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Université F. Rabelais 2012-2013
M1S2 Analyse Numérique et
Optimisation
Feuille d'exercices n° 2 : Optimisation
sous contrainte
1
Rappel de Cours
1. Si
f, G : R2 7→ R
sont deux fonctions
C1.
Énoncer le théorème des extrema liés associé au problème
d'optimisation sous contrainte :
min f (x).
G(x)=0
2. Si maintenant
f : Rn 7→ R
et
G : Rn 7→ Rm ,
énoncer le théorème des extrema liés associé au
problème d'optimisation sous contrainte :
min f (x).
G(x)=0
2
Optimisation avec contrainte 1d
Calculer les nombres suivant :
min (2x2 + 3y 4 ),
x+3y=1
min
x2 +4y 2 =1
min
(xey ),
4
(ex
+y 4 +z 4
x2 −y−z=1
pour
3
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ (R∗+ )4 ,
),
min
(x1 + x2 + x3 + x4 ).
x1 x2 x3 x4 =1
Optimisation avec contrainte multi d
Résoudre les problèmes d'optimisation suivants :
pour
G(x, y, z) = (z − x2 − y 2 , z + x4 + y 4 ),
min (x2 + y 2 + z 4 ),
G=(−1,2)
pour
pour
G(x1 , x2 , y1 , y2 ) = (x21 + x22 , y12 + y22 ),
max (x1 y1 + x2 y2 ),
G=(1,1)
G(x, y, z, w) = (x + y + z + w, x2 + y 2 + z 2 + w2 , x3 + y 3 + z 3 + w3 ),
min x4 + y 4 + z 4 + w4 .
G=(1,2,3)
1
4
Inégalité d'Hadamard
Pour
(v1 , v2 , v3 ) ∈ R3
1. Montrer que
f
on pose
f (v1 , v2 , v3 ) = det(v1 , v2 , v3 )
atteint son maximum sur
et
G(v1 , v2 , v3 ) = (||v1 ||, ||v2 ||, ||v3 ||).
{(v1 , v2 , v3 ) : G(v1 , v2 , v3 ) = (1, 1, 1)}
et que celui-ci est
strictement positif.
2. En utilisant le théorème des extrema liés, montrer que si
G(v1 , v2 , v3 )
est une base orthonormée.
3. En déduire qu'on a de manière générale :
|det(v1 , v2 , v3 )| ≤ ||v1 || ||v2 || ||v3 ||.
2
est un maximum,
(v1 , v2 , v3 )