8.— Un espace contractile vicieux Un espace contractile admet-il une rétraction par déformation sur un de ses points ? ENS Lyon 2 L3