Universit´ e Fran¸ cois-Rabelais de Tours L3 Math´

Université François-Rabelais de Tours
2017
L3 Mathématiques
Probabilités et Statistiques
Feuille 5
Convergence en probabilité, inégalité de Markov et loi faible des grands nombres
Exercice 1
On jette 3600 fois un dé et on appelle S le nombre de fois où apparaı̂t le numéro 1.
1) Quelle est la loi de S ? Donner sa moyenne et sa variance.
2) Exprimer sous forme d’une somme la probabilité que S ∈]480, 720[.
3) Grâce à l’inégalité de Tchebychev, minorer cette probabilité.
Exercice 2
Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres λn avec λn → 0 quand
n → ∞. Montrer que (Xn ) converge en probabilité.
Exercice 3
Soit (Xn )n≥1 et X des variables aléatoires réelles de carrés intégrables.
1) On suppose que limn→∞ E(|Xn − X|) = 0. Montrer que Xn → X en probabilité.
2) On suppose que limn→∞ E(Xn − X) = 0 et limn→∞ V(Xn − X) = 0. Montrer que Xn → X en
probabilité.
Exercice 4
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de loi
binomiale B(4, 1/4). Montrer que lorsque n → ∞, la variable aléatoire
X12 + · · · + Xn2
n
converge en probabilité vers une variable aléatoire que l’on identifiera.
Exercice 5 (Piles ou faces)
On joue à pile ou face en jetant n+1 fois une pièce équilibrée et on s’intéresse au nombre de fois où l’on
a obtenu 2 piles consécutifs. On modélise l’expérience par une suite de variables aléatoires (Xi )1≤i≤n+1
indépendantes et identiquement distribuées de loi B(1/2), où {Xi = 1} désigne l’événement “le i-ème
jet est pile” et {Xi = 0} désigne l’événement “le i-ème jet est face”. On pose Yi = Xi Xi+1 , pour tout
1 ≤ i ≤ n.
1) Interpréter l’événement {Yi = 1}. Que représente la variable aléatoire Tn = Y1 +· · ·+Yn (n ≥ 1) ?
2) Calculer P[Yi = 1], puis donner la loi de Yi . Calculer E[Yi ], V[Yi ] et E[Tn ].
3) On fixe (i, j) dans {1, . . . , n}2 tels que i < j. Calculer P[Yi = 1, Yj = 1]. En déduire la loi du
couple (Yi , Yj ). Ces variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
4) Montrer que Cov[Yi , Yi+1 ] = 1/16 et Cov[Yi , Yj ] = 0 si |i − j| > 1. En déduire que
5n − 2
,
16
∀n ≥ 1.
Tn 1 5n − 2
P − >ε ≤
,
n
4
16n2 ε2
∀n ≥ 1,
V[Tn ] =
5) Montrer que
La suite (Yn )n≥1 vérifie-t-elle une loi faible des grands nombres ?
1
∀ε > 0.
Exercices supplémentaires
Exercice 6
1) (Inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire réelle, positive et intégrable. Démontrer que
E(X)
pour tout a > 0, P(X ≥ a) ≤
.
a
2) Soit Z une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ ≥ 0. Montrer que eZ
admet une espérance et la calculer.
3) En déduire que la quantité P(Z ≥ n) tend vers 0 exponentiellement vite quand n → +∞.
Exercice 7
Z x
1
1
1
2
e−u /2 du ≥ − 2 .
À l’aide de l’inégalité de Tchebychev, montrer que pour tout x > 0, √
2 x
2π 0
Exercice 8 (Convergence en probabilité)
Soient (Xn )n≥0 et (Yn )n≥0 des suites de variables aléatoires, et (an )n≥0 une suite réelle.
1) Montrer que si (Xn )n≥0 converge vers 0 en probabilité et si (an )n≥0 est bornée, alors (an Xn )n≥0
converge vers 0 en probabilité.
2) Soit (Xn )n≥0 telle que E[Xn ] = 0, pour tout n ≥ 0. Montrer que si cette suite vérifie la loi faible
des grands nombres, alors (Xn /n)n≥0 converge vers 0 en probabilité.
Exercice 9 (Une loi faible des grands nombres)
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P). On suppose
que les variables Xn admettent un moment d’ordre 2 et que pour tout n ≥ 1, E[Xn ] = m et V[Xn ] ≤ c,
pour des constantes m ∈ R et c > 0. On suppose de plus que pour tous m, n ≥ 1 tels que m 6= n,
E[Xn Xm ] = E[Xn ]E[Xm ]. Démontrer que pour tout ε > 0, on a
X1 + · · · + Xn
lim P − m ≥ ε = 0.
n→∞
n
2