Première S3 IE6 variables aléatoires S1 2016-2017

Première S3
IE6 variables aléatoires
S1 2016-2017
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 5 boules rouges, 4 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 9 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 2 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 3 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) =
2(n² - 27n – 19)
(n + 9)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) =
2(x² - 27x – 19)
.
(x + 9)²
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
Exercice 2 : Péréquation affine
(5 points)
Lors d'une épreuve, les notes attribuées aux candidats suivent la loi de probabilité suivante :
Notes
0
Probabilité 0,01
1
0,04
2
0,06
3
0,11
4
0,19
5
0,16
6
0,10
7
0,13
8
0,14
9
0,04
10
0,02
1) Pour un candidat pris au hasard, on note X sa note obtenue.
Calculer E(X) et V(X).
2) Le responsable du concours souhaiterait que la moyenne soit égale à 5 et la variance soit
égale à 3. Il demande d'appliquer une transformation affine qui à X associe aX + b.
Calculer a et b.
1
Première S3
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S2 2016-2017
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 4 boules rouges, 7 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 11 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 1 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 2 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) =
n² - 44n – 47
(n + 11)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) =
x² - 44x – 47
.
(x + 11)²
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
Exercice 2 : Péréquation affine
(5 points)
Lors d'une épreuve, les notes attribuées aux candidats suivent la loi de probabilité suivante :
Notes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Probabilité 0,02 0,03 0,06 0,14 0,16 0,17 0,12 0,1 0,12 0,06 0,02
1) Pour un candidat pris au hasard, on note X sa note obtenue.
Calculer E(X) et V(X).
2) Le responsable du concours souhaiterait que la moyenne soit égale à 5 et la variance soit
égale à 2. Il demande d'appliquer une transformation affine qui à X associe aX + b.
Calculer a et b.
2
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IE6 variables aléatoires
CORRECTION
S1 2016-2017
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 5 boules rouges, 4 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 9 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 2 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 3 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) =
2(n² - 27n – 19)
(n + 9)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) =
2(x² - 27x – 19)
.
(x + 9)²
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
5) Résoudre l’inéquation f(x) > 0.
Contrôler graphiquement à la calculatrice et donner l’allure de la courbe représentant la
fonction f dans un repère.
1) Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité (chaque boule à la même chance
d'être tirée).
P(M) = p(RR) + p(JJ) + p(VV) =
5²
4²
n²
n² + 41
+
+
=
(n + 9)² (n + 9)² (n + 9)² (n + 9)²
D est l'événement contraire de M.
3
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CORRECTION
Donc p(D) = 1 – p(M) = 1 -
p(D) =
S1 2016-2017
n² + 41 (n + 9)² - n² - 41
=
(n + 9)²
(n + 9)²
n² + 18n + 81 – n² - 41 18n + 40
=
(n + 9)²
(n + 9)²
2) a) p(X = 2) = p(M) =
p(X = -3) = p(D) =
n² + 41
(n + 9)²
18n + 40
(n + 9)²
n² + 41
18n + 40
b) E(X) = 2p(X = 2) - 3p(X=-3) = 2
- 3
(n + 9)²
(n + 9)²
E(X) = 2
3)
a)
n² + 41 – 27n – 60 2(n² - 27n – 19)
=
(n + 9)²
(n + 9)²
f est dérivable sur [1; + [.
u(x)
f(x) = 2
avec u(x) = x² - 27x – 19 et v(x) = (x + 9)²
v(x)
u'(x)v(x) – u(x)v'(x)
f'(x) = 2

(v(x))²

Or u'(x) = 2x – 27 et v'(x) = 2(x + 9)
(2x – 27)(x + 9)² - (x² - 27x – 19)2(x + 9)
Donc f'(x) = 2
(x + 9)4
2x – 27)(x + 9) – 2(x² - 27x – 19)
f'(x) = 2(x + 9)

(x + 9)4
2x² + 18x – 27x – 243 + – 2x²+ 54x + 38
f'(x) = 2

(x + 9)3
45x – 205
9x – 41
f'(x) = 2
=
10

(x + 9)3
(x + 9)3
Comme x > 1, (x + 9)3 > 0 et f'(x) est du signe de 9x – 41.
Tableau des variations de f :
x 1
f'
f(x)
-
41/9
m
+
+
4
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CORRECTION
S1 2016-2017
41
161
m = f  = 122
9
b)
f(x) = 0

x² - 27x – 19 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = b² - 4ac = (-27)² - 41(-19) = 805
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
- b -  27 - 805
-b +  27 + 805
=
 -0,7 et x2 =
=
 27,7
2a
2
2a
2
Sur [1; + [, f(x) > 0 
4)
a)
x  ]x2 ; + [.
f admet un minimum en x =
On vérifie que E(4) = -
41
 4,6
9
222
129
> E(5) = 169
98
Donc l'espérance est minimale pour n = 5 et vaut –
b)
129
 -1,32.
98
L'espérance est positive pour n > 27.
Le jeu devient intéressant pour le joueur si le nombre de boules vertes
est supérieur ou égal à 28.
Vérification graphique
5
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CORRECTION
Exercice 2 : Péréquation affine
S1 2016-2017
(5 points)
Lors d'une épreuve, les notes attribuées aux candidats suivent la loi de probabilité suivante :
Notes
0
Probabilité 0,01
1
0,04
2
0,06
3
0,11
4
0,19
5
0,16
6
0,10
7
0,13
8
0,14
9
0,04
10
0,02
1) Pour un candidat pris au hasard, on note X sa note obtenue.
Calculer E(X) et V(X).
2) Le responsable du concours souhaiterait que la moyenne soit égale à 5 et la variance
soit égale à 3. Il demande d'appliquer une transformation affine qui à X associe aX + b.
Calculer a et b
1) E(X) = 00,01 + 10,04 + 20,06 + …. + 90,04 + 100,02 = 5,24
Calcul de V(X)
Première méthode :
V(X) = (0 – 5,24)²0,01 + (1 – 5,24)²0,04 + …. + (9 – 5,24)²0,04 + (10 –
5,24)²0,02 = 5,0224
Deuxième méthode : Formule de Koenig : V(X) = E(X²) – [E(X)]²
E(X²) = 0²0,01 + 1²0,04 + 2²0,06 + ….. + 9²0,04 + 10²0,02 = 32,48
Donc V(X) = 32,48 – 5,24² = 5,0224
Vérification avec la calculatrice :
6
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CORRECTION
S1 2016-2017
V(X) = (x)²  (2,24107)²  5,022
2) On utilise les propriétés :
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX) = a²V(X)
3) a et b sont solutions du système :
5 = a5,24 + b

3 = a²5,022
Soit a =
3
 0,773
5,022
et b = 5 – 5,24
3
 0,950
5,022
Tableur en ligne associé à cet exercice
7
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IE6 variables aléatoires
CORRECTION
S2 2016-2017
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 4 boules rouges, 7 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 11 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 1 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 2 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) =
n² - 44n – 47
(n + 11)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) =
x² - 44x – 47
.
(x + 11)²
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
1) Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité (chaque boule à la même chance
d'être tirée).
P(M) = p(RR) + p(JJ) + p(VV) =
4²
7²
n²
n² + 65
+
+
=
(n + 11)² (n + 11)² (n + 11)² (n + 11)²
D est l'événement contraire de M.
Donc p(D) = 1 – p(M) = 1 -
n² + 65 (n + 11)² - n² - 65
=
(n + 11)²
(n + 11)²
8
Première S3
IE6 variables aléatoires
CORRECTION
p(D) =
n² + 22n + 121 – n² - 65 22n + 56
=
(n + 11)²
(n + 11)²
2) a) p(X = 1) = p(M) =
p(X = -2) = p(D) =
n² + 65
(n + 11)²
22n + 56
(n + 11)²
b) E(X) = 1p(X = 1) - 2p(X=-2) =
E(X) =
3)

n² + 65
22n + 56
- 2
(n + 11)²
(n + 11)²
n² + 65 – 44n – 112 n² - 44n – 47
=
(n + 11)²
(n + 11)²
a)
f est dérivable sur [1; + [.
f(x) =
u(x)
avec u(x) = x² - 44x – 47 et v(x) = (x + 11)²
v(x)
f'(x) =
S2 2016-2017
u'(x)v(x) – u(x)v'(x)

(v(x))²
Or u'(x) = 2x – 44 et v'(x) = 2(x + 11)
Donc f'(x) =
(2x – 44)(x + 11)² - (x² - 44x – 47)2(x + 11)
(x + 11)4
(x – 22)(x + 11) – x² + 44x + 47
f'(x) = (x + 11)2
(x + 11)4
x² + 11x – 22x – 242 – x² + 44x + 47
f'(x) = 2
(x + 11)3
33x – 195
11x – 65
f'(x) = 2
3 = 6
(x + 11)
(x + 11)3
Comme x > 1, (x + 11)3 > 0 et f'(x) est du signe de 11x – 65.
Tableau des variations de f :
x 1
f'
f(x)
-
65/11
+
+
m
65
59
m = f  = 62
 11 
9
Première S3
b)
IE6 variables aléatoires
CORRECTION
f(x) = 0

S2 2016-2017
x² - 44x – 47 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = b² - 4ac = (-44)² - 41(-47) = 2124 = (6 59)²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
- b -  44 - 6 59
=
= 22 - 3 59  -1,04 et
2a
2
x2 =
-b + 
= 22 + 3 59  45,04
2a
Sur [1; + [, f(x) > 0 
4)
a)
x  ]x2 ; + [.
f admet un minimum en x =
On vérifie que E(5) = -
65
 5,9
11
121
275
> E(6) = 128
289
Donc l'espérance est minimale pour n = 6 et vaut –
b)
275
 -0,95.
289
L'espérance est positive pour n > 45.
Le jeu devient intéressant pour le joueur si le nombre de boules vertes
est supérieur ou égal à 46.
Vérification graphique
10
Première S3
IE6 variables aléatoires
CORRECTION
Exercice 2 : Péréquation affine
S2 2016-2017
(5 points)
Lors d'une épreuve, les notes attribuées aux candidats suivent la loi de probabilité suivante :
Notes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Probabilité 0,02 0,03 0,06 0,14 0,16 0,17 0,12 0,1 0,12 0,06 0,02
1) Pour un candidat pris au hasard, on note X sa note obtenue.
Calculer E(X) et V(X).
2) Le responsable du concours souhaiterait que la moyenne soit égale à 5 et la variance
soit égale à 2. Il demande d'appliquer une transformation affine qui à X associe aX + b.
Calculer a et b.
1) E(X) = 00,02 + 10,03 + 20,06 + …. + 90,06 + 100,02 = 5,18
Calcul de V(X)
Première méthode :
V(X) = (0 – 5,18)²0,02 + (1 – 5,18)²0,03 + …. + (9 – 5,18)²0,06 + (10 –
5,18)²0,02 = 5,2676
Deuxième méthode : Formule de Koenig : V(X) = E(X²) – [E(X)]²
E(X²) = 0²0,02 + 1²0,03 + 2²0,06 + ….. + 9²0,06 + 10²0,02 = 32,1
Donc V(X) = 32,1 – 5,18² = 5,2676
Vérification avec la calculatrice :
11
Première S3
IE6 variables aléatoires
CORRECTION
S2 2016-2017
V(X) = (x)²  (2,2951)²  5,2675
2) On utilise les propriétés :
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX) = a²V(X)
3) a et b sont solutions du système :
5 = a5,18 + b

2 = a²5,2676
Soit a =
2
 0,616
5,2676
et b = 5 – 5,18
2
 1,808
5,2676
Tableur en ligne associé à cet exercice
12