Rappel d`hier p,q,r : trois propositions logiques. P := ((¬q) ∧ ( p ∨ r

Rappel d’hier
p,q,r : trois propositions logiques.
P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p est aussi une proposition.
En forme de tableau :
p q r ¬q p ∨ r (¬q) ∧ (p ∨ r ) ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p
V V V F
V
F
V
V V F F
V
F
V
V F V V
V
V
V
V F F V
V
V
V
F V V F
V
F
V
F V F F
F
F
V
F F V V
V
V
F
F F F V
F
F
V
Conclusion : P est faux si et seulement si (p est faux et q est faux et r est
vraie).
16 septembre 2015
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Soit P comme avant.
Soit Q := ¬ ((¬p) ∧ ((¬q) ∧ r )). et soit R = p ∨ (q ∨ (¬r ).
Tableau :
p q r ¬p ¬q (¬q) ∧ r ) ((¬p) ∧ ((¬q) ∧ r )) Q
V V V F
F
F
F
V
V V F F
F
F
F
V
V F V F
V
V
F
V
V F F F
V
F
F
V
F V V V
F
F
F
V
F V F V
F
F
F
V
F F V V
V
V
V
F
F F F V
V
F
F
V
R
V
V
V
V
V
V
F
V
P
V
V
V
V
V
V
F
V
Conclusion : P, Q et R ont la même vérité, n’importe les valeurs de p, q,r .
On dit P, Q et R sont des propositions composées logiquement équivalent.
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Reformulation :
On pourrait voir
P = P(p, q, r ), Q = Q(p, q, r ), R = R(p, q, r )
comme trois formules ou trois fonctions qui dépendent de p, q, r .
Ex :
P : {propositions logiques}3 → {propositions logiques}
où le triple de propositions (p, q, r ) est envoyé vers la proposition
P = P(p, q, r ).
Par définition : P et Q sont logiquement équivalentes si les fonctions
composées avec la fonction "vérité" deviennent identiques :
"vérité" ◦ P = "vérité" ◦ Q
Vous comprenez cette abstraction ? (Cette diapos est sans importance).
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Avec P et Q comme avant. Discutons P ↔ Q :
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
V
V
V
V
F
V
Q
V
V
V
V
V
V
F
V
P↔Q
V
V
V
V
V
V
V
V
La proposition logique composée P ↔ Q est toujours vraie, pour tous les
valeurs de vérité de p, q et r .
On dit P ↔ Q est une tautologie, notation P ⇔ Q.
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Definition
Une proposition logique composée qui est toujours vraie, quelles que soient
les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une
tautologie.
Exemple : p ∨ (¬p) est une tautologie.
(p ∧ q) → (p ∨ q) est une tautologie.
Si P est une tautologie, on écrit P ⇔ V
(Ici V =une proposition toujours vraie).
Definition
Une proposition logique composée qui est toujours fausse, quelles que
soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée
une contradiction.
Exemple : p ∧ (¬p) est une contradiction.
Si P est une contradiction on écrit P ⇔ F .
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Definition
Deux propositions logiques composées P et Q sont appelées logiquement
équivalentes si la proposition logique P ↔ Q est une tautologie.
Dans se cas on écrit P ⇔ Q. Alors c’est cas si P vraie si et seulement Q
est vraie, n’importe les valeurs de vérité des composantes simples.
Une liste d’équivalences logiques utlisées tout le temps :
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p ∨ p ⇔ p (Idempotence)
p ∧ p ⇔ p (Idempotence)
¬(¬p) ⇔ p (Loi de la double négation)
p ∧ q ⇔ q ∧ p (Commutativité)
p ∨ q ⇔ q ∨ p (Commutativité)
((p ∨ q) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r )) (Associativité)
((p ∧ q) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r )) (Associativité)
(p ∨ (q ∧ r )) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r ))) (Distributivité)
(p ∧ (q ∨ r )) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r ))) (Distributivité)
¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan)
¬(p ∨ q) ⇔ ((¬p) ∧ (¬q) (Loi de De Morgan)
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La plupart des preuves est facile. Deux exemples de preuve par tableau :
Si P := p ∨ (q ∧ r ) et Q := (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) on a
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
q∧r
V
F
F
F
V
F
F
F
P
V
V
V
V
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
V
V
V
F
F
p∨r
V
V
V
V
V
F
V
F
Q
V
V
V
V
V
F
F
F
Effectivement P ⇔ Q (un des deux lois de la distributivité).
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Montrons ¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan).
Soit P = ¬(p ∧ q) et Q = ((¬p) ∨ (¬q)). On a
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
P
F
V
V
V
¬p
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
Q
F
V
V
V
Effectivement P ⇔ Q (un des deux lois de De Morgan).
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Ajoute de règles évidentes :
p ∧ V ⇔ p, p ∨ F ⇔ p ("Identité") ;
p ∨ V ⇔ V , p ∧ F ⇔ F ("Domination").
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Autre exemple :
(P → Q) ⇔ (¬Q → ¬P) et (P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
Preuve :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P→Q
V
F
V
V
¬Q
F
V
F
V
¬P
F
F
V
V
(¬Q) → (¬P)
V
F
V
V
(¬P ∨ Q)
V
F
V
V
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Ces deux équivalences logiques sont souvent utilisées dans les preuves
mathématiques.
Soient P et Q deux proposition logiques en mathématiques. Considérons :
Théorème
P→Q
Preuve directe typique :
Si P est fausse, l’implication est automatiquement vraie. (Cette phrase est
souvent omise).
Supposons P est vraie. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des
théorèmes déjà montrés), on montre que Q sera aussi vraie.
On aura montré que P → Q est vraie.
En math : si on écrit "On veut montrer P" ça veut dire "On veut montrer
que la proposition P est vraie."
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Preuve indirecte typique :
Il suffit de montrer sa contraposée (¬Q) → (¬P).
Si ¬Q est faux (ou Q est vraie), l’implication est automatiquement vraie.
(Cette phrase est souvent omise).
Supposons Q est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des
théorèmes déjà montrés), on montre que P sera aussi fausse.
On aura montré que P → Q est vraie.
Différence : avec une preuve directe on peut travailler avec l’hypothèse que
P est vraie pour montrer qu’alors Q est aussi vraie.
Avec une preuve indirecte on peut travailler avec l’hypothèse que Q est
faux pour montrer qu’alors P est aussi faux.
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Fausse preuve typique :
Il suffit de montrer (¬P) → (¬Q) est vraie.
Si ¬P est faux (ou P est vraie), l’implication est automatiquement vraie.
Supposons P est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des
théorèmes déjà montrés), on montre que Q sera aussi fausse.
On aura montré que P → Q est vraie.
Une telle FAUSSE preuve est inacceptable.
Ca vaut 0 points dans un examen. On est averti !
(Ce qu’on montre en fait est la réciproque q → p).
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Exemple :
(P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) .
Preuve :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P↔Q
V
F
F
V
P→Q
V
F
V
V
Q→P
V
V
F
V
((P → Q) ∧ (Q → P))
V
F
F
V
En mots : P ↔ Q est vraie si et seulement si P → Q et sa réciproque
Q → P sont vraies.
Pour montrer que P ↔ Q (est vraie) il suffit de montrer que P → Q (est
vraie) et puis de montrer qu’aussi (¬P → ¬Q) (⇔ (Q → P))(est vraie).
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Soit p(u) une fonction propositionnelle avec domaine de discours U.
Rappelons : "∀u p(u)" est fausse si et seulement s’il existe au moins un u
tel que p(u) est fausse.
Traduction :
¬(∀u p(u)) ⇔ ∃u (¬p(u))
Et "∃u p(u)" est fausse si et seulement si pour chaque u on a que p(u) est
fausse.
Traduction :
¬(∃u p(u)) ⇔ ∀u (¬p(u))
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À la place d’utiliser un tableau pour vérifier une équivalence logique, on
peut aussi utiliser les petites règles déjà montrées, comme en algèbre.
Un exemple suffit pour comprendre.
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Disons P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p et Q := (p ∨ (q ∨ (¬r ))).
P ⇔ (¬((¬q) ∧ (p ∨ r ))) ∨ p (Car (p → q) ⇔ ((¬p) ∨ q))
⇔ (¬(¬q) ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Selon De Morgan)
⇔ (q ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Double négation)
⇔ (q ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) ∨ p (Selon De Morgan)
⇔ q ∨ (p ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) (Assoc. et comm. pour ∨)
⇔ q ∨ ((p ∨ (¬p)) ∧ (p ∨ (¬r ))) (Distrib.)
⇔ q ∨ (V ∧ (p ∨ (¬r ))) (Selon (p ∨ (¬p)) ⇔ V )
⇔ q ∨ (p ∨ (¬r ))) (Selon (p ∨ V ) ⇔ p)
⇔ Q (Assoc. et commut.)
Et voilà !
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On a vu beaucoup de ()’s dans cette preuve. Trop.
Convention
Parce que p ∨ (q ∨ r ) = (p ∨ q) ∨ r , écrire
p∨q∨r
n’est pas ambigu. On supprime des ()’s.
Aussi pour
p∧q∧r
On pose que "¬" a une plus haute priorité que ∨ ou ∧ ou → ou ...
¬p ∨ q veut dire (¬p) ∨ q.
¬p → q veut dire (¬p) → q.
Mais p ∧ q ∨ r et p ∧ q → r sont ambigu : il faut avoir des ()’s.
Vous aussi devez évitez des ambiguités, en utilisant les ()’s.
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((P → Q) ∧ P) → Q est une tautologie.
((P → Q) ∧ ¬Q) → ¬P est une tautologie.
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