Exercice 2 - M. Philippe.fr

Antilles Guyane Septembre 2007
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes
Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche ou rouge.
On sait de plus qu'il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne.
On tire au hasard et simultanément 2 boules de l'urne et on note leur couleur.
On appelle G l 'événement « obtenir deux boules de même couleur »
PARTIE A
On suppose que l'urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches.
Calculer la probabilité de G
PARTIE B
On note n , b , r , le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne.
1) On note g ( n ; b ; r ) la probabilité en fonction de n , b et r de l'événement G. Démontrer que :
g(n;b;r)=
1
[n n – 1b b – 1r r – 1]
210
2) Le but de cette question est de déterminer n , b et r afin que la probabilité de g ( n ; b ; r ) soit minimale.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j , 
k )
Soient les points N , B et R de coordonnées respectives ( 15 ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; 15 ; 0 ) et ( 0 ; 0 ; 15 )et
soit M le point de coordonnées ( n ; b ; r ) . On pourra se rapporter à la figure ci-dessous
a) Justifier qu'une équation cartésienne du plan (NBR)
est : x + y + z – 15 = 0
b) En déduire que le point M est un point de ce plan.
c) Démontrer que g ( n ; b ; r ) =
1
OM 2 – 15
210
d) Soit H le projeté orthogonal du point O dans le plan
(NBR). Déterminer les coordonnées du point H
e) En déduire les valeurs de n , b , r afin que la probabilité
g ( n ; b ; r ) soit minimale.
Justifier que cette probabilité minimal est égale à
2
7
PARTIE C
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l'organisateur d'un jeu de telle
sorte que la probabilité de G soit
2
7
Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément deux boules de l'urne. Dans
tous les cas, il perd sa mise de départ. S'il obtient deux boules de même couleur, il reçoit k fois le montant de
sa mise, avec k nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1) Calculer l'espérance E(X) de la variable X en fonction de x et de k.
2) Déterminer la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable.
M. Philippe 18/04/11
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CORRIGE
PARTIE A
L'urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches donc il y a 5 boules rouges.
Le tirage étant simultané, il y a
deux noires ,
P(G) =
 152 tirages possibles cad 105 tirages possibles et  32  = 3 façons de choisir
 72  = 21 façons de choisir deux blanches et  52  = 10 façons de choisir deux rouges d'où
32110
34
=
105
105
PARTIE B
1) Il y a toujours 105 tirages possibles et t
façons de choisir deux blanches et
g(n;b;r)=
 n2  = n n2– 1
façons de choisir deux noires ,
 b2 = bb2– 1
 2r  = r r2– 1 façons de choisir deux rouges d'où
nn – 1 bb – 1 r r – 1


1
2
2
2
=
[n n – 1b b – 1r r – 1]
210
105
2) a) Une équation cartésienne du plan (NBR) est de la forme ax+by+cz+d=0 et en utilisant le fait que les trois
points sont dans ce plan, on obtient : 15a + d = 0 , 15b + d = 0 et 15c + d = 0 soit a = b = c = –
d
.
15
L'équation devient donc axayaz – 15 a=0 cad xyz – 15=0
b) M( n ; b ; r ) donc d'après les hypothèses, n+ b+r = 15 donc M est un point de ce plan.
c) g ( n ; b ; r ) =
1
1
1
[ n2 b2r 2 – nbr ] =
OM 2 – 15
[n n – 1b b – 1r r – 1] =
210
210
210
d)H est le projeté orthogonal du point O dans le plan (NBR) donc 
OH est orthogonal à ce plan. Or d'après
l'équation, un vecteur normal à ce plan est n
OH est donc colinéaire à n
 ( 1 ; 1 ; 1). 
 donc ses coordonnées
sont de la forme 
OH  ; ;  ce qui correspond au coordonnées de H (  ; ;  ) et comme H est dans
le plan , on a : =15 d'où =5 et les coordonnées du point H( 5 ; 5 ; 5 )
e) g ( n ; b ; r ) est minimale dès que
1
OM 2 – 15 l'est. Il faut donc rendre la distance OM minimale cad
210
la distance de O à (NBR) minimale. C'est le cas dès que M = H d'où M(5;5;5) et n = b = r = 5
On a alors : g ( n ; b ; r ) =
1
1
60
2
OH 2 – 15 =
5 25 25 2 – 15 =
=
210
210
210
7
PARTIE C
1) X peut prendre comme valeur kx – x et –x avec P(X=kx–x)=
2
5
(le joueur gagne) et P(X=–x)=
(le
7
7
2
5
x
joueur perd) d'où E(X) = kx – x – x = 2 k – 7
7
7
7
2) Le jeu est équitable dès que E(X) = 0 cad
M. Philippe 18/04/11
x
7
2 k – 7 = 0. x étant non nul, il faut 2 k – 7=0 cad k =
7
2
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