devoir 2

4 Anneaux et Corps
4.6 Problème 3 : somme de deux carrés
On s’intéresse au problème suivant : trouver les nombres entiers naturels qui s’écrivent comme
somme de deux carrés d’entiers, comme 5 = 12 + 22 .
1. Préliminaires.
a) Montrer qu’un nombre de la forme 4k + 3, où k ∈ Z n’est jamais somme de deux
carrés. On pourra étudier les carrés modulo 4.
b) Soit p un nombre premier différent de 2. Vérifier qu’il est de la forme 4k + 1 ou de la
forme 4k + 3.
c) En appliquant le théorème de Gauss, montrer que
p|
p!
(p − k)!k!
pour tout k ∈ {1, 2, . . . , p − 1}. En déduire que, dans Z/pZ on a
(x + y)p = xp + y p
d) Prouver que pour tout x non nul de Z/pZ on a :
xp−1 = 1
On prouvera d’abord, par récurrence, que pour tout x on a xp = x.
e) Montrer l’existence dans Z/pZ de x0 tel que
p−1
x0 2 = −1
On pourra factoriser X p−1 − 1 et utiliser que Z/pZ est un corps.
f) En déduire que −1 est un carré dans Z/pZ si et seulement si p est de la forme p = 4k+1.
2. L’anneau des entiers de Gauss.
On définit l’ensemble des entiers de Gauss Z[i] par
Z[i] = {z ∈ C | ∃(a, b) ∈ Z, z = a + ib}
et l’application N de Z[i] dans N définie par
N (a + bi) = a2 + b2
a) Montrer que l’ensemble des entiers de Gauss est un sous-anneau de C.
b) Montrer que N (zz ′ ) = N (z)N (z ′ ), pour tout (z, z ′ ) entiers de Gauss. En déduire que
les inversibles (unités) de Z[i] sont les éléments tels que N (z) = 1. Montrer qu’il y en
a quatre que l’on précisera.
c) Montrer que, si x et y sont des entiers de Gauss (y non nul), il existe un couple
d’entiers de Gauss (q, r) tels que
x = qy + r,
et |r| < |y|
On pourra utiliser le plan complexe et raisonner géométriquement en considérant le
point d’affixe xy .
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4 Corps
d) En déduire que l’anneau de Gauss est euclidien donc principal.
3. Les entiers somme de deux carrés.
On suppose dans cette partie que p est de la forme 4k + 1.
a) Rappeler ce qu’est un élément irréductible z dans un anneau principal et justifier que
si z irréductible divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b.
b) Montrer qu’il existe deux entiers k et x0 tels que
kp = x20 + 1
c) On suppose que p divise x0 + i dans Z[i]. Montrer que alors p divise x0 − i, puis que
p = 2.
d) En déduire que p n’est pas irréductible dans Z[i], puis que p peut s’écrire sous la forme
p = a2 + b2 où a et b sont des entiers.
e) Vérifiez que les nombres premiers de la forme 4k +1 et inférieurs à 30 sont bien somme
de deux carrés.
4. Complément : les irréductibles de l’anneau des entiers de Gauss.
a) Prouver que tout nombre premier de la forme 4k + 3 est irréductible dans l’anneau
des entiers de Gauss.
b) Prouver que si z = a + ib est tel que a2 + b2 est un nombre premier, alors z est
irréductible dans l’anneau des entiers de Gauss.
c) Réciproquement, si z est un irréductible de l’anneau des entiers de Gauss, alors il
est de l’une des deux formes précédentes (à une unité près). On considèrera zz et sa
décomposition en facteurs premiers dans N.
Remarque. le problème n’est pas tout à fait terminé ; il reste pour conclure à montrer qu’un
nombre entier est somme de deux carrés si et seulement si il se décompose en facteurs premiers
sous la forme :
n = 2k pa1 1 pa2 2 . . . paℓ ℓ
où les ai sont pairs lorsque pi est premier de la forme 4k + 3.
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