Corrections — Série 8

Section d’Architecture
Mathématiques I (G. Favi)
EPFL
Corrections — Série 8
Exercice 1.
La circonférence de la base du cône sera de 2πr − θr = (2π − θ)r pour autant que θ soit donné en
radians. Cette circonférence est aussi celle du nouveau disque qui forme la base. Si nous appelons
le rayon de ce nouveau disque R, nous avons 2πR = (2π − θ)r et donc
R=
(2π − θ)r
= (1 −
2π
θ
2π )r
.
En prenant l’intersection du cône avec un plan contenant un diamètre de la base et le sommet du
cône, nous obtenons un triangle isocèle. La bissectrice de l’angle au sommet forme la hauteur h
d’un triangle rectangle dont la base est R et l’hypothénuse r. Le demi-angle d’ouverture est donc
arcsin( Rr ) = arcsin(1 −
θ
2π )
,
une valeur qui ne dépend que de θ.
Exercice 2.
On utilise par exemple que sin(β) = − cos(β + π2 ) et cos(β) = sin(β + π2 ) pour écrire
sin(α + β) = − cos(α + (β + π2 )) = − cos(α) cos(β + π2 ) + sin(α) sin(β + π2 )
= cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β) ,
comme demandé.
Exercice 3.
Pour les valeurs demandées, on peut utiliser par exemple que
sin(15○ ) = sin(60○ − 45○ ) = sin(60○ ) cos(45○ ) − cos(60○ ) sin(45○ ) =
ou encore
○
sin(15 ) =
√
1−cos(30○ )
2
√
=
√
1− 23
2
=
√
√
2− 3
4
=
√
√
6
4
√
2− 3
2
−
√
2
4
=
√ √
6− 2
4
,
.
√
√
Notons qu’en élevant la première des ces solutions (positives) au carré, on obtient 6−2 164⋅3+2 = 2−4 3 ,
qui est la valeur de la seconde solution au carré, et que les deux valeurs obtenues sont donc bien
égales(!). Un calcul similaire pour le cosinus donne
○
cos(15 ) =
qui est aussi la valeur obtenue via cos(15○ ) =
√ √
6+ 2
4
√
=
√
√
2+ 3
2
,
1 − sin2 (15○ ). On obtient donc
√ √
√
tan(15○ ) = √6−√2 = 2 − 3
6+ 2
ou
Exercices du 18 novembre 2016
tan(15○ ) =
√
√
2−√3
2+ 3
=
√
√
7−4 3 .
Mathématiques I (G. Favi)
Section d’Architecture
EPFL
Exercice 4.
L’exercice 1 de la série 7 affirme que sin(τ ) = 12 cord(2τ ), que l’on peut d’ailleurs écrire comme
cord(θ) = 2 sin( 21 θ). Or la corde d’un angle donne la distance entre les deux points aux extrémités
de ladite “corde”. Dans le cas de deux points arbitraires A et B qui déterminent respectivement
des angles α et β avec la demi-droite positive des x, l’angle que la corde mesure est θ = ∣β − α∣ (la
valeur absolue est nécessaire pour avoir un angle positif ).
Exercice 5. La formule de transformation du produit de deux sinus en somme de cosinus donne:
sin(θ2 − θ1 ) sin(θ4 − θ3 ) = 21 (cos(θ2 − θ1 + θ3 − θ4 ) − cos(θ2 − θ1 + θ4 − θ3 )) ,
sin(θ4 − θ1 ) sin(θ3 − θ2 ) = 21 (cos(θ4 − θ1 + θ2 − θ3 ) − cos(θ4 − θ1 + θ3 − θ2 )) ,
sin(θ3 − θ1 ) sin(θ4 − θ2 ) = 21 (cos(θ3 − θ1 + θ2 − θ4 ) − cos(θ3 − θ1 + θ4 − θ2 )) .
On observe que la somme des côtés droites des deux premières égalités donne le côté droite de la
troisième. On en déduit que la même relation est valide pour les côtés gauches.
Exercice 6.
(a) Si la relation AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC est vraie dans un cercle de rayon 1, alors elle est
vraie dans un cercle de rayon r parce que toutes les longueurs seront alors multipliées par r
et
r ⋅ AC ⋅ r ⋅ BD = r2 ⋅ AC ⋅ BD
= r2 ⋅ (AB ⋅ CD + AD ⋅ BC) = r ⋅ AB ⋅ r ⋅ CD + r ⋅ AD ⋅ r ⋅ BC .
(b) On peut écrire A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ)), D = (cos(δ), sin(δ))
et on peut supposer que α ≤ β ≤ γ ≤ δ. L’exercice 4 nous dit que
AC = 2 sin( 12 (γ − α)), BD = 2 sin( 12 (δ − β)),
AB = 2 sin( 12 (β − α)), CD = 2 sin( 12 (δ − γ)), AD = 2 sin( 12 (δ − α)), BC = 2 sin( 12 (γ − β)) .
L’égalité cherchée suit en multipliant chaque côté de l’égalité de l’exercice 5 par 4, et en
posant θ1 = 21 α, θ2 = 21 β, θ3 = 12 γ, θ4 = 12 δ.
Exercices du 18 novembre 2016
Section d’Architecture
Mathématiques I (G. Favi)
EPFL
Exercice 7. [QCM de type examen]
Soit α = 105○ . Alors la valeur de α en radians est
◻ α=
π
7
◻ α=
π
6
⊠ α=
7π
12
◻ α=
13π
24
En effet, on a que α = 105○ = 60○ + 45○ = π3 + π4 = 7π
12 . On peut aussi arriver à la réponse en utilisant
35
7
la formule vue au cours qui dit que α en radians vaut 105
180 π = 60 π = 12 π.
Exercice 8. [QCM de type examen]
Soit α = 105○ . Alors on a
◻ cos(α) =
⊠ cos(α) =
◻ cos(α) =
◻ cos(α) =
√
√
2
4 (1 + 3)
√
√
2
4 (1 − 3)
√
√
2
2 (1 + 3)
√
√
2
2 (1 − 3)
En effet, on peut utiliser la formule cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) avec x =
√
√
√
√
On trouve cos(α) = 22 ( 12 − 23 ) = 42 (1 − 3)
π
3
et y = π4 .
Exercice 9. [QCM de type examen]
Soit α un angle tel que cos(α) =
√
7
4 .
Alors on a
◻ cos(2α) = − 12
◻ cos(2α) =
1
4
⊠ cos(2α) = − 81
◻ cos(2α) =
1
16
7
On utilise ici la formule cos(2α) = 2 cos2 (α) − 1 et on trouve cos(α) = 2 16
−1=
Exercices du 18 novembre 2016
7
8
− 1 = − 18 .