Université d`Angers Année universitaire 2014

Université d’Angers
L3 Math
Année universitaire 2014-2015
Travaux dirigés de Probabilités
Feuille 5
Convergence de variables aléatoires
Exercice 1 (Stabilité de la convergence en probabilité). Soient (Xn ) et (Yn ) deux suites de
variables aléatoires convergeant en probabilité vers X et Y respectivement. Montrer que :
1) pour tout a ∈ R, aXn + Yn → aX + Y en probabilité ;
2) Xn Yn → XY en probabilité ;
3) pour toute fonction réelle f continue, f (Xn ) → f (X) en probabilité.
Exercice 2 (Convergence en probabilité vs. presque sûre). 1) Donner un exemple de suite
de variables aléatoires qui converge en probabilité
P mais pas presque sûrement.
2) Montrer que si une suite (Xn ) est telle que
P(|Xn | > ) converge quel que soit > 0,
alors elle converge vers 0 presque sûrement.
3) En déduire que si une suite (Xn ) tend vers 0 en probabilité, alors il existe une suite extraite
(Xφ(n) ) qui tend vers 0 presque sûrement.
Exercice 3. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. et intégrables et soit (an ) une
suite de nombres réels convergeant vers 1. Montrer que presque sûrement
lim
n→∞
a1 X1 + · · · + an Xn
= E(X1 ) .
n
Exercice 4 (Une réciproque de la loi forte des grands nombres). Soit (Xn ) une suite de
variables aléatoires i.i.d. définies sur un même espace probabilisé (Ω, F, P). On suppose que
la suite de termePgénéral n−1 (X1 + · · · + Xn ) converge presque sûrement vers une variable X.
1) Montrer que n P(|Xn | > n) < ∞.
2) En déduire que X1 est intégrable et que X = E(X1 ) presque sûrement.
Exercice 5. Soit (Xn ) une suite de variables indépendantes de fonctions de répartition


si t < 0
0
P(Xn ≤ t) = an + (1 − an )tn si 0 ≤ t < 1


1
si t ≥ 1
où (an ) est une suite de nombres de l’intervalle [0, 1]. Déterminer des conditions nécessaires et
suffisantes pour que la suite (Xn ) converge (1) en loi, (2) en probabilité, (3) presque sûrement.
Exercice 6 (Suite de Cauchy en probabilité). 1) Vérifier qu’une suite de nombre réels (xn )
est de Cauchy si et seulement si la suite de terme général sn = supk≥n |xk − xn | converge
vers 0.
On dit qu’une suite de variables aléatoires (Xn ) est de Cauchy :
— au sens I si, pour tout > 0,
lim P(sup |Xk − Xn | > ) = 0.
n→∞
k≥n
— au sens II si, pour tout > 0,
lim sup P(|Xk − Xn | > ) = 0.
n→∞ k≥n
2
2) Montrer qu’une suite est de Cauchy au sens I si et seulement si elle converge presque
sûrement.
3) Montrer qu’une suite est de Cauchy au sens II si et seulement si elle converge en probabilité.
Exercice 7 (Série dont les termes sont de signe aléatoire). 1) Soit X1 , X2 , . . . , Xn des variables
indépendantes, centrées et de variance finie. Pour tout k = 1, . . . , n, on pose Sk = X1 + X2 +
· · · + Xk et, un nombre réel λ > 0 étant fixé, on pose T = inf{1 ≤ k ≤ n : |Sk | > λ}.
1.a) Démontrer que λ2 P(T = k) ≤ E(Sk2 1{T =k} ) ≤ E(Sn2 1{T =k} ).
1.b) En déduire l’inégalité de Kolmogorov :
n
X
P( sup |Sk | > λ) ≤ λ−2
E(Xk2 ).
1≤k≤n
k=1
2) Soit (ξn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, avec P(ξn = 1) =
P(ξn = −1) = 1/2 et soit (an ) une suite de nombres réels positifs.
2.a) Utiliser l’inégalité de Kolmogorov pour démontrer que
!
∞
k
X
1 X 2
P sup |
ai .
ξi ai | > λ ≤ 2
λ
k≥n+1 i=n+1
i=n+1
P
2.b) En déduire une condition suffisante de convergence presque sûre de la série
ξn a n .
Exercice 8. Soit (Xn ) une suite de v.a. i.i.d. positives de moyenne m > 0. Pour tout t > 0,
on pose Nt = sup{n > 0 : X1 + · · · + Xn ≤ t} et λ = 1/m.
1) Montrer que presque sûrement limt→∞ Nt /t = λ.
√
2) On suppose que les variables Xn ont une variance finie σ 2 . Montrer que (Nt − λt)/ t
converge en loi vers une loi normale N (0, λ3 σ 2 ) lorsque t tend vers l’infini.
Exercice 9. Soient (Xn ) et (Yn ) deux suites de variables aléatoires réelles convergeant en loi
vers X et Y respectivement.
1) On suppose que Y = 0. Montrer que Xn + Yn converge en loi vers X.
2) Donner un contre-exemple avec Y 6= 0.
3) On suppose que pour tout n, Xn et Yn sont indépendantes et que X et Y sont indépendantes.
Montrer que Xn + Yn converge en loi vers X + Y .
Exercice 10. Soit λ > 0. Pour tout n ≥ 1 on considère une variable aléatoire (Tn ) de loi
géométrique de paramètre pn = λ/n. Montrer que Tn /n converge en loi vers une variable
aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ.