Mathématiques de l`ingénieur I

Mathématiques de l’ingénieur I
MAT-10363 – E08
A
2.
Nombres complexes
Forme polaire
Un nombre complexe z est dit sous forme polaire s’il est écrit sous la forme
z = r(cos θ + i sin θ),
où r et θ sont des nombres réels tels que r ≥ 0. On dit alors que r est le module de z et θ est son
argument. Si x + iy est la forme cartésienne de z, alors on a les relations
x = r cos θ
et y = r sin θ.
(1)
L’argument d’un nombre complexe n’est pas uniquement déterminé. Si θ est un argument pour z,
alors θ + 2π en est un aussi. Cela est dû au fait que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques :
sin θ = sin(θ + 2π) et
cos θ = cos(θ + 2π).
De façon plus générale, si θ est un argument pour z, alors θ + 2πk en est un aussi pour chaque valeur
de k ∈ Z. Le nombre complexe z = 0 a un module de r = 0 et son argument n’est pas défini.
Clip illustrant la représentation polaire.
Pour convertir un nombre complexe entre les formes polaire et cartésienne, on utilise les équations
(1). Pour le calcul des fonctions trigonométriques, les tableaux de la page 267 du livre sont souvent
pratiques.
Exemple
Sol.
√
Écrire sous forme polaire z := −2 3 + 2i.
Solution clip.
q
√
√
r = 22 + (2 3)2 = 4 + 12 = 4.
Im
z
r
sin(π − θ) =
2
π−θ
√
2 3
⇒
θ
⇒
Re
2
4
= 1/2
π − θ = π/6
θ = 5π/6.
Donc, z = 4 cos 5π
.
+ i sin 5π
6
6
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Exemple
Sol.
z=
Écrire sous forme cartésienne z :=
√
2(cos 5π
+ i sin 5π
)=
4
4
√ √2
2 −2 −
√
√
2(cos 5π
+ i sin 5π
).
4
4
2
i
2
= −1 − i.
Produits et quotients sous forme polaire
La multiplications de deux nombres complexes sous formes polaires z1 := r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) et
z2 := r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) est le nombre complexe dont le module est le produit des modules de z1
et z2 et l’argument est la somme des arguments de z1 et z2 . Similairement, le quotient de z1 par z2
est le nombre complexe dont le module est le quotient des modules de z1 et z2 et l’argument est la
différence des arguments de z1 et z2 .
z1
r1
=
cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 ) .
z2
r2
z1 z2 = (r1 r2 ) cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) et
Exemple
Sol.
Donner sous forme polaire le produit de z := 3 +
√9 i
3
et w := 2(cos π5 + i sin π5 ).
En écrivant z sous forme polaire, on trouve z = 6(cos π3 + i sin π3 ). Ainsi,
π
π π
8π
π
8π
.
zw = 6 cos + i sin
+ i sin
2 cos + i sin
= 12 cos
3
3
5
5
15
15
Lieux géométriques
Voici deux approches pour décrire un lieu géométrique donné par une équation complexe.
1 Méthode algébrique.
Pour certains problèmes, il est plus facile de travailler sous forme cartésienne et poser z := x+iy,
tandis que pour d’autres, il est plus facile d’utiliser la forme polaire z := r(cos θ + i sin θ). En
tout temps, il faut avoir en tête les relations classiques : |z|2 = zz, Re z = z+z
, ...
2
2 Méthode géométrique.
On utilise les interprétations géométriques de z +w, zw, z, |z|, |z −w|, . . . Rappelons que |z −w|
s’interprète comme la distance entre les points z et w dans le plan de Gauss.
Exemple
Trouver les points z tels que
a) |z + i| = 2.
Sol.
a) Solution clip.
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b) |z − 1| = |z + 5|.
b) Solution clip.
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Exercices
1) Donner sous forme polaire le résultat de
√
3 √2+2i
.
− 2− 23 i
2) Supposons que θ est l’argument d’un nombre complexe z. Quel est l’argument de
2
z
b) (z − z)2 ?
?
2) a) θ
a)
b) π
1) 3(cos π + i sin π).
Réponses
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