Mathématiques de l`ingénieur I

Mathématiques de l’ingénieur I
MAT-10363 – E08
A
3.
Nombres complexes
Puissances et racines
Puissances
La formule de De Moivre est une application répétée de la règle de multiplication sous forme polaire.
Elle permet de calculer la ne puissance d’un nombre complexe sous forme polaire :
n
r(cos θ + i sin θ) = rn (cos nθ + i sin nθ)
Exemple
Sol.
(n ∈ N).
√
(1 + 3 i)5
Calculer
.
(1 + i)4
Solution clip.
√
[2(cos π/3 + i sin π/3)]5
(1 + 3 i)5
32(cos 5π/3 + i sin 5π/3)
=
=
√
4
(1 + i)4
4(cos π + i sin π)
2(cos π/4 + i sin π/4)
√
√
= 8(cos 2π/3 + i sin 2π/3) = 8(−1/2 + i 3/2) = −4 + 4 3i.
La formule de De Moivre peut être utile pour trouver des identitées trigonométriques.
Exemple
Sol.
Trouver une formule pour cos 3θ en termes de cos θ.
On utilise l’identité
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ)3
= cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ + 3i2 cos θ sin2 θ + i3 sin3 θ
= cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ + i 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ .
Donc, en égalant les parties réelles de chaque côté, on trouve
cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ(1 − cos2 θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
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A3
1/ 3
Racines
Trouver les racines ne d’un nombre complexe a, c’est, par définition, trouver les nombres complexes z
tels que z n = a. Pour résoudre cette équation, on écrit z et a sous forme polaire et on utilise la
formule de De Moivre pour calculer z n . On a alors l’égalité entre deux nombres complexes sous forme
polaire. Notons que
r(cos θ + i sin θ) = ρ(cos α + i sin α)
⇐⇒
r = ρ et θ = α + 2πk (k ∈ Z).
En effet, les modules doivent être égaux, et les arguments doivent être équivalents, i.e. représenter un
même angle dans le plan complexe. Pour cela, il faut et il suffit que leur différence soit un multiple
de 2π (un tour complet).
Exemple
Sol.
Trouver les racines 5e de −32.
Solution clip.
Les racines 5e de −32 sont les solutions de l’équation z 5 = −32. Sous forme polaire, on cherche des
solutions de la forme z = r(cos θ + i sin θ). On a
z 5 = r5 (cos 5θ + i sin 5θ)
−32 = 32(cos π + i sin π)
Donc,
De Moivre
Forme polaire
modules égaux : r5 = 32
arguments équivalents : 5θ = π + 2πk
π 2π
=⇒ r = 2 et θ = +
k.
5
5
(k ∈ Z)
Les solutions sont
π 2π
π 2π
k) + sin( +
k)
(k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .).
zk := 2 cos( +
5
5
5
5
Il n’y a que 5 solutions distinctes. Par exemple on peut choisir : z0 , z1 , z2 , z3 et z4 .
Im
z1
z0
z2
−2
Re
z4
z3
Les racines sont au sommet d’un polygone régulier. C’est toujours le cas lorsqu’on résout l’équation
z n = a.
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A3
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Réponses
`
1) 2 cos
π
12
+ i sin
π
12
´ `
, 2 cos
5π
12
+ i sin
2) (4 sin θ − 8 sin3 θ) cos θ.
√
3) a) 6, −3 ± 3 3i.
´ 1/6 `
`
π
π
+ i sin 12
,2
cos
b) 21/6 cos 12
2
5π
12
3π
4
´ `
, 2 cos
+ i sin
3π
4
3π
4
´
+ i sin
A3
3π
4
´ `
, 2 cos
`
, 21/6 cos
17π
12
13π
12
+ i sin
+ i sin
17π
12
13π
12
´
`
, 2 cos
17π
12
+ i sin
17π
12
´ `
, 2 cos
7π
4
+ i sin
7π
4
´
.
´
.
1
√
i.
2
b) z 3 = 1 + i.
c) ±1, ±i, ± √1 ±
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a) z 3 = 216.
c) z 8 = 1.
3) Résoudre dans C les équations suivantes
sin 4θ = (a0 + a1 sin θ + a2 sin2 θ + · · · + an sinn θ) cos θ.
2) Trouver une formule pour sin 4θ de la forme
1) Donner, sous forme polaire, les racines sixièmes de 2i.
Exercices