Test 1 du 10/02/2011 - IMJ-PRG

Université Paris Diderot – Paris 7
U.F.R. de Mathématiques
10/02/2011
B. Keller et C. Leruste
M1 de Mathématiques : Topologie algébrique M2406
TEST No 1
NOM :
Prénom :
1) a) Qu’est-ce qu’un espace topologique connexe ?
b) Montrer que l’adhérence d’une partie connexe d’un espace topologique est
encore connexe.
c) Qu’est-ce qu’un espace topologique connexe par arcs ? L’adhérence d’une
partie connexe par arcs d’un espace topologique est-elle encore connexe par
arcs ? (on justifiera la réponse par une démonstration ou un exemple).
2) Pour un nombre complexe z notons Cz le cercle de rayon 1 autour de z, c’està-dire le sous-espace
Cz = {u ∈ C | |u − z| = 1 }
du plan C. Montrer que C0 n’est pas homéomorphe à la réunion C−1 ∪ C1
(faire un dessin !).