La propriété des nombres et les fractions continues

La propriété des nombres et les fractions continues
Takeshi INOUE
Est ce que 9.999 · · · est un nombre ?
1
= 0, 333 · · · est vraie . En multipliant 3 les deux
3
membres , on aura la relation 1 = 0, 999 · · · . Il y existe une ::::::::::::::
démonstration
On dit que la relation
pour que cette relation soit légitime . Si l'on pose K ≡ 0, 999 · · · , on obtient
10K = 9, 99 · · · = 9 + K . D'où l'on aura K = 1 . Cela signie K ≡ 0, 999 · · · = 1.
(C.Q.F.D.)
On peut exprimer cette ::::::::::::::
démonstration sous la forme suivante :
10K = 9, 999 · · ·
−)
K = 0, 999 · · ·
Cela donne K = 1
9K = 9
Nous pouvons obtenir le calcul suivant :
10K ∗ = 9, 999 · · ·
+)
K ∗ = 0, 999 · · ·
11K ∗ = 10, 999 · · ·
Pour cette fois-ci , on a K ∗ = 0, 999 · · ·
Il n'y a pas de démonstration pour que K et K ∗ expriment la même quantité .
Remarquons le calcul suivant :
n
z }| {
n
z }| {
1
1 10n
999 · · · 9 +1
1
= × n =
= 0, 333 · · · 3 +
n
3
3 10
3 × 10
3 × 10n
D'où , nous aurons aisément l'égalité suivante :
n
z }| {
１ = 0, 999 · · · 9 + 10−n , ( n = 1, 2, 3, · · · , n ; sans limite pour n )
Ainsi que l'on obtiendra la relation suivante :
n
10−(n+1)
z }| {
< １ − 0, 999 · · · 9 = 10−n
n
z }| {
Pour n'importe quel nombre naturel n , 0, 999 · · · 9 ne deviendra jamais égale à 1 .
Il nous faudrait établir une dénition convenable pour la convergence
des séries innies .
1
La dénition de la convergence des séries innies
Dans la plupart des textes ordinaires , on trouve des explications suivantes sur
la convergence d'une série｛an ｝dont la limite est a :
an → a , ( n → ∞ )
ou bien
lim an = a
n→∞
Nous ne pouvons pas admettre ces explications-là . Nous sommes à peine capable
d'accepter la dénition qui suit : |an − a| < ε , ( N 5 n ) .
Voici notre dénition pour la convergence des séries innies :
Si la série｛an ｝peut satisfaire la relation : ε∗ < |an −a| < ε, (N 5 n) pour
une constante a qui est indépendante de nombres naturels n , on exprime
que la série est convergente et la constante a est la limite de la série , où
les quantités ε et ε∗ sont des constantes positives et toutes petites .
(n est un nombre nauturel dont la limite n'existe pas .)
Il n'y a pas de limite . Mais on trouve une valeur bien xe .
Conisidérons une série innie｛an ｝dont l'élément est comme il suit :
an ≡ A
n
P
σ k = A(σ + σ 2 + · · · + σ n )
k=1
où les quantités A et σ sont des constantes . La constante σ est 0 < σ < 1 .
Multiplions σ aux deux membres : σ × an = A( σ 2 + · · · + σ n + σ n+1 ) et puis
soustrayons de chaque membre : (1 − σ) × an = Aσ − Aσ n+1 d'où l'on obtiendra
Aσ n+1
Aσ
le résultat suivant : an =
−
. Dans le deuxième membre , on trouve
1−σ
1−σ
Aσ
une quantité
qui est indépendante de nombres naturels n . C'est la limite
1−σ
de la série｛an ｝. Appliquons notre dénition pour la présente série :
¯
Aσ ¯¯ Aσ n+1
¯
ε∗ < ¯an −
<ε , (N 5 n)
¯=
1−σ
1−σ
Pour trouver la valeur du nombre naturel N , on calcule comme il suit :
h log A/｛(1 − σ)ε｝i
A
1
log
< (n + 1) log
, N +1=
+1
(1 − σ)ε
σ
log 1/σ
Si l'on substitue A = 9 et σ = 0, 1 dans l'expression an , on aura une quantité
n
z }| {
an = 0, 999 · · · 9 et de plus la limite de｛an ｝: a =
2
Aσ
9 × 0, 1
0, 9
=
=
=1
1−σ
1 − 0, 1
0, 9
N=
h log 9/｛0.9 ε｝i
log 1/0.1
1
10
n+1
=
h log(10/ε) i
log 10
n
¯ z }|
{ ¯¯
¯
< ¯0, 999 · · · 9 −1¯ =
h
h log 1/ε i
log 1/ε i
= 1+
=1+
log 10
log 10
1
1
<
, (N 5 n)
n
(n−1)
10
10
n
z }| {
Cela signie clairement que 0, 999 · · · 9 ne coincide jamais avec la limite 1 .
z }| {
Davantage l'expression 0, 999 · · · n'est jamais admise . Mais il y a certains qui
z }| {
insistent que l'égalité 0, 999 · · · = 1 est une relation dénie et légitime .
La dispute est interminable et vaine . La discussion tourne à vide .
L'utilié des fractions continues réguliaires
En espérant que les lecteurs sont habitués aux fractions continues réguliaires ,
nous voudrions tout de suite proter de son utilité profonde . Mais avant cela ,
nous allons expliquer un peu sur des fractions continues réguliaires .
43
13
1
1
1
= 1+
= 1+
= 1+
= 1+
4
1
30
30
30
2+
2+
1
13
13
3+
4
43
1
1
1
Nous allons exprimer ce résultat comme il suit :
≡1+
ou bien
30
2+3 +4
43
nous préférons plutôt l'expression qui suit :
≡ (1; 2, 3, 4)
30
Voice un exemple :
Pour un nombre rationnel r , on aura une expression unique sous la forme
suivante : r ≡ r(n) = (k (0) ; k (1) , k (2) , · · · , k (n−1) , k (n) ) , où k (0) est un nombre
entier et k (1) , k (2) , · · · , k (n−1) , k (n) sont tous des nombres naturels . Le nombre
des termes n est déterminé uniquement . Pour un nombre irrationnel ω , on aura
une expression suivante , si l'on le développe dont le nombre des termes est n :
ω ≡ ω(n) = (k (0) ; k (1) , k (2) , · · · , k (n−1) , ξ (n) ) , où le dernier terme ξ (n) est un
nombre irrationnel . Dans ce cas-ci , le nombre des termes est entièrement
arbitraire .
De toute façon , on peut exprimer n'importe quel nombre réel par une fraction
continue réguliaire dont le nombre des termes est toujours limité . Cependant ,
il y a certains qui expriment un nombre irrationnel ω sous la forme suivante :
ω = (k (0) ; k (1) , k (2) , · · · , k (n−1) , k (n) , · · · )
Voici un exemple concret qui se trouve dans un livre de fractions continues
√
1 1
2=1+
= (1; 2 , 2 , 2 · · · ) = (1; 2̇)
2+ 2 + · · ·
3
1)
:
1
En outre , l'auteur a tenté de démontrer ce que 1 +
1
2+
2+
1
Il pose : x ≡ 1 +
2+
2+
1
=2+
x−1
1
1
2+
2+··
√
2:
1
2+ · ·
·
1
et calcule comme il suit ( 1) page 55 ) :
1
2+ ·
··
=2+
·
est égal à
1
= 2 + (x − 1) = x + 1
1
x−1
D'où il conclut que la retation : 1 = x2 − 1 donne le résultat désiré : x =
√
2
Ici on répète la même erreur fatale que l'expression 1 = 0, 999 · · · Nous allons
montrer un calcul correct . Nou avons la relation suivante :
√
√
√
1
1
2=1+ √
= (1; 2 + 1) = 1 +
= (1; 2, 2 + 1)
1
2+1
2+ √
2+1
1
1
=1+
De cette égalité , nous pouvons tirer la relation : 1 + √
1
2+1
2+ √
2+1
1
Si nous posons z comme il suit : z ≡ 1+ √
, nous obtiendrons immédiatement
2+1
1
et z 2 − 1 = 1 . La quantité z est positive , à savoir
le calcul : z = 1 +
1+z
√
z = 2 . C'est une des démonstrations correctes .
√
On doit développer 2 sous la forme suivante :
√
√
√
√
2 = (1; 2 + 1) = (1; 2, 2 + 1) = (1; 2, · · · , 2, 2 + 1)
Les points de suspension · · · indiquent qu'il y a 2 dont le nombre de termes est
√
√
indéterminé . Chaque membre est réuni par la relation identique 2 = 2 . Cela
√
signie que tous les membres sont égals à la quantité 2 . Il faut remarquer que
√
le dernier terme est toujours 2 + 1 .
√
C'est ainsi que nous considèrerons une fraction continue réguliaire pour 2 dont
√
le nombre des termes est égal à un nombre naturel n . Nous esprimons 2 comme
n−1
z }| { √
√
il suit : ω(n) ≡ (1; 2 , 2 , · · · , 2 , 2 + 1) = 2 , (n : 1, 2, · · · , n ; n : sans limite)
4
Si nous remplacerons le dernier terme :
n−1
z }| {
rationnel : r(n) ≡ (1; 2 , 2 , · · · , 2 , 2) .
√
2 + 1 par 2 , nous aurons un nombre
√
Il y existe une relation suivante entre ω(n) = 2 et r(n) :
1
1
< |ω(n) − r(n)| < n , (n : 1, 2, · · · , n ; n : sans limite)
n
16
4
√
Evidamment , la série｛r(n)｝est convergente dont la limite est 2 .
Nous ne recommandons jamais l'expression suivante , mais si c'était utile pour
mieux de transmettre tout ce que nous voudrions transmettre :
∞
z }| { √
ω (∞) ≡ (1; 2 , 2 , · · · , 2 , 2 + 1)
Pour correspondre , nous introduisons une quantité suivante ：
∞
z }| {
r (∞) ≡ (1; 2 , 2 , · · · , 2 ,
2 )
√
Il est évidant que la quantité 2 + 1 dans ω (∞) ne devient jamais 2 . Cela
√
signie que l'expression (1; 2, 2 , · · · ) n'est pas du tout légitime pour exprimer 2 .
La table pour dénombrer tous les nombres rationnels
Nous connaissons la table à deux dimensions qui permet de dénombrer tous les
nombres rationnels .
On considère les nombres
rationnels dont l'élément
s' exprime par la fraction
q
r(p,q) ≡
p
où p = 2 , 3 , · · · , p et
q : 15q 5p−1
Il est bien clair que r(p,q)
satisfait la condition :
q
1
p
2
3
2
r(2,1)
3
r(3,1) r(3,2)
4
r(4,1) r(4,2) r(4,3)
···
q
..
.
r(p,q)
r(p,1)
p
0 < r(p,q) < 1
n
z }| {
A partir de chaque nombre rationnel r(n) = (1; 2, · · · , 2) , nous introduisons
n
z }| {
un nouveau nombre rationnel r∗ (n) ： r∗ (n) ≡ r(n) − 1 = (0; 2, · · · , 2) . Il est
évident que r∗ (n) remplit la condition ： 0 < r∗ (n) < 1 et qui se trouve dans la
table à deux dimensions mentionnée ci-dessus . On y trouve également le nombre
∞
}|
{
z
∗
r (∞) = (0 ; 2 , 2 , · · · , 2 , 2 ) qui est sans aucun doute rationnel .
5
Comme nous avons déjà cité plus haut , on admet l'expression suivante :
√
2 = (1; 2, 2, · · ·)
A notre point de vue , cela est inadmissible . Sinon , on est obligé de permettre
l'existence d'un nombre irrationnel dans la table à deux dimensions dans laquelle
il n'y a que les nombres rationnels . De ce fait , les lecteurs s'aperçoivent de ce
que les quantités (1; 2, 2, · · ·) et 0.999 · · · n'ont pas de sens mathématique .
On sait bien que le raisonnement de la diagonale de Cantor s'appuit sur les
quantités : 0, a1 a2 · · · an · · · . C'est idiot ce que l'on accepte ou l'on ne doute pas
un tel raisonnement .
Du diérent point de vue , nous allons indiquer l'inutilité du raisonnement de
Cantor . On va composer une colonne de Cantor par tous les nombres rationnels :
(1)
(2)
r1 (2) = (0 ; k1 , k1 )
(1)
r2 (1) = (0 ; k2 )
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(4)
r3 (4) = (0 ; k3 , k3 , k3 , k3 )
r4 (3) = (0 ; k4 , k4 , k4 )
..
.
(n)
(n+1)
rn (n + 2) = (0 ; kn , kn , · · ·, kn , kn
(n+2)
, kn
)
Selon cette colonne , on crée un nombre rationnel : r(n) ≡ (0 ; k (1), k (2), · · ·, k (n) )
(1)
(2)
(3)
(n)
où k (1) 6= k1 , k (2) 6= k3 , k (3) 6= k4 , · · ·, k (n) 6= k m∗ ; (n 5 m∗ ; n : sans limite)
Le nombre rationnel r(n) se trouvera dans la colonne , mais on chasse ce nombre
après le nombre : rn+1 (n + 1) .
On peut également ranger les nombres rationnels comme il suit :
r1∗ (1) = (0 ; k 1∗ (1) )
r2∗ (2) = (0 ; k 2∗ (1), k 2∗ (2) )
r3∗ (3) = (0 ; k 3∗ (1), k 3∗ (2), k 3∗ (3) )
..
.
rn∗ (n) = (0 ; k n∗ (1), k n∗ (2), · · ·, k n∗ (n) )
De cette colonne , on peut facilement créer un nombre rationnel r∗ (n) :
r∗ (n) ≡ (0 ; k ∗ (1), k ∗ (2), · · · , k ∗ (n) )
k ∗ (n) 6= k n∗ (n) : (n = 1, 2, · · · , n)
;
Référence
１）Olds , C . D . Continued Fractions , Random House , 1963 , pp.54-55
6