les fractions

LES FRACTIONS
Qu'est-ce qu'une fraction ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être le quotient de deux nombres entiers. Ainsi 2,5
est rationnel car 10  4 = 2,5. Autre exemple, 1,272727... est rationnel car 42  33 = 1,272727... . Le
nombre  n'est pas rationnel, car il n'existe pas deux entiers a et b tels que a  b = .
Une fraction est une façon d'écrire un nombre rationnel. Puisqu'il peut être le quotient de deux
nombres entiers avec a comme dividende et b comme diviseur, un nombre rationnel peut s'écrire tout
a
simplement b où a s'appelle le numérateur et b le dénominateur. Ainsi 2,5 peut s'écrire 104 .
Un nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de façon sous forme d'une fraction. Le nombre
42
126
rationnel dont l'écriture décimale est 1,272727... peut s'écrire indifféremment 33 ou 99 ; etc...
Comment reconnaître que deux fractions représentent le même nombre rationnel. Etant
42
126
données deux fractions, par exemple 33 et 99 , on peut reconnaître qu'elles représentent le même
nombre en constatant que les quotients des divisions 42  33 et 126  99 sont égaux. On peut toutefois
reconnaître le même nombre, sans effectuer les divisions, en utilisant la propriété suivante :
Propriété. On ne change pas un nombre rationnel écrit sous forme d'une fraction en divisant
ou en multipliant son numérateur et son dénominateur par un même nombre entier non nul.
Exemple.
42
126
42×3
126
et
représentent le même nombre rationnel car
=
.
33
99
33×3
99
Comment changer d'écriture ? Dans un sens, de l'écriture sous forme d'une fraction à l'écriture
décimale, il suffit de poser une division euclidienne. Voyons maintenant avec le nombre 1,345345... le
passage de l'écriture décimale à l'écriture sous forme d'une fraction : le motif étant formé de 3
chiffres, multiplions ce nombre par 1000 :
1000  1,345345... = 1345,345345...
puis retranchons le nombre à ce produit :
1345,345345...  1,345345... = 1344.
Finalement, nous constatons que :
1000  1,345345...  1,345345... = 1344.
Soit, après factorisation :
999  1,345345... = 1344.
On en déduit l'écriture en fraction de notre nombre :
1,345345... =
―1―
1344
.
999
Simplifier une fraction
Fraction irréductible. Prenons toutes les fractions qui représentent un même nombre rationnel :
14
28
42
;
;
11
22
33
;
56
44
;
70
55
;
84
66
;
98
77
;
112
126
;
; etc...
88
99
Toutes ces fractions sont égales, mais étant données deux fractions de cette liste on peut dire que
l'une est plus simple que l'autre lorsque : les dénominateur et numérateur de l'une sont plus petits que ceux
de l'autre. Une fraction de cette liste (celle entourée en rouge) est plus simple que toutes les autres, on dit
que cette fraction est irréductible. Ainsi, simplifier une fraction c'est trouver la fraction irréductible qui lui
est égale.
84
voici comment la simplifier :
66
1°) On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, par exemple 2, et on
divise le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun :
84
42×2
42
=
=
.
66
33×2
33
2°) La nouvelle fraction obtenue est plus simple. On recherche à nouveau un diviseur commun au
numérateur et au dénominateur
42
14×3
14
=
=
.
33
11×3
11
3°) La nouvelle fraction obtenue est encore plus simple. On recherche à nouveau un diviseur
commun au numérateur et au dénominateur : on ne trouve que 1. Cette dernière fraction est donc
irréductible.
Comment simplifier une fraction. Etant donné
Calculer avec les fractions
Règle d'addition et de soustraction. La somme ou la différence de deux fractions ayant le
même dénominateur est la fraction obtenue en ajoutant ou en retranchant les numérateurs et en
conservant le même dénominateur :
a
b
a + b
+
=
c
c
c
Lorsque deux fractions n'ont pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur
avant de les ajouter ou de les retrancher.
Exemple.
1
5
1 × 12
5 × 8
12
40
12 + 40
52
4 × 13
13
+
=
+
=
+
=
=
=
=
8
12
8 × 12
12 × 8
96
96
96
96
4 × 24
24
De façon générale, le produit des dénominateurs permet de trouver le dénominateur commun. Il
est parfois possible de réduire plus simplement au même dénominateur, en utilisant un diviseur
commun aux deux dénominateurs. Ainsi 8 = 4  2 et 12 = 4  3, et donc :
1
5
1 × 3
5 × 2
3
10
3 + 10
13
+
=
+
=
+
=
=
8
12
8 × 3
12 × 2
24
24
24
24
―2―
Règle de multiplication. Le produit de deux fractions est la fraction obtenue en multipliant
les numérateurs entre eux et en multipliant les dénominateurs entre eux :
a
b
a × b
×
=
c
d
c × d
Exemple.
15
56
5×3
28×2
3
2
3 × 2
6
×
=
×
=
×
=
=
28
35
28×1
5×7
1
7
7 × 1
7
Règle. Dans un produit de fractions, il faut simplifier les facteurs avant de les multiplier.
Définition. On appelle inverse d'une fraction, la fraction obtenue en échangeant le numérateur
et le dénominateur de la première.
Règle de division. Le quotient de deux fractions
première par l'inverse de la seconde.
a
b
a
÷
=
×
c
d
c
Exemple.
4
2
4
3
2
÷
=
×
=
5
3
5
2
5
est la fraction obtenue en multipliant la
d
b
×
  
―3―
3
6
=
1
5