Mathématiques/TD/td10_denombrement

PTSI1 – 2016/2017
Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
TD 10. Arithmétique et dénombrement.
Arithmétique
Exercice 1.
1. Soit n un entier ≥ 2. Montrer que [[n! + 2, n! + n]] ne contient aucun nombre premier.
2. Montrer qu’il existe des intervalles d’entiers aussi longs que l’on veut sans aucun nombre premier.
Exercice 2. Montrer que, pour tout n ∈ N, 6|n3 − n.
Exercice 3. On pose, pour tout n ∈ N, un = 32n+1 + 2n+2 .
1. Pour n ∈ N, trouver une relation entre un+1 et un .
2. En déduire que, pour tout n ∈ N, 7|un .
Exercice 4. Soient n et a des entiers supérieurs ou égaux à 2.
1. Montrer que si an − 1 est premier alors a = 2.
2. Montrer que si 2n − 1 est un nombre premier alors n est premier.
Les nombres de la forme 2p − 1 avec p premier s’appellent les nombres de Mersenne. Ils ne sont pas
tous premiers : chercher à l’aide de python le premier nombre de Mersenne non premier.
Exercice 5. Un entier naturel est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs sauf
lui-même.
1. Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.
2. Un nombre premier peut-il être parfait ?
3. Soit n un entier ≥ 2. Montrer que si 2n − 1 est premier alors 2n−1 (2n − 1) est parfait. En déduire
un nouveau nombre parfait.
Dénombrement
Exercice 6. Dans un lycée de 1200 élèves, 652 pratiquent une activité sportive, 327 jouent d’un
instrument de musique et 453 ne font ni sport, ni musique.
Déterminer le nombre d’élèves sportifs et musiciens.
Exercice 7. Donner le nombre d’anagrammes de TARATATA ?
Exercice 8. Un damier comporte 25 cases.
De combien de façons peut-on placer 5 pions sur ce damier, de telle sorte qu’il y en ait un par ligne et
un par colonne ?
Exercice 9.
1. Soit A l’ensemble des nombres à 6 chiffres formés avec les chiffres 1, 2, 3, . . . , 9. Quel est le cardinal
de A ?
2. Déterminer le nombre d’éléments de A dont tous les chiffres sont différents.
3. Déterminer le nombre d’éléments de A dont tous les chiffres sont pairs.
4. Déterminer le nombre d’éléments de A qui sont pairs.
5. Déterminer le nombre d’éléments de A dont les chiffres forment une suite strictement croissante.
1
Exercice 10. On dispose d’un jeu de 32 cartes (hauteurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as, pour chacune
des 4 couleurs coeur, pique, trèfle, carreau).
1. Combien y a-t-il de "mains" (5 cartes) possibles ?
2. Combien y a-t-il de mains avec exactement un as ?
3. Combien y a-t-il de mains avec au moins un as ?
4. Combien y a-t-il de mains avec au plus un as ?
5. Combien y a-t-il de full (3 cartes de même hauteur et 2 autres cartes de même hauteur) ?
6. Combien y a-t-il de mains avec exactement un as et un trèfle ?
Exercice 11. Sur une étagère, on range les n tomes d’une encyclopédie.
1. Combien y a -t-il de manières de les ranger ?
2. Parmi ces rangements, combien permettent de retrouver les tomes 1 et 2 côte à côte dans cet
ordre.
Exercice 12. On répartit au hasard 5 billes numérotées de 1 à 5 dans quatre sacs numérotés de 1 à
4. Un sac peut contenir toutes les billes.
1. Quel est le nombre de répartitions possibles ?
2. Quel est le nombre de répartitions telles qu’aucun sac ne soit vide ?
Exercice 13. On dispose de 10 billes que l’on veut placer sur une même rangée.
1. On suppose que les 10 billes sont de couleurs différentes. De combien de façons peut-on les ranger ?
2. On suppose qu’il y a 5 billes rouges, 2 blanches, 3 vertes et que l’on ne peut pas discerner les
billes d’une même couleur.
a) De combien de façons peut-on les ranger ?
b) De combien de façons peut-on les ranger si l’on veut que les billes soient groupées par
couleurs ?
c) Même question mais seules les rouges doivent êtres groupées.
Exercice 14. Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15. Les boules numérotées de 1 à 5 sont
blanches, les boules numérotées de 6 à 15 sont noires.
1. On tire simultanément 5 boules de l’urne.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien de tirages donnent 2 boules blanches et 3 boules noires ?
2. On tire successivement 5 boules de l’urne sans remise.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien de tirages donnent 2 boules blanches et 3 boules noires dans un ordre quelconque ?
Calcul de sommes
Exercice 15. Soient a et b deux entiers naturels non nuls et n un entier naturel inférieur ou égal à
min(a, b). On considère une urne contenant a boules blanches numérotées de 1 à a et b boules noires
numérotées de a + 1 à a + b. On effectue un tirage simultané de n boules. On note Ω l’ensemble des
résultats possibles.
1. Quel est le cardinal de Ω ?
n X
a
b
a+b
2. En décomposant Ω, montrer la formule de Vandermonde :
=
.
k
n−k
n
k=0
X
n 2
2n
n
∗
Exercice 16. Soit n ∈ N . Montrer que :
=
.
n
k
k=0
1. en développant de deux manières (1 +
2. par un raisonnement combinatoire.
x)2n .
2