Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino Voi. 50, 4 (1992) Differential Geometry T h . Hangan FORMULES DE TRIGONOMETRIE S U R LA V A R I É T É D E G R A S S M A N N A b s t r a c t . Three types of trigonometrie laws for geodesie triangles in real grassmannians are deduced. Then, it is shown that one can get from these the laws of the trigonometry of rank 1 symmetric space». Introduction A l'origine de cette note se trouve l'article [8] de Wu-Yi Hsiang qui comprend une étude de la trigonometrie des espaces riemanniens symétriques de rang 1 et propose l'étude de la trigonometrie (ensemble des propriétés métriques des triplets de points) des espaces homogènes riemanniens. Pour les espaces projectifs complexes, de telles études avaient été déjà entreprises par J.L.Coolidge (1921), W.Blaschke, & H. Terheggen (1939), B.A. Rozenfeld et P.A. Schirokov (1957). Ces auteurs ont établi des lois des sinus et des lois des cosinus analogues aux lois de la trigonometrie spherique et hyperbolique pour le triangle géodésique. A U. Brehm (1990) on doit une étude directe et détaillée [3], de la trigonometrie des espaces symétriques de rang 1; il s'avere que tout triplet d'un tei espace est détérminé à isométrie près par les longueurs a,b,c (supposées inférieures à 7r/2) des arcs géodésiques les plus courts qui relient deux à deux les points du triplet et par la connaissance d'un quatrième invariant du triplet, note cr, contraint à satisfaire à deux inégalités exprimées en termes des longueurs des còtés a^b^c. Comme l'a montré W.Y.Hsiang, la trigonometrie de ces espaces (symétriques de rang 1) est gouvernée par deux lois des sinus et une loi de 368 cosinus qui fournissent 5 équations reliant entre eux les 9. invariants métriques du triplet géodésique (deux invariants angulaires pour chaque sommet et les trois longueurs des cótés); par triplet géodésique, on entend le système forme par un triplet de points complète avec des arcs de géodésique minimisants qui unissent deux à deux les paires du triplet. Récemment sont apparus deux travaux dans la mème direction: la thèse de H. Aslaksen [1], dédiée à la triogonométrie de l'espace riemannien symétrique SU(3) (dont le rang est 2) et les notes aux CRAS de Paris, de E. Leuzinger (1991) [10], [11] qui établissent des lois des sinus pour tous les espaces riemanniens symétriques de type non-compact; cette dernière étude fait appel à la théorie generale des espaces symétriques comme on la trouve dans les livres de S. Helgason, chap. VI, et 0 . Loos, voi. IL Le but de cette note est de montrer que des formules des cosinus et des sinus peuvent ètre encore établies par voie élémentaire pour la variété de Grassmann réelle, munie de sa structure naturelle d'espace symétrique compact. Les lois de la trigonometrie des espaces projectis complexes seront ensuite déduites par particularisation, vu que toute droite complexe de C w + 1 (point de CPn) s'identifle à un espace vectoriel réel de dimension 2 dans i 2 2 n + 2 . Le pian de l'exposé est le suivant: § 1. Rappel des lois de la trigonometrie des espaces projectis complexes. § 2. Une interprétation riemannienne de l'invariant a de Brehm, suivie d'une application pour les quadruplets réguliers. § 3. Invariants métriques des paires de plans dans l'espace euclidien. § 4. Lois de trigonometrie pour la variété de Grassmann Gp(Rn). § 5. Particularisation des formules de trigonometrie de G2(Rn) CPn. à l'espace 1. Soit ( C w + 1 , <, >)l'espace vectoriel complexe hermitien de dimension n -f 1 où re+1 J < xìy>= ^2xjyj , x,yeCn+l j=i et soit CPn = \[x]\ [x] — Cx, x E G' n + 1 {0}}. l'espace projectif complexe de 369 dimension n munì de la distance di'(l*],[y]) \x], \vì I == are cos \<x,y> INI-IMI Le groupe unitaire U(n -f 1) agissant dans C n + 1 induit dans CPn des isometries et celles-ci avec la transformation induite par la conjugaison des composantes des vecteurs de Cn+1ìx = (XÌ) —> x — (XÌ),Ì = l , . . . , n + 1, représentent toutes les isometries de CPn. Si <M [#],[2/]J < TT/2, l'are de géodésique de longueur tu [#], [y]), qui unit [x] à [y] est bien déterminé et le vecteur tangent en [x] à cet are de géodésique est représenté par le vecteur de C n + 1 (2) «Ì.]|M= , y , < 1 ' , * > 7 i / t a , , l , > 1 3 1 2 (1 - | < x,,y > \ y< 2 , • (INI = IWI = D. • | < x,y > | Etant donne un troisième point [z] G CPn à distance de [a;] inférieure à 7r/2, on définit les trois angles <f[x]i \x]i il>[x] P a r còs(p[x]= < V[ic],[y],V[x],[«] > ,'còsA^] = Re < V[E],[J,], V[<c],[s] >, (3) sintp[x] = Im < v[x]}[y]ìv[x]ì[z] > Ils sont liés par la formule (4) cos 2 iffò = cos2 A[^ + sin2 i/>[x] ou sin2 <p[x] + sin 2 ip[x] = sin 2 A[Kj . A[x] s'interprete comme angle des géodésiques issues de [a;], dirigées vers [y] et [z] respectivement, sur le plus court chemin. ^[x] représenté l'angle des droites complexes qui contiennent les vecteurs v[x]ì[y] et t ; ^ ] . Si ^r x j = 0, le triplet {[#],[?/], [2]} est contenu dans un pian projectif réel, sous-variété totalement géodésique de CPn. Etant donne le triplet {[x], [y], [z]} nous allons noter: A = [x],B. = [y],C - [z], a = d(B,C),b = d(C,A),c — d(A,B) et supposer 0 < a,byc < TT/2. 370 Les lois de la trigonometrie de CPn sont exprimées alors par les formules: sin (fA sin a (Si) sin ij)A sin2a (SII) (C) sin (pg sin ò sin ipg sin 26 s i n <p>(j sin e sin ^ sin2c cos 2a = cos 26 • cos 2c + sin 26 • sin 2c • cos A^ — 2 sin 2 6 • sin 2 e • sin 2 < ^ . La loi C des cosinus peut s'écrire aussi de fagon equivalente comme suit: (C ; ) cos 2 a — [ cosò • cose + sino • sin e • cos \ A ) — sin 2 b sin 2 e • sin 2 ^ 4 et sous cette forme, la loi des cosinus de la trigonometrie sphérique (5) cos a = cos b cos e -f sin b sin e cos A lorsque ^ 4 = 0, apparait comme un cas particulier. Les formules S / , S / / et C fournissent les 5 équations qui régissent la trigonometrie du triangle; des 9 paramètres (a, 6, e et encore deux invariants angulaires pour chaque sommet) il ne reste alors que 4 paramètres indépendants. Pour definir. un triplet, à isometrie près, à l'aide de 4 paramètres indépendants, Blaschke-Terheggen et ensuite U. Brehm ont introduit "la forme canonique" en l'exprimant par rapport à une base unitaire de Cn+1 adaptée au triplet. Pour obtenir cette forme canonique, supposons le triplet [#],[#.], [2] £ CPn représenté par trois vecteurs unitaires x,y,z E Cn+1; si les points ne sont pas alignés, il existe une base unitaire de C n + 1 de fa^on que x = ei , y = aei + /3e2 , z = c/ei + •f}'e2 + 7 e 3 . En multipliant y et ensuite e2 par des nombres complexes de module 1, on peut rendre a et (3 réels, positifs et poser a = cos e , P = sin e . La multiplication de z et ensuite de e$ par des complexes de module 1, permet de rendre 7 et (3f ou 7 et a1 réels et positifs. On aura alors la forme canonique x — e\ , y.= cose e i + s i n c e2 , z = cosò e* r ei+sinò(cos# e2+sin# e^) 371 ou bien celle utilisée par Brehm x = e\ , y — cos e e\ + sin e e2 , z = cosò ei + (^2 + ^2)^2 + ^3^3 où (6) 22,^2, ^3 € R , 22, <?3 > 0 , z\ + i f + z\ - sin 2 6 , (c'est l'automorphisme de conjugaison qui permet de supposer £2 > 0). Dans (6), on peut poser aussi z — cos b €1 + sin ò[cos À + z sin ip] e2 + sin 6 sin cpe^ , siny> > 0,sin ip > 0 , A, 9?,^ ayant alors la signification de (3). Si les trois points sont alignés, la forme canonique qui convient est x = e\ , z = cos 6 e i r e i -f sin 6 e2 . y — cos e e\ + sin e e<i , Afìn de trouver un système symétrique d'invariants pour un triplet de CPn, U. Brehm utilise l'invariant introduit par Blaschke-Terheggen (1939) < x-rV >< V->z >< z,x > j, . „ iu} '. ' rr-r-r—rrn^—TTTT^ = cosa • c o s ò - c o s e - e , 0 < u < 2ir SQ\ (8) mi2 - \\y\\2 - MI2 et retient sa partie réelle /n^ /r-irrriV < xry->< n (9) a([x , [y], [2 ) = # e y,z>< 2 z,x > 2 IMI -Imi -IMI = cosa • cos ò • cose • cosa; 2 qui satisfait aux inégalités 1 ' 2 2 2 (10) - ( c o s a + cos b -f cos e — 1) < a < \a\ < cosa • cosò • cose . En termes de la forme canonique (7) (j = (cosò cose + sin osine cos XA) cosò cos e \ / • 9 2 J 2 / 2 . 9i • 9 • (T = cos ocos c(cos c - s i n osin csin 2 / et \ ^ J . Son théorème de congruence des triplets s'énonce ainsi: un triplet géodésique dqnt la longueur des cótés est inférieure a 7r/2, est déterminé a isométrie près, par les longueurs de ses cótés et par son "invariant forme" cr. 372 2. L'utilité de l'invariant a de Brehm s'impose déjà pour les triplets du pian projectif réel RP2 = P(R3). Les distances mutuelles a, 6, e entre les points d'un triplet {A,B,C} C KLP2 ne déterminent pas, à isométrie près, le triplet; en efet, si l'invariant a du triplet est positif, le lacet issu de A porte par les arcs de geodésique de longueur minimum qui lient deux à deux les points du triplet, est homotopiquement nul tandis que si a est négatif, ce mème lacet engendre le groupe TTI(RP2) « Z/2Z. Dans le cas complexe l'invariant a est lié à l'intégrale de la forme de Kàhler de CP2 sur une surface bordée par un lacet d'arcs de géodésiques qui lient entre eux les points du triplet. [6]. Soit {A,B,C} C CPn,n > 2, les distances mutuelles des points du triplet étant supposées inférieures à 7r/2. Soit S la surface générée par les arcs de géodésiques de longueur minimum qui lient le sommet A aux points de Fare de geodésique BC qui est contenu dans la carte exponentielle de rayon ir/2 du sommet A. Soit i l'intégrale de la 2-forme de Kàhler de CPn sur S et a l'invariant forme du triplet {A,B,C}. Alors THÉORÈME (12) o — cosa cosò cose • c o s 2 i . Ce théorème explique un résultat obtenu par B. Ettaoui dans [5] où l'on étudie les quadruplets réguliers de CP3 qui ont par définition un groupe de symétries d'ordre 12 isomorphe au groupe des symétries du tétraèdre régulier de l'espace euclidien. Un tei tétraèdre régulier de petite taille (de longueur des arètes a <arc cos\/3/3) est nécessairement contenu dans un sous-espace projectif réel de CP3 car, en vertu de sa régularité et par le théorème de Stokes, l'intégrale i effectuée sur ses faces s'annule et alors, selon (11), dans la forme canonique (7) on a sin \j) = 0. Cependant, voir [5], pour une longueur commune des arètes a > are cos ^ il en existe des quadruplets réguliers dont l'invariant forme a de leurs faces est nul (2/ = — + kn ) . Dans ce cas, le quadruplet avec les arcs de geodésique de longueur minimum qui unissent les sommets comme arètes et avec des faces engendrées par des arcs de géodésiques issus d'un sommet et qui s'appuient sur Parete opposée, costitue un complexe simplicial de dimension 2 plongé dans CPn dont la classe d'homologie de dimension 2 373 engendre le groupe d'homologie H2(CPn, Z) « Z. Le plus petit tétrèdre de ce type est porte par une sphère S2 « CPi de courbure 1/4 plongée dans CP3 et alors a = are c o s \ / 3 / 3 . 3. Les invariants métriques des couples de p-plans de l'espace euclidien En (de dimension n) ont été étudiés pour la première fois par C.Jordan, en 1875, voir Oeuvres, Voi. III. La notion de base qui se degagé de cette étude est celle "d'angle critique", selon la terminologie plus recente. Soit (M n , <, >) l'espace vectoriel Rn muni du produit scalaire euclidien. On note Gp(Rn) — {X\X sous-espace de dimension p de Mn} la variété de Grassmann des p-plans de M n , 0 < p < n. On suppose p < n — p et on note X^~ le supplément orthogonal de X dans M.n. Les projecteurs orthogonaux dans X et X respectivement. Donc seront notes Px et Px± idRn = Px +'PX± • Soit X, Y G Gp(Mn) et supposons que PX\Y(Y) — X c'est à dire Y appartient à l'ouvert des p-plans supplémentaires à X^~. Si Sy est la sphère unite dans Y", sa projection .Px(Sy) es ^ un ellipsoi'de dans X; notons { e i , e 2 , . . . , ep} une base orthonormale de À" portée par les axes de cet ellipsoide. Il existe alors une base {£i,£2, • • • ?£p} orthonormale de Y, des angles 0 < ^1 < 92 < . . . < 9P < n/2 et une base <B = {ei,e 2 , • • • ?e n } de Mn, orthonormale, de fagon qu'on ait ea = cos6 a ea + sin0 a e.p+a , a = l,2,...,p. Les plans, sous-espaces vectoriels de dimension 2 de M n , engendrés par les vecteurs (eaìep+a), a = 1,2,.•.. , p sont les plans critiques du couple (X,Y) et 9ara — 1,2,... rp les angles critiques du couple. On les appelle ainsi parce qu'ils donnent la solution du problème variationnel suivant: trouver les valeurs stationnaires de l'angle forme par un vecteur de Y et sa projection orthogonale dans X. En termes de ces définitions, une géòdésique 7 : [0,a] —• Gp(Rn), que 7(0) = X est une courbe le long de laquelle: telle 374 i) les plans critiques du couple ( X = 7(0), 7(2)) ne varient pas ii) les angles critiques varient de fagon à rester proportionnels a v e c u n système fìxe de constantes (ci,C2,... , c p ) , donc 0{ = c,-t, voir [15]. La distance e/(X, Y) entre deux p-plans s'exprime en angles critiques par la formule: d(X,Y) = ($l+ % + ... +ti*)1/2. La variété Gp(Mn) est un espace riemannien symétrique de rang p\ les angles critiques déterminent la classe d'isométrie du couple (X,Y). On peut voir la variété Gp(Rn) comme l'ensemble des projecteurs orthogonaux P : Rn —• Rn de trace égale à p et alors le p-plan associé à un tei projecteur P est Im P. Les angles critiques du couple (X, Y) apparaissent alors par les carrés de leurs cosinus dans le spectre de l'opérateur Px ° Py o PxLe point de vue le plus commode pour la trigonometrie semble celui où on interprete un p-plan de IRn comme p-vecteur décomposable de l'espace Vu que Rn est en plus muni de sa structure euclidienne, on représentera un p-plan comme le produit extérieur d'un système de vecteurs formant une base orthonormale du p-plan. Avec les notations déjà introduites, on écrira alors: , X = e\ A e2 A . . . A ep , Y — E\ A £2 A . . . A ep et pour l'instant, les p-vecteurs X et Y sont déterminés à signe près. 4. Nous allons établir deux lois des sinus S/*, SJJ* et une loi des cosinus C* pour la variété 6?2(M"). Les lois S/* et C* ont des correspondants dans le cas plus general des variétés Gp(M.n)] S*JJ se généralise seulement pour p = 2q. P r e m i è r e loi des sinus pour Gp(~Rn) Soit ÀyB,C: E Gp(Rn), soit PA±(B) := B'A, PA±(C) n supposons B' C'A e Gp(R ), àìm(B'A+ C'A = 2p. := C'A et 375 On note Aa, a = 1 , . . . ,p les angles critiques des p-plans B^ et C'A. On note aa,a = 1 , . . . , p les angles critiques des p-plans B et C. On a alors: +. (Sr j / IIsinAa ——; II sin aa IIsin2? a II sin Ca = ——:—:— = ——; . II sin ba II sin ca Esquisse de démonstration. On peut poser: A = ei A . . . A ep = ±e1 A . . . A ep les systèmes { e i , . . . , e p } et {e' 1 ? ... ,eL} étant des bases orthonormales de l'espace A liées aux directions critiques des couples (A,B) et (A,C) comme suit: - l'espace B est engendré par la base orthonormale { e i , . . . ,ep} où Za — Ca C ° s ca + ep+at s i n ca , Qf = 1 , 2 , . •. . { e p + i , . . . ìe2p} étant un système orthonormal d.ans A , - l'espace C est engendré par la base orthonormale {e'i . . . , £p} où e'a = e^cosba + ep+asmba , a = 1,2,... , p '• { e ' + 1 , . . . , e ^ } étant un système orthonormal dans A . Le produit extérieur A AB AC = f II sin c a J f JI sin ba J ei A . . . A e^, Ae p +i A . . . A e2p A ej, + 1 A . . . A e'2/) exprimé en termes d'une base orthonormale e i , . ...,ep,ep+i,.. .,62p ; e2p+i,...., e^p de l'espace de dimension Sp qu'il définit, devient (13) e A AB AC = ± f n . s i n c a V l I s i n 6 0 \ ( l I s i n A 0 ) e i A . . . A e 3 p . On a utilisé le fait que ep+\ A . . . A e2p répresente l'espace i?^ et que »+i A • • • A e2j9 représente l'espace C ^ ; le produit extérieur ( e p + i A . . . A e 2 p) A ( e p + 1 A . . . A e2pj 376 s'exprime en termes d'une base orthonormale { e ^ + i , . . . , e2P, e2p+i<> • • • > ^3p} de ce 2p-plan par ( J J s i n A a j e p + i A . . . A e3p . a S^s. • ^ XN, La norme du 3p-vecteur AABAC étant symétrique dans les trois factéurs du produit, on obtient de (13) la loi S j . D e u x i è m e loi des sinus pour (^(M 71 ) Etant donnés trois bivecteurs décomposables, unitaires de (M71, < , > ) A = aAa' ,B = fiAfif , C = 7 A 7' où (a, a'), (/?,/?'), (7,7') sont trois couples de vecteurs unitaires orthogonaux, posons, par défìnition A*B \ / =< a1, fi > aA/3', ni < a, fi > a' A fi'- < a\fif > a A fi ì A n + < a, fi' > a' Afi . A signe près, le bivecteur est indépendant des représentants choisis pour definir ses deux factéurs. On a alors (S//*) < A*B,C> <C*A,B> <B*C,A> On peut obtenir la deuxième loi des sinus SJJ de l'espace projectif complexe par particularisation de cette formule; pour cette raison, elle a été note SJJ*. X"s. x-s. /S .xs. /S /S On peut interpréter les deux réels \\A A B A C\\ et | < A * # , C > | en termes de la multiplication dans l'algebre de Clifford C/(M n ,<, >) associée à l'espace vectoriel euclidien de dimension n. Rappelons que l'algebre C7(Mn, < , >) s'identifie à l'espace vectoriel A(Mn) des tenseurs antisymétriques de M n , muni de la multiplication V défìnie par x V v — x A v — ixov x GÌ , v G A(Rn) où par x° £ (M n )* on entend la forme x°(.) = < x,. > et A désigne le produit extérieur. Le produit A V È V C se decompose en somme de composantes homogènes •AVBVC = po + p2+P4+p6., P«eAa(ln) 377 ou p6 = AABAC , p0=<A*B,C>. En termes d'éléments qui interviennent dans la forme réduite d'un triplet {A,J9,C} C ( ? 2 ( l 6 ) A = e\ A e 2 (15) B = (cos c\ e\ + sin ci 63) A (cos c 2 e 2 + sin c 2 64) C = (cosòi(cosu;^4 e\ + sino;^ e 2 ) + sin 61 u) A (cos62(— sincj^ e\ + coso;^ e2) + sin 62 v) OU u = u3e3 + u4e4 + u5e5 , i; = v3e3 + v4e4 + ^ 5 + v6e6 , 5 6 5 «=3 «=3 a=3 le scalaire pò devient < A * J9,C > = c o s ^ [ i t 4 cosci cos6 2 sin61 sinc 2 — v3 sin ci sin 62 cos 61 cos c2] — sin UÀ [V4 cos ci cos b\ sin 62 sin c 2 -1- W3 sin Ci sin 61 cos ò2 cos c2] . Dans la forme réduite, UJA représente l'angle dont il faut tourner dans le pian A les directions critiques du couple (A, B) pour obtenir les directions critiques du couple (A,C). La loi des cosinus pour (^(M 6 ) Cette loi s'obtient en faisant le produit scalaire < B, C > et en observant d'une part qu'il représente le produit des cosinus des angles critiques ai,fl 2 formés par le deux-plans B, C et en l'exprimant d'autre part, à partir de la forme réduite du triplet. On obtient cos ai -cos a 2 = sin ci sin c 2 sin 61 sin 62(^3^4 — ^4^3) + cos ci cos c 2 cos 61 cos 62 -f cos o;^ [174 cos ci sin c 2 cos 61 sin 62 -f- ^3 sin à\ cos c2 sin 61 cos 62] + sin 0)^4 [1*4 cos ci sin c 2 sin 61 cos 62 — ^3 sin ci cos c2 cos òi sin 62] • 378 5. Si on associe à chaque point A = [x] G £P2 le pian réel de M6 a C 3 engendré par les vecteurs x et ix, la forme réduite (7) du triplet {A,B, C} C CP2 s'exprime en termes de plans réels dans IR6 par A = e\ A ie\ B = (cos ce\ + sin e 62) A (cos e ie\ -f- sin e ie2) C = (cos 6 €1 -f sin 6 cos A^ e2 + sin 6 sin ^ 4 ^ 2 + sin b sin </?^ 63) A A (cos b ie\ -f sin b cos A ,4 z'e2 — sin b sin ^ 4 e2 + sin b sin < ^ ^3) . On trouve alors A A B A C = sin e • sin 6 • sin <pj^ e\ A ze! A e2 A Ì€2 A e3 A ie3 , < A * f ? , C > = — sin c cose < e\ A e2 + «ei A ie2, C > = = 2 sin e cos e sin 6 cos ò sin ip^ = - sin 26 sin 2c sin ^ 4 , cos 2 a = < cos 2 e ei A iei + sin 2 e e2 A ie2 + cos e sin c(ei A ie2 -f e2 A iei), C > = cos 2 6 cos2 e -f sin 2 e sin 2 ò(cos 2 A^ + sin 2 ^ 4 ) -f 2 cos e sin e cos b sin 6 cos A^ ce qui prouve les formules 5 j , SJJ et C'. D e u x remarques à propos de la loi SJJ* Considérons deux applications linéaires f,g:V~ (M2, <, >) -* W ~ (M m , < , >) d'espaces vectoriels euclidiens et soit *8 = {ei,e2} V. Posons (17) < fAg>:= \ < f{el),g{e2) une base orthonormale de > - < f(e2),g(e1) > |; le réel positif ou nul ainsi défini ne dépend pas de la base *B. Soit A, R, C E G2(Rn) et supposons que B, C soient des supplémentaires de l'espace A •. Notons P?±-{P^±) la restriction à l'espace A du projecteur de 379 M71 dans A1 qui correspond à la décomposition Rn = B © A1, (Mn = C © A 1 ) où la somme directe n'est pas orthogonale. On a alors T} S~1 < P"7j_ A P V ± > cos b\ cos 62 cos c\ cos c2 = < P j j j . A P ^ j . > COS Ci COS C2 COS a i COS Cl2 A r>B = < P>^4 ^j. A Ì£?j_ > cos «i cos a 2 cos òx cos 62 ou , <^xAfjx > _ < < i A ^ > cos ai cos a 2 cosòiCos6 2 s l ) -^ _ < f c V ^ x > cosci cos c 2 formule qui est equivalente à S//*. La généralisation de SJJ pour les variétés G 2? (M n ) réside dans la considération du produit /i * n * o — I2_^òi...2g (18) ò 1...2g • fc < ì...2g -atijA\7i^ • • • < <*ivPjq > • < ^ + i » 7 * 1 > . • - . < ^ 2 ^ 7 ^ > symétrique en ses trois facteurs. Dans cette formule A , P , C E G2g(^n) ***. ***. *^< i = aiA...Att2g? 5-ftA...Aft?, C • = 71 A . . . A 7 2 g sont des 2g-vecteurs décomposables de À 2? (IR n ) représentés par des bases orthonormales { a i , . . . ,o; 2 g} pour A , . . . , et £a* " 2 2g désigne la signature de la permutation ( 2 i , z 2 , . . . , «2g) des indices ( 1 , 2 , . . . ,2^). Si, en généralisation de (17), on définit pour deux applications linéaires f,g < fAg : V "~ '(R 2 *,<,>) - W * ( M m , < , > ) > := | ^ 4 ' ; . 2 g 2 ? < / ( c i i ) ^ ( c f 2 ) > < i f(eh)r9{eiA)> .••</(ei 2 g _ 1 ),fif(e i - 2 ( ? )> alors, la symétrie du produit (18) se traduit par la formule < Pjfx A f ^ licosa^ > _ < Pgx A i ^ x > _ < P^AP^ IIcos6a li cos ca > 380 L a deuxieme loi des sinus de la trigonometrie des espaces symétriques de r a n g 1 découle de cette dernière formule. REFERENCES [1] H. ASLAKSEN, Laws of trigonometry on SU(3), T.A.M.S., 1990. [2] W. BLASCHKE, H. T E R H E G G E M , Trigonometria hermitiana, Rend Sem. Mat. Univ. Roma 3 (1939), 153-161. [3] U. 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