2013-2014

Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
Probabilités et statistiques élémentaires – LM231
Contrôle continu du 28 février 2014 - Durée 1h30
Exercice 1 Un voyageur se déplace par avion de la ville A à la ville D en
faisant escale par les villes B et C. Les probabilités de perdre un bagage en A
lors du vol de A à B (événement ẼA ), en B lors du vol de B à C (événement
ẼB ) ou en C lors du vol de C à D (événement ẼC ) sont égales et valent p.
On appelle EA (resp. EB ,, EC ) les événements “le bagage s’est perdu en A”
(resp. en B, resp. en C).
1) On note P l’événement “le bagage s’est perdu pendant le trajet de A à
D”. Exprimer P en fonction de EA , EB , EC .
2) Calculer les probabilités des événements EA , EB , EC et P .
2) A son arrivée en D le voyageur constate que son bagage s’est perdu.
Calculer les probabilités respectives que celui-ci soit resté en A, B, C (on
supposera que les événements EA , EB , EC sont mutuellement indépendants).
Exercice 2 On dispose de quatre dés, chacun numérotés de 1 à 6. On jette
les quatre dés et on note k1 , k2 , k3, k4 les chiffres lus respectivement sur le
premier, le deuxième, le troisième dé et le quatrième dé. Pour i = 1, 2, 3, 4,
on note Ai l’événement “le nombre de valeurs distinctes lues sur les dés égale
i”. On note également
– B :“obtenir des nombres différents sur chacun des dés” ;
– C : “obtenir une paire” c’est-à dire deux et seulement deux dés parmi
les quatre portent la même valeur.
– D : “obtenir une double paire” : c’est-à-dire deux dés avec une même
valeur et les deux autres avec une même valeur distincte de la première.
– E : “obtenir un brelan” c’est-à-dire trois dés et seulement trois dés
parmi les quatre portent une même valeur.
1) Définir un espace probabilisé qui modélise le jeu.
2) Expliquer pourquoi B = A4 , C = A3 , A2 = D ∪ E.
3) Calculer les probabilités des événements Ai , i = 1, 2, 3, 4. B, C, D, E.
4) Le joueur gagne 1/P(Ai ) euros si l’événement Ai se réalise. On note X le
gain du joueur.
4.a) Expliquer pourquoi X est une variable aléatoire.
4.b) Calculer son espérance.
1
Exercice 3 On suppose que (Ai )i∈{1,...,n} est une suite d’événements de
l’espace probabilisé (Ω, B, P).
1) Quelle est la tribu engendrée par Ai ?
2) On suppose que la famille (Ai )i∈{1,...,n} est indépendante. Démontrer que
la famille d’événements (Aci )i∈{1,...,n} est indépendante.
3) On suppose en outre que chaque événement Ai est de probabilité 1/n. On
note Bn = A1 ∪ · · · ∪ An et pn = P(Bn ). Démontrer que pn admet une limite
quand n → ∞ et la déterminer.
2
Université Pierre et Marie Curie
UE LM231 – Probabilités et Statistiques
Licence de Mathématiques L2
Année 2013-14
Contrôle continu du 11 avril 2014 - Durée 1h30
Exercice 1
1. Calculer la fonction génératrice d’une v.a.r. suivant une loi de Poisson de paramètre
λ.
2. On considère deux v.a.r. Xi , i = 1, 2 indépendantes, chacune suivant une loi de
Poisson de paramètre λi , i = 1, 2. Quelle est la fonction génératrice de la v.a.
X1 + X2 ?
3. Que dire de la loi de X1 + X2 ?
Exercice 2 On suppose que X est une v.a.r ne prenant que des valeurs supérieures ou
égales à 1/2 et admettant une densité continue par morceaux égale à ρX : R →]0, ∞[. On
note FX la fonction de répartition de X (on rappelle que pour tout t réel FX (t) = P(X ≤
t)).
1. Démontrer que FX est dérivable en tout point où ρX est continue et qu’en un tel
point t on a FX′ (t) = ρX (t).
1
2. On note Y = .
X
(a) Expliquer pourquoi Y est une variable aléatoire.
(b) Démontrer que si FY est la fonction de répartition de Y on a pour tout réel
t>0
1
FY (t) = 1 − FX ( ).
t
3. Expliquer rapidement pourquoi Y admet une densité et la calculer en fonction de
celle de X.
4. On suppose que X suit une loi uniforme sur [1/2, 1]. Calculer l’espérance et la
variance de Y .
5. On suppose à présent que (Xk )k≥1 est une suite de v.a.r. i.i.d. suivant une loi
uniforme sur [1/2, 1].
(a) Démontrer que P-presque sûrement la somme
1! 1
n k=1 Xk
n
Mn :=
converge vers une v.a.r. que l’on identifiera.
(b) Expliquer pourquoi il existe un réel a pour lequel la limite suivante existe
√
lim P( n(Mn − a) ∈ [−1, 1])?
n→∞
Université Pierre et Marie Curie
UE LM231 – Probabilités et Statistiques
Licence de Mathématiques L2
Année 2013-14
Examen du 6 mai 2014 - Durée 2h
Aucun document autorisé ni calculatrices, téléphones portables etc.
Exercice 1 On dispose de deux pièces de monnaie A et B truquées que l’on ne peut pas
distinguer l’une de l’autre. Quand on lance la pièce A le côté pile sort avec probabilité p
tandis que le lancer de la pièce B fait apparaı̂tre pile avec probabilité 1 − p. On choisit
une des deux pièces au hasard et on la lance successivement deux fois. On se propose de
répondre à la question suivante : sachant que pile apparaı̂t lors du premier lancer, quelle
est la probabilité que pile apparaisse lors du second lancer ?
On modélisera le problème de la façon suivante : Il existe un espace probabilisé
(Ω, B, P) et des variables aléatoires L : Ω → {A, B}, X1 , X2 : Ω → {1, 0} (pile = 1,
f ace = 0) tels que : (i) P(L = A) = P(L = B) = 1/2 et (ii) P(Xi = 1|L = A) = p,
P(Xi = 1|L = B) = 1 − p (pour i = 1, 2). On suppose en outre que : (iii) X1 et X2
sont indépendantes conditionnelement à L c’est-à-dire que pour tout l ∈ {A, B} et tout
(x1 , x2 ) ∈ {0, 1}2 on a P(X1 = x1 et X2 = x2 |L = l) = P(X1 = x1 |L = l)P(X2 = x2 |L =
l).
1. Que représentent dans le problème les variables aléatoires L, X1 , X2 et la quantité
P(X2 = 1|X1 = 1) ?
2. Calculer en fonction de p les probabilités P(X1 = 1) et P(X1 = 1 et X2 = 1).
3. En déduire P(X2 = 1|X1 = 1).
4. Comparer P(X2 = 1|X1 = 1) à 1/2.
5. Construire un espace (Ω, B, P) et des variables aléatoires L : Ω → {A, B}, X1 , X2 :
Ω → {1, 0} vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii).
Exercice 2
1. On suppose que U est une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur [0, 1].
(a) Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire − ln U.
(b) En déduire que − ln U suit une loi exponentielle de paramètre 1.
(c) Pour λ > 0, déterminer la loi de la variable aléatoire (−1/λ) ln U.
2. Soient X1 , . . . , Xn , . . . une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de
même loi de densité ρ : R → [0, ∞[ et g : R → R une fonction continue par
morceaux et bornée.
(a) Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire g(X1 ) en fonction
de g et de ρ. Que dire de l’espérance et de la variance de g(Xi ) pour i ≥ 2 ?
(b) Exprimer la fonction caractéristique de la v.a.r. g(Xi ) en fonction de ρ.
(c) Démontrer que les variables aléatoires g(Xi ), i = 1, 2, . . ., admettent toutes la
même loi.
(d) On pose Sn (g) = g(X1 ) + · · ·+ g(X
! n ). Démontrer que la suite de v.a.r. Sn (g)/n
converge presque sûrement vers R ρ(x)g(x)dx.
(e) Démontrer pour tout a ≥ 0 l’égalité :
#
"#
%
$
$ a
# Sn (g)
# aσ(g)
1
2
#
#
lim P #
− ρ(x)g(x)dx# ≤ √
=√
e−x /2 dx
n→∞
n
n
2π −a
R
"
%2
! 2
!
2
avec (σ(g)) = R g (x)ρ(x)dx − R g(x)ρ(x)dx .
3. On suppose à présent que U1 , . . . , Un , . . . est une suite de v.a.r. i.i.d suivant une
même loi uniforme sur [0, 1] et on pose pour i ≥ 1, Xi = − ln Ui .
(a) Expliquer pourquoi X1 , . . . , Xn , . . . est une suite de v.a.r. i.i.d et déterminer la
densité ρ de leur loi commune.
4
(b) On pose f (x) = e−x (sin x)1]0,∞[ (x), g = f /ρ (ρ de la question 3a) et on définit
comme dans la question 2 la v.a.r. Sn (g) = g(X1 ) + · · · + g(Xn ). Démontrer
que pour n assez grand on a avec probabilité supérieure ou égale à 0.95
$ ∞
Sn (g)
C Sn (g)
C
4
e−x sin xdx ∈ [
−√ ,
+√ ]
n
n
n
n
0
où C ≈ 1.96e,! e étant la base du logarithme népérien (e ≈ 2, 718). On rappelle
2
c
que (2π)−1/2 −c e−t /2 dt = 0.95 pour c ≈ 1.96
Exercice 3
1. On suppose que Y est une v.a.r. suivant une loi normale N (µ, σ 2) (espérance µ,
2
2
variance σ 2 , densité (2πσ 2 )−1/2 e−(t−µ) /2σ ). Démontrer qu’il existe une v.a.r. Ỹ
suivant une loi normale centrée réduite N (0, 1) telle que Y = σ Ỹ + µ.
2. On rappelle que la fonction caractéristique d’une v.a.r. suivant une loi normale
2
centrée réduite est la fonction ϕ : R → R, ϕ(t) = e−t /2 . Que vaut la fonction
caractéristique d’une v.a.r. suivant une loi normale N (µ, σ 2) ?
3. On suppose que pour tout n ≥ 0 la v.a.r. Xn suit une loi normale N (0, σn2 ) (centrée
de variance σn2 ). Démontrer que si la suite de v.a.r. (Xn )n≥0 converge en loi vers
une v.a.r. X alors X suit une loi normale centrée.
FIN
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