Sur l`ordre maximum d`un élément dans le groupe Sn des

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
J EAN -L OUIS N ICOLAS
Sur l’ordre maximum d’un élément dans le groupe
Sn des permutations, II
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 11, p. 1-18
8, no 2 (1966-1967),
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1966-1967__8_2_A2_0>
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Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU
(Théorie
8e
11-01
nombres)
des
année, 1966/67,
6 février 1967
n° 11
SUR L’ORDRE MAXIMUM D’UN ÉLÉMENT DANS LE GROUPE
Sn
DES
PERMUTATIONS,
II.
par Jean-Louis NICOLAS
1.
g(n)
g(n)
g(n)
propriétés élémentaires
de
Rappel
est
n.+n~+...+iL==n
sup
(p
Définition. -
~
est
et
sa
fonction
une
On
non
p.
k
a
strictement
a
C e qui
Remarquons
que
nombres
pa ( p
est
n ~
... ~n.)
];
N*)
est
pour tout
k 3
premier, a
et
équivalent
,~ (k~
p03B1 = 1 .
à
(3)
croissante ;
additive :
donc :
équivaut
jl2]).
et
~ N .
Remarque. - Si 03B1 = 0 , l(p03B1) = 0 ~
On
(ni ,
c.m.
arithmétique
aux
g(n) ([l]~ § 61,
premier,
Soit l : N*
restriction
tique.
[p.
sup
=
=
mais
croissante,
de
à
(3’~ :
=
k
E
entraine
l’application
k
=
p~ .
iden-
Propriété caractéristique. -
Les deux
propriétés
suivantes sont
équivalentes :
Démonstration.
(b)
et
(a) .
.-~~>
bornée,
non
(3’)
et
On
construit
a
(2)
n
M
=
M >
g(n)
Si
et ~ (r~~~ ~ (m~ ,
m
Soit
f :
N* ~ R
d(n)
(a)
pour étudier
tions,
et
en
number"
ces
1° Calcul de
n
le
est croissante
fonction
une
nombre
M
al rs
g(n) .
arithmétique.
alors :
où £
un
qui contredit l’hypothèse.
en
est
n
est exactement
([1], § 60).
lequel
nombres des méthodes
petite,
RAMANUJAN
la fonction
d
est
[3]
g(N) .
appelle
grande,
et
g .
~(g(n)) .
On définit
plus petit élément
et utili-
qui peuvent s ’appliquer à d’ autres fonc-
particulier à ~ .
Rel ation entre ~
Soit
g
(b) .
==>
le nombre de diviseurs de
"Highly composite
ce
~(g(n)) ,
et si
façon d’écrire :
autre
une
g(n) ,
L’ensemble des nombres
se
comme
tel que
propriété caractéristique s’écrit
Soit
m ~ g(r~~ ,
Si
donnent :
Remarque. -
La
(b).
vérifiant
m
il existe
COROLLAIRE. C’est
Soit
sur
N
de la classe de
la relation
n .
On
a
d’équivalence
(3’)
On
a en
g(N) .
E
donc
g(l(N))
3°
.~(~(n~~ 1 n 9
donne
n
m
> N
(g
N ~ N* .
pour tout
avec
L’égalité
sup
est
N
k f
lieu
a
une
g(n) ,
g(m)
(2) ,
Soit
sur
croissante) et,
est
g(l(N)) =
Puisque
donc
équivalences :
est strictement croissante
,~
g(n) ,
g(m)
~2~
et
fait démontré les
2°
N
n,
donne
si,
valeur
alors
et seulement
possible
de
si9
k
9
et
g(l(N)) >, N .
N ~ g(1V) ? il ne peut y avoir égalité,
~J
g(n) , g(~~ (g(n) ) ) g(n) g(n) .
Si
Si
A
4° Soient
On
a
E
g(~~ p
A~
et
=
=
5° On
2. Etude de la
pelle
cela,
que
et
(5)
on va
P (N)
v
utiliser
désigne
a +
1 .
donne
nous
décomposition
PROPRIETE 1. - Soient
alors {3 $
aurait
on
g(~(N)) ~
le
en
g(N)
à
l’application réciproque
et
n ~ ,~~g(N~ ~ s
Pour
l(g(N)).
e
D’autre
Part,
A .
la restriction de ~
Finalement,
si
l(A*)
car
g(~ (i~~ ~ ~ A ~ .
donc
si ~(N) ~ ( A ~ 9
~(g~N~ ~ ~
A* ,
=
alors
dans
a
>, l~ ~
Or
A
le suivant de
g(l(A*))
g(n) g[j&(A’) - 1]
> g(2(A~~ A , donc
g(N) .
E
=
=
==
g(l(N))
car
est
une
facteurs
d’après ~4~ ~
A
est
g .
(4)
bijection croissante
nous
permet
minoration
la
plus grand exposant
deux nombres
g(n)
N ~ g~~J} .
g(n) .
propriété caractéristique.
a
sur
de calculer
si
remiers de
systématiquement
p, q
une
d’où contradiction.
tel que
premiers,
p
p
q . Si
divise
On rap-
N .
M = p q g(n) ,
Soit
On
ce
~~
a
> g(n~ ~
défini par
k
avec
=
0
ou 1 , c’est
évident).
> q .
~(~2~ > ~’~ (g(n~ ~ 9
donc
(si 03B2
2
Démonstration. - On peut supposer P
donc si
qui entraîne
Si a
>
0 ,
=
~(g(n))
mêmes 9
les calculs sont les
s’écrit :
la
(6)
majoration
pq - 1
pq
n’ayant
pas à être
faite.
PROPRIÉTÉ
v
2. - Soit
désigne
D’après
car
le
la fonction
p ~ 3 y
Si
p
=
le nombre
q
de Bertrand
postulat
Si
Si
par
2 ,
3,
solutions sont
plus grand nombre premier divisant
premier
~(M) =
2~
g(2)
=
3
2
On
a
p .
q
2p ,
donc
est décroissante.
il y
0 ,
il reste à résoudre
M
suivant
(C1~, § 22)~
p~" - p~
)2014~
o~
g(n) .
n=4 .
sauf pour
p ~g~n~ ~ = 1 ,
On
le
p
g(n)
=
a
contradiction.
2~ .
g(n) et j&(M) et g(4)
4 . Seule
>
=
=
3 -
2~~
cette dernière est
0 ; les seules
exception.
PROPRIETE 3. -
g(n)
est
pair
n~3 y 8 ,
pour
LEMME. - Si deux nombres premiers distincts
tout nombre
premier
Démonstration du lemme. - Soit
g(n) .
pas
Soit
pt
ne
g(n) ,
divisent pas
g(n) .
et supposons que
p’ ,y
p
et
p
divise pas
ne
15 .
q ~- p
+
p’
ne
divise
est
"qua-
k J 1 , défini par
k ,
et posons
D’autre
donc
on
a
part ,
g(n) y
M
il y
a
contradiction.
Démonstration de la propriété 3. - Si
(propriété 1),
g(n) , M > g(n) ,
2
drattfrei"
et
11
12 11
et
l(M) - l(g(n))
M
==
tout nombre
premier supérieur
vise
=
3.5.7
ception
où
COROLLAIRE. - Pour tout
n
tout
A
e
=
g(N) ,
Effectivement,
Supposons
prés (5),
A
=
A* A
si
que A
+
g(n).
13
ne
vaut
g(n) .
divise pas
g(n) ~
on
trouve
Donc
g(n)
comme
seule
diex-
3 ? 15 y 105 .
~ N* , g(n + 1) g(n)
1) ~ g(n) ,
soit pair et que
l(A* 2) l(A*) ,
2 y 12 y 84 y
a :
égal à
4 + 6 - 11 0 .
effet, soit
D’après le lemme,
en
2
ou,
ce
qui est équivalent, pour
2 .
g(n
ce
03BB ,
en
A* A > 2 ,
encore
g(n)
posant
qui est faux. Si
la relation est
PROPRIÉTÉ 4. - Soient
on
g(n) . Sinon,
divise pas
105 . En examinant les valeurs de
3 , 8 , 15 y
n
ou
ne
g(n) , g(n)
divise pas
ne
on
A*
=
A ,
aurait
A
==
on
a
g(n
+
l)
=
A* 2 A* , donc,
3 , 15 y 105 ,
on
A* .
dia-
trouve
vérifiée.
deux nombres
premiers,
et
p=v (g(n)),
Il suffit de vérifier l’une des
~,~1~~ k ~ ï..(J. - 1) .On
par
Posons
M
=
Posons
x
=
~k g~n~ ,
~---
x~
Ce raisonnement
Pour
j3
on
2014 ~
==
on
(?)
toujours
03BB03B1
p=0 y
Si
a
-
si
X
-
si
B > ~ : si
on a
.
k=~,1
défi-
k
sz
À
>
BJ .
obtient
1 y l’inégalité
Si
Soit
a
vaut que pour
ne
1 03BB 03B 03B1 03B2 .
~~~ I~
inégalités, par exemple
a donc k>2 si
o~
est
et
1
encore
j3 ~
2 .
vérifiée.
1 03BB .
=0 :
d’après
g
==
la
propriété 1~
1 ~
a
on
6
X+~’6-1 -~ >0 . Posons
bien
1
P ~
1
2014~ 2014 ;
~
et
y-~ 2014 ;
si
6~2~
l’inégalité (7)
devient
x=2014~
~"
Dans
ce
cas,
PROPRIÉTÉ
nombre
on
obtient d’ailleurs
5. - Soit
premier
suivant
p
le
un
meilleur résultat.
plus grand nombre premier divisant
p ; soit
X
un
nombre
premier tel que
g(n) ;
soit
q
le
a = v ~g~n~ ~ ~ 2 ~
alors,
On pose
donc
fient
M
= ~ g(n) ,
B~ - X*~*
Xq~+
NI >
q . D’autre
1 .
g(n) ,
part,
donc
les solutions de cette
inéquation
en
X
véri-
PROPRIÉTÉ 6. -
A
Soient
plus gr and nombre premier divi s ant
Soit
COROLLAIRE. - Quand
g(n)
visant
D’après
tend
la
D’après (4)
tend
n
vers
et la
pour
est fixé p
p
premiers. On suppose
Alors il existe
D’autre
~, > e
vérifiant
l ’infini,
chaque 03BB
le
a
Aq p A .
On a,
d’après
plus grand nombre premier
.9
que
est
n
soient
p ,
p
on
p y
n -~ ~ (g~n~ ~
propriété 6,
PROPRIÉTÉ 7. - Soit
g(n) .
vers
suivant. On
s on
q
03BB03B1
a
q03BB 03BB - 1 ,
constante c.
part, soit ~
alors
p
(5),
di-
donc
q - p . Donc,
majorer
ce
qui établit
le corollaire.
2 3 ... ? p. les k premiers nombres
étant toujours le plus grand nombre premier
On pose :
une
le
p
l’infini.
propriété
On voit que 9 si
divisant
A ,
plus petit nombre de
le
A
g~~~ ~
deux éléments consécutifs de
A
et
un
nombre
indépendante
premier
de
p
telle que
divisant pas
ne
~
~,
g(n)
et tel que
2014201420142014201420142014
Démonstration. -- Soit y :
N* ~ N ,
la fonction
définie par
On a, pour tout j,
y(j)
étant
un
de
produit
k
nombres de
somme
au
,
plus j. D’autre part,
si l’on
fait
on
voit que
v
où
est la fonction de
e
Considérons maintenant
M
On
déduit
De
on
a
méme,
P2
=
D’autre
part,
on
a
~~mpy +m ~- g(n) .
°’
’
g(n) ,
donc
en
Cebysev.
on
pose
g(n) .
0
3
B
3
(
m
)
0
3
B
3
(
m
)
0,
M g(n) ,
M =
l(M) - l(g(n))
Si
donc
m
, le résultat
est
acquis,
sinon
Comme
> ck ,
PROPRIÉTÉ 8. n ~
~ ,
on
X
Soit
un
nombre
premier fixe ;
Démonstration. - Etudions d’abord le
le résultat découlera de la
propriété
Utilisant les notations de la
à l’aide de la
nombres
propriété
On
en
On
propriété
premiers.
La
déduit
03B103BB = v03BB(g(n)) .
Quand
a
g(n) .
étant le plus grand nombre premier divisant
p
soit
4
On
nous
a
4.
2
X
=
2 . Pour
une
autre valeur de
N
peut même préciser :
X ~
4.
propriété 7,
est défini
pour
comme
k
donnée
étant la
somme
des
k
donc
donne
a2 log
Pk
cas
~~, ~ p ~ ~ ~
1 ~
~. = 2~ :
2
~2
log p .
si lton fait
k =
[log
on
a
2p ~
donc
premiers
* ~
PROPRIETE 9. - Avec les mêmes notations
Soit
toujours
fixé et, pour
k
priété précédente,
assez
n
pour
1. i
grand,
qu’à
k ,
03B1i
a
03B1i
~
1
on
.
Pour
n
un
En f aisant
à 12 log
grand, on peut appliquer
premier suivant p.
assez
étant le nombre
tendre q
vers
log k , quand
k
tend
l ’ infini,
p
0
on a
(g(n)) . D’après
la pro..
et
propriété 7,
voit que
on
v
--
1
la
l’infinie
vers
proposition 8,
la
q 03B12 03C9k .
donc 22
avec ~
Or
q tend
03C903BA
vers
=
q y
est
q
équivalent
l’ infini
avec
n .
On
on a
peut même préciser :
bien
d~où la
>
c~ ~
propriété puisque
PROPRIETE 10. - Soit
le
et
plus petit
nombre
p
faisant
on
k
on a
obtient
q rBj p .
le
premier
plus grand nombre premier divisant
ne
divisant pas
g(n) .
On pose
a
g(n) , soit ~
= ~ . Alors,
La démonstration
1er
On
temps :
notations de la
On
se
a
fait
lim
n
fait
on
k
=
la
S’il existait
une
sous-suite
vers
infinité de
vérifiant
de
a
assez
p
7y
1 , alors ~
an
G
Il existe
lim
1
a
+
M>
>
n
>
il existerait alors
1 ;
M
7 . Posons
a
e
g(n)
=
e
ces
>
-~- g(n) .
0 ,
est le nombre
premier
suivant
p ~ et
on
(cf. ~3~~ ~ 32).
e
l’ensemble des nombres
p
N
deux
en
faisant
inégalités.
tel que, pour
Pour les
n
il y aurait contradiction.
est démontrée.
G
0
6,
et
~(~~Z~ -- ~ (g(n~ ~
grand,
3. Construction de
Soit
n
ait
dont la limite soit
a
pourrait réaliser simultanément
on ne
que
on
n y
l+ea
propriété
La
l’infini,
temps : Supposons
Si
étudie :
propriété 7,
nj
tendre j
Pour
on
les
= 6 . Donc,
Mais, d’après
une
et
2 ,
Reprenant
an y(m) ,
e
2e
lim a ~ 6 .
plus précisément
g(n) .
H
donc
Soit
car
temps.
et
+
a
propriété 7,
a
deux
en
qui vérifient
tel que, pour tout
A
la
propriété :
a
lim
an=
1 .
(propriété caractéristique).
1°
2°
On sait
A
Si
Si q
Supposons N ~ 4 ,
et soit
(propriété 2)
v
=p
N
obtient
on
p ~I~~ ~
p >
obtient
on
est le
que
log
Or la fonction
Pour 03BB =
Si
E
Soit
3 , q =
p ==
nombre
2 ,
les deux
U
premier
=yy
on
N ,
on
A
pose
et
=
premiers
x
E
est
est
rationnel,
ce
On
a
donc q
2 . On constatera que
3
E
G
la
> p ’
avec
la
v a ~~~~ .
E~
E. ~ R :s
est strictement croissante.
termes sont confondus.
la valeur de
E..
x > e .
trouve :
un
a
=
est donc déterminée par
ensemble discret de
majorable
et donc
sont distincts : si l’on avait
serait
divisant pas
premier,
la suite constituant
nombres inférieurs à
E
A
et
A ~ 2,
=
X
de
un
p
donne
on se
ne
premiery considérons l’ensemble
Pour tout X
Pour tout
1 .
est croissante pour
~ x log x
exception possible étant
valeur p = 2, ~3 .
A = N03BB
N .
q
x
À
plus grand nombre premier divisant
log p
seule
Etudions
le
plus petit nombre premier
p
3° Soient
p
qui est faux.
finie).
R
(la quantité
D’ autre
part,
de tels
deux éléments
4° Table des valeurs.
p
p
3/log 3
2,73
N
N
3
2/log
2
=
(4 - 2)/log
2
3
5/log 5
3,11
7/log 7
3,6
4.3
12
7
4.3.5
60
12
4 20
19
4 620
30
4.3.5.7.11.13
60060
43
4.9.5.7.11.13
180 180
49
8.9.5.7.11.13
360 360
53
6 126 120
70
116 396 280
89
4.3.5.7
11/log
11
13/lo g
13
4,58
5,06
(9 - 3)/log
3
(8 - 4)/log
2
1
1
4.3.5.7.11
5,46
5,76
17/log
17
19/log
17
6,45
23/log
23
7,33
6
8.9.5.7.11.13.17
8.9.5.7.11.13.17.19
Pour
et
un
chaque valeur de p E R - E , tel que
seul, détermine par sa décomposition en
Remarques :
-Si p ~ p’ ,
-
Si
I
ment de
et
E03BB ,
divise
p
sont deux intervalles
et si
p
p
> 3 log 3 ,
facteurs
il existe
v
5°
Soit
E
I ,
pt si’ ,
contigus de
alors
R -
E , séparés
Réciproque :
Montrons que tout
A
quelconque, et,
nombre
N ,
I~
par
un
élé-
N P = 03BBN03C1 .
t
(N)
un
nombre
premiers.
est une fonction décroissante de p , car la fonction
p P
est croissante pour x
2 , quelle que soit la valeur du paramètre
-
un
N
alors
I’t
3
2,88
ainsi construit
P
pour tout nombre
y = x03B1+1log
- x03B1
x
03B1
1 .
appartient bien à
premier
X ,
posons
G .
il suffit de montrer que, pour tout ~
à considérer :
Il y
a
cinq
On
a
ainsi défini
sition
en
cas
facteurs
lorsque
N
e
G
g(N) ,
de
des nombres de
premiers
1° LEMME. - Si
on
partie
une
log g(n)
4. Etud-e de
tel que
G y
et
on
connaît exactement la
décompo-
G .
n2014>oo .
et si
est le
p
plus grand nombre premier divisant
a
sauf pour
N
=
~
3
Démonstration. Pour montrer
N
12 .
L’inégalité
e03C8(p)
où
e03B8(p)
N
1
03C8(x) =
pour
N ~
3
résulte du
§ 3,
2°.
log p y il faut montrer que, pour 03B1 2 ,
m
P ~x
Soit
sult at
q ,, 5
q
le nombre
premier suivant
suivant ([1 ], § 23)
p,
on
sait que
qui améliore
le
po stul at
p . On démontre ainsi que, pour
X
=
p
q log q .
On utilise le ré-
de Bertrand : pour
p
29 ,
La fonction
la
propriété
X
03B 03B1 - 03B 03B1-1 log 03B
p ~ 29 ;
~
pour
étant croissante pour tout
pour
p ~ 23 ,
on
regarde
03B1 2 , cela démontre
les valeurs
numériques.
°
2~ Etude de
logg(n)
Le calcul est le même que
cela
gêne
ne
en
rien les
quand
dans [2],
g(n)
eG. On
l ~inégalité
calculs, l’inégalité
a
est
n
sur
g(n)
sur
un
plus large, mais
peu
est meilleure. On obtient
ainai
et
on
peut prolonger
le
développement
à
un
ordre
(log n)
k
obtient le même résultat pour deux éléments consécutifs de
à
g(N) .
Riemann
On est
en
fait limité par la connaissance de
permettrait d’ obtenir
e
pour tout
G,
et . L’hypothèse
En
fait,
où
de meilleurs résultats.
en
sur
lesquels
on va
cela revient à démontrer
démontrer
est le
p
tion
de
est constante.
D’après le § 1, 4°,
A
E
tenant
plus grand nombre premier divisant A
G , d’après le § 4, 1°, p N log A , donc
compte du § 4 9
2°.
et,
on
comme
démontre
on
le résultat s’étend
5. THEOREME. - Il existe des intervalles aussi grands que l’on veut
g(n)
k . Comme
dans la démonstraen
même temps
La démonstration du théorème résulte de deux lemmesô
LEMME 1. - Soit
tels que
divise
s
où ) p ~ p (
E
N,
est la
G ;9
soient
r, s ~ N*
deux nombres
minore
et de même
En
ajoutant,
composante
B -X par
X~"* - X~ ~ - p"
on
de
connexe
p
dans
R - E .
à
p
log X ~
log X . On
on
a
peut
réciproque (§ 3, 5~).
aussi bien minorer par
log X ~
ainsi
une
infinité
d’ intervalles ~ p~ ~ p+~
de
longueur supérieu-
1
a
Démonstration. - Soit
Soient
Si
p
Lors-
obtient :
LEMME 2. - Il existe
re
entre eux,y
on a
Démonstration. - Il suffit d’examiner de plus près la
qu’on
premiers
est le nombre des nombres
premiers inférieurs
ou
égaux
à
x 9
D’autre
Et le
03C62(x)
part,
plus grand a
Finalement,
Card{03C1
rait seulement
p
~T~-~
on
est
2x log x} .
03C1
de
l’exposant
>~-~
(p(x) intervalles
-201420142014 - (p(x)
puisque
E j1
est
possible
(p~(x) ~~T+
Si pour tout
e
2 :
ç~(x) = 0(~E) ,
et
p~- p"~l ,
avait
de
positif
longueur
pour
x
au
assez
entre
plus
y-2014
1 ~
grand.
ce
et
20142014~
il y
serait insuffisant
Démonstration du théorème. - Appliquons le lemme 1 à la famille infinie de
bres
N
p
tels que
suppose
y ~
nom-
p~- P~~-l .
~
Or la fonction
au-
a
log
minimum est minoré par
~1
~>
+
x --
1 ,
log
x
~~~20142014~
alors
admet
un
et
minimum pour
x _ a +
1
et
ce
log a , donc
_
Cette relation vaut
~*
en
particulier
pour
N
-y
= 2014
s
Ny
et le théorème est établi.
BIBLIOGRAPHIE
[1] LANDAU (Edmund). -
Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Bände
Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1909 [2te Auflage, New York,
Chelsea publishing Company, 1953].
1 und 2. -
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[2]
NICOLAS (Jean - Louis). - Sur l’ordre maximum d’un élément dans le groupe
des permutations, I., Séminaire Delange-Pisot-Poitou : Théorie des nombres,
7e année, 1965/66, n° 13, 8 p.
[3]
RAMANUJAN (Srinivasa). - Highly composite numbers, Proc. London math. Soc. ,
Series 2, t. 14, 1915, p. 347-400 ; Collected papers, p. 78-128. - Cambridge,
at the University Press, 1927.
Sn
Table
numérique
facteurs
g(n)
n
d
premiers de
3
4
~~3
4
5
*7
6
12
8
15
9
20
10
~~12
14
15
30
60
84
105
140
16
17
210
*19
23
25
420
840
260
540
310
5 20
1
1
2
2
4 620
27
28
29
~~30
32
34
5 460
9240
36
13 860
16 380
38
40
27 720
30 030
41
42
32 760
~43
60060
47
120 120
180 180
*49
Si
n
dans la
Un
premiers
g(n)
1
2
1
2
f acteurs
()
g(n)
n
.
3
4
2 3
4 3
3 5
4
5
2 3 5
4 3 5
4 3
3 5
4
5
2 35
4 3 5
8 3 5
4 9 5
4
5
2 3 5
8 9 5
4 3 5
4 3 5
8 3 5
4 9 5
4 9 5
471 240
510510
556920
59
60
62
1 021 020
64
1 141 140
2 ~~~; 2 040
66
3 063 060
68
3 423 420
7
~70
6 126 120
7
7
7
7
72
6846840
8 953 560
9699690
76
77
78
7
7
7 11
7 11
7
7 11
7
13
79
83
85
~~89
93
95
97
7 11
7 11
101
102
7
13
8 9 5 7 11
2 3 5 7 11 13
8 9 5 7
13
4 3 5 7 11 13
8 3 5 7 11 13
4 9 5 7 11 13
n’est pas dans la
table,
360 360
~~-53
57
58
2
g(n) =
astérisque signale
table,
106
108
~~~ 112
118
12252240
19 399 380
38 798 760
58 198 140
116 396 280
140900760
157 477 320
232792560
281801520
446 185 740
892
1 338
2 677
3 375
n’
si
g(n~) .
les nombres de
G .
371
557
114
492
480
220
440
120
13
9 5 7 11
3 5 7 11 13
9 5 7
13
3 5 7 11 13
3 5 7 11 13
8 3 5 7 11 13
495 7 11 13
4 9 5 7 11 13
8 9 5 7 11 13
8957 11 13
8 9 5 7 11
2 3 5 7 Il 13
16 95 7 11 13
4 3 5 7 11 13
8 3 5 7 11 13
4 9 5 7 11 13
8 9 5 7 11 13
8 9 5 7 11 13
8 9 5 7 11 13
8 9 5 7 11
8
2
8
4
4
17
17
17
17
19
17
17
19
17
19
17 19
17 19
17
17
17
17
17
17
19
19
19
19
23
19 23
17 19
17
23
17 19 23
17 19 23
17 19 23
16 9 5 7 11 13
1695 7 11 13
4 3 5 7 11 13
8 3 5 7 11 13
4 9 5 7 11 13
8 9 5 7 11 13 17 19 23
8 9 5 7 11 13 17 19
29
avec
n0
et
nl
consécutifs