[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Développement trigonométrique Exercice 1 [ 00962 ] [correction] Soit t ∈ ]−1, 1[. Former le développement en série de Fourier de la fonction Enoncés 1 Exercice 6 [ 03424 ] [correction] Soient f, g : R → C continues par morceaux et 2π-périodiques. a) Montrer la convergence de la somme +∞ X sin x x 7→ 1 − 2t cos x + t2 |cn (f )cn (g)| n=−∞ b) Soit ϕ : R → C définie par Exercice 2 [ 00964 ] [correction] Former le développement en série de Fourier de x 7→ ecos x cos(sin x) Exercice 3 [ 00966 ] [correction] Pour |z| < 1, calculer Z π 0 1 − z cos t cos(nt) dt 1 − 2z cos t + z 2 ϕ(x) = +∞ X cn (f )cn (g)einx n=−∞ Calculer les coefficients de Fourier de ϕ. Exercice 7 [ 03667 ] [correction] Soit a > 0. a) Développer en série entière x 7→ 1 x + ea b) En déduire le développement en série de Fourier de Exercice 4 Calculer [ 00968 ] [correction] +∞ X p=0 t 7→ (−1)p 1 cos t + cha cos(2p + 1)x (2p + 1)! Exercice 5 [ 03326 ] [correction] Soit la fonction f : R → C 2π-périodique donnée par f (t) = ee it a) Déterminer les coefficients de Fourier exponentiels de f . b) Etablir Z 2π +∞ X 1 e2 cos t dt = 2π 2 (n!) 0 n=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections Corrections 2 Par convergence normale de la série de fonctions engagée, +∞ Z 1 X π 1 an = cos(mx) cos(nx) dx π m=0 −π m! Exercice 1 : [énoncé] Par décomposition en éléments simples Rπ Rπ Or −π cos(mx) cos(nx) dx = 0 si m 6= n et −π cos(mx) cos(nx) dx = π si m = n 6= 0. 1 . Ainsi an = n! Finalement, l’écriture a ā sin x = + 1 − 2t cos x + t2 t − eix t − e−ix avec a= donc sin x = Re 1 − 2t cos x + t2 1 sin x = −ix −e 2i eix 1 1 i t − eix = Re ie−ix 1 1 − te−ix ecos x cos(sin x) = +∞ X 1 cos(nx) n! n=0 est bien le développement en série de Fourier de la fonction considérée. puis +∞ X sin x = tn sin(n + 1)x 1 − 2t cos x + t2 n=0 La fonction étudiée étant impaire an = 0. Par convergence normale obtenue via |t| < 1, on a bn+1 = tn Ainsi l’écriture précédente est le développement en série de Fourier de la fonction étudiée. Exercice 3 : [énoncé] 1 − z cos t 1 = 2 1 − 2z cos t + z 2 1 1 + it 1 − (e z) 1 − (e−it z) = +∞ 1 X int (e + e−int )z n 2 n=0 puis +∞ X 1 − z cos t = cos(nt)z n 1 − 2z cos t + z 2 n=0 Exercice 2 : [énoncé] +∞ P ecos x cos(sin x) = Re ecos x+i sin x = Re n=0 einx n! = +∞ P n=0 1 n! cos(nx). Il reste à justifier que ce développement correspond au développement en série de Fourier de la fonction. Puisque la fonction est paire, bn = 0. On a Z +∞ 1 π X 1 a0 = cos(nx) dx π −π n=0 n! Par convergence normale de la série de fonctions engagée, +∞ Z 1X π 1 a0 = cos(nx) dx = 2 π n=0 −π n! On a 1 an = π Z +∞ π X 1 cos(mx) cos(nx) dx m! −π m=0 avec convergence normale sur [0, π]. Par suite Z π 1 − z cos t π cos(nt) dt = z n 2 2 0 1 − 2z cos t + z compte tenu de l’orthogonalité des fonctions t 7→ cos(kt). Exercice 4 : [énoncé] +∞ X p=0 +∞ X + 1)x ei(2p+1)x = Re (−1)p (2p + 1)! (2p + 1)! p=0 p cos(2p (−1) ! = Re(sin(eix )) ix or sin(e ) = sin(cos x + i sin x) = sin(cos x)ch(sin x) + ish(sin x) cos(cos x) donc +∞ X p=0 (−1)p cos(2p + 1)x = sin(cos x)ch(sin x) (2p + 1)! Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections Exercice 5 : [énoncé] a) Pour tout t ∈ R on peut écrire b) La fonction ϕ est définie, continue et 2π-périodique par convergence normale de la série de fonctions sous-jacente. Pour p ∈ Z f (t) = +∞ int X e n! n=0 cp (ϕ) = P 1 Puisque la série à termes positifs n! converge, on peut par convergence normale calculer les coefficients de Fourier de f en intégrant terme à terme cp (f ) = 1 2π 2π Z 0 3 Z +∞ 1 X 1 2π i(n−p)t −ipt f (t)e dt = e dt 2π n=0 n! 0 1 2π on obtient Z +∞ X cn (f )cn (g)ei(n−p)x dx 2π n=−∞ Par convergence normale de la série des fonctions continues x 7→ cn (f )cn (g)ei(n−p)x on peut intégrer terme à terme Et puisque cp (ϕ) = 2π Z 1 2π eikt dt = δk,0 Z +∞ 1 X cn (f )cn (g) ei(n−p)x dx = cp (f )cp (g) 2π n=−∞ 2π 0 cp (f ) = 1/p! si p ∈ N 0 sinon Exercice 7 : [énoncé] a) Pour |x| < ea , b) Par la formule de Parseval +∞ X 1 1 = 2 (n!) 2π n=0 Z 2π 2 |f (t)| dt +∞ +∞ X X 1 1 −a −a n −a n = e = e (−1) (xe ) = (−1)n e−(n+1)a xn x + ea 1 + xe−a n=0 n=0 0 b) On peut écrire avec 2 |f (t)| = f (t)f (t) = exp eit + e −it = exp(2 cos t) Exercice 6 : [énoncé] a) En vertu de l’inégalité 1 2eit 2eit = 2it = cos t + cha e + 2ch(a)eit + 1 (eit + ea )(eit + e−a ) Par décomposition en éléments simples de la fraction 1 2 a + b2 2 on a 1 2 2 |cn (f )cn (g)| 6 |cn (f )| + |cn (g)| 2 Puisqu’il y a convergence des sommes 2X ab 6 +∞ X n=−∞ 2 |cn (f )| et +∞ X 2 |cn (g)| (X + ea )(X + e−a ) on obtient ea e−a 2eit sh(a) sh(a) = it − it it a (e + e )(eit + e−a ) e + ea e + e−a Puisque eit < 1, on peut décomposer le premier terme comme ci-dessus et on mène des calculs analogues pour la seconde somme n=−∞ on peut, par comparaison de séries à termes positifs, affirmer la convergence de la somme étudiée. +∞ +∞ 1 1 X e−a e−it X = (−1)n e−na eint − (−1)n e−na e−int cos t + cha sh(a) n=0 sh(a) n=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections 4 En combinant les deux sommes 1 1 = cos t + cha sh(a) 1+ +∞ X ! 2(−1)n e−na cos(nt) n=1 P −na Puisqu’il y a convergence de la série e , on peut aisément établir la convergence normale permettant l’intégration terme à terme calculant les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction considérée. Sans surprise, on obtient que la décomposition précédente s’apparente à la décomposition en série de Fourier de la fonction étudiée. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD