résolution simple d`un cube de type 6x6 - ASTHALIS

Cube
5x5
RESOLUTION SIMPLE
D’UN CUBE DE TYPE 6x6
mise à jour : 06/08/12
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CUBE
6x6
tutoriel par ND
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site web
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1. A PROPOS DE CE DOCUMENT
En bref
Conditions d’utilisation
Historique
2
2
2
2
2. CONVENTIONS ET NOTATIONS
Pièces et facettes
Arêtes complètes
Centres complets et alignements
Faces
Rangées
Couleurs
Rotations et algorithmes
Notation SiGN
Notation symbolique
Notation personnelle et moyen mnémotechnique
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
6
3. RESOLUTION DETAILLEE
Généralités
Phase 1 : résolution des centres
Phase 2 : résolution des arêtes
Phase 3 : fin de la résolution
8
8
8
9
10
4. POUR ALLER PLUS LOIN...
13
5. REMERCIEMENTS
13
ANNEXE : RECAPITULATIF DES ALGORITHMES DU CUBE 6x6
13
1
Cube
6x6
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D’UN CUBE DE TYPE 6x6
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1. A PROPOS DE CE DOCUMENT
En bref
Ce guide est dédié à la résolution d’un casse-tête cubique de type 6x6 à 6 couleurs, à l’image du VCube 6 (Verdes).
Il s’adresse à des utilisateurs ayant déjà une bonne expérience de la résolution de casse-têtes
cubiques (en particulier des 3x3, 4x4 et 5x5 dont je suppose que vous connaissez déjà mes guides
de résolution) et intègre un moyen mnémotechnique que j’ai imaginé et que j’applique moi-même
pour mémoriser plus facilement les rotations à effectuer sur le cube pour aboutir à sa résolution
complète. Il n’est pas orienté vers la compétition de type « speedcubing ».
Ce guide est téléchargeable depuis la page web suivante, qui regroupe mes autres documents
consacrés aux casse-têtes cubiques : http://asthalis.free.fr/crea_cubes_doc.html.
Conditions d’utilisation
Ce document peut être copié et diffusé librement sous sa forme première. Toute autre utilisation
reste à la discrétion de l’auteur.
Historique
+
>
!
-
nouveauté ou ajout
mise à jour
correction
suppression
06/08/12
+
>
>
>
>
>
!
mise à jour
compléments divers (détails, nota bene)
simplification de « 6x6x6 » en « 6x6 »
reformulation partielle (titres, textes, algorithmes)
modification de certains schémas
renvois colorés aux schémas
nouvelle signature « œil »
orientation pour permutation d’arêtes complètes opposées
29/01/12
version initiale
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2. CONVENTIONS ET NOTATIONS
Pièces et facettes
Dans ce guide, j’appellerai « pièce » le plus petit élément mobile et visible du cube assemblé.
Un
•
•
•
cube 6x6 compte 152 pièces parmi lesquelles :
8 coins (schéma 1), comptant chacun 3 facettes visibles
48 arêtes (schéma 2), groupées par 4 et comptant chacune 2 facettes visibles
96 centres (schéma 3) groupés par 16 (4x4) et ne comptant chacun qu’une seule facette visible
Arêtes complètes
Chaque arête complète (alignement de 4 arêtes sur un 6x6) compte 2 types d’arête :
• 2 arêtes centrales (pièces violettes)
• 2 arêtes externes (pièces roses)
Centres complets et alignements
Chaque centre complet du cube (4x4 pièces sur un 6x6) compte 3 types de centres :
• 4 centres internes (pièces noires)
• 8 centres-croix (pièces violettes), groupés par 2
• 4 centres-coins (pièces roses)
Sur un 6x6, on peut définir 2 types d’alignement de centres :
• alignement interne (exemples schéma 1) : alignement de 2 centres internes et 2 centres-croix
• alignement externe (exemples schéma 2) : alignement de 2 centres-croix et 2 centres-coins
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Faces
Une face est un ensemble de facettes (ici, 6x6) appartenant à un même plan à la surface du cube et
elle est nommée en fonction de sa position par rapport au manipulateur du cube. Dans l’ordre des
schémas ci-dessus : faces avant (la plus proche du manipulateur du cube), gauche, droite,
supérieure, inférieure et arrière.
Les faces avant, gauche, droite et arrière constituent ensemble les faces latérales du cube.
Rangées
Une rangée est un ensemble de pièces situées à la même distance d’une face.
Une rangée externe est une rangée contenant toutes les pièces d’une même face. Dans l’ordre des
schémas : rangées externes avant, gauche, droite, supérieure, inférieure et arrière.
Un cube 6x6 compte aussi des rangées internes. Dans l’ordre des schémas : rangées internes avant,
gauche, droite, supérieure, inférieure et arrière.
Couleurs
Sauf cas particulier, j’utiliserai toujours le même code de couleurs dans ce document (schéma 1) :
• une pièce gris clair est une pièce dont la vraie couleur est sans importance à ce stade
• un ensemble de pièces gris foncé est l’ensemble qui a été tourné à l’étape précédente
• une pièce ou un ensemble de pièces rose est considéré comme une position sur le cube
• toute autre couleur (blanc, jaune, bleu, vert, rouge, vert) est la vraie couleur d’une pièce
Tous les centres étant mobiles sur un cube 6x6, on doit veiller à bien respecter la disposition relative
de ses couleurs au cours de sa résolution (schéma 2), faute de quoi on ne pourra pas le résoudre.
En particulier :
• on doit trouver les couleurs bleu-blanc-rouge dans le sens anti-horaire autour d’un coin du cube
• la face jaune doit être opposée à la face blanche
• la face orange doit être opposée à la face rouge
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•
la face verte doit être opposée à la face bleue
De
•
•
•
plus :
parler d’un « coin blanc » revient à désigner un coin dont une des 3 facettes est blanche
parler d’une « arête blanche » revient à désigner une arête dont l’une des 2 facettes est blanche
parler d’ « arêtes complémentaires » revient à désigner des arêtes ayant leurs 2 couleurs en
commun
parler de « centre blanc » ne présente pas d’ambiguïté, un centre ne comportant qu’une couleur
•
Rotations et algorithmes
Une rotation élémentaire du cube est une rotation à 90° de l’une de ses faces et/ou une ou
plusieurs de ses rangées internes associées, en considérant que le manipulateur du cube a
cette face devant lui. Selon le cas :
• on parle de rotation directe si la rotation est dans le sens horaire (schémas 1 à 4)
• on parle de rotation indirecte si la rotation est dans le sens anti-horaire (schémas 5 à 8)
On peut aussi considérer que :
• le sens direct correspond à celui d’un « vissage »
• le sens indirect correspond à celui d’un « dévissage »
Un algorithme est une séquence de rotations élémentaires couramment employée pour résoudre un
cube. Son objectif est d’aboutir selon le cas à :
• une permutation (échange de positions entre plusieurs pièces)
• une orientation (disposition voulue des couleurs d’une pièce, sans changement de sa position)
Notation SiGN
Parmi les notations les plus courantes du monde des « cubeurs », j’ai choisi comme base la notation
SiGN (pour Simple General Notation), proposée par Michael Z.R. Gottlieb. Selon cette notation,
chaque rotation élémentaire est notée ainsi :
F/F’/F2
B/B’/B2
U/U’/U2
D/D’/D2
L/L’/L2
R/R’/R2
rotation
rotation
rotation
rotation
rotation
rotation
directe/indirecte/à
directe/indirecte/à
directe/indirecte/à
directe/indirecte/à
directe/indirecte/à
directe/indirecte/à
180°
180°
180°
180°
180°
180°
de
de
de
de
de
de
la
la
la
la
la
la
face
face
face
face
face
face
avant (Front face)
arrière (Back face)
supérieure (Upper face)
inférieure (Down face)
gauche (Left face)
droite (Right face)
A partir du cube 4x4, si la rangée individuelle n’est pas une face (rangée interne), on note sa
rotation par la lettre majuscule de la face associée, précédée d’un chiffre indiquant la « profondeur »
de la rangée interne par rapport à cette face, les rangées externes étant considérées de profondeur
1 (ce « 1 » étant omis pour alléger l’écriture).
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2F
2R’
2U2
3B
3L’
3D2
etc.
rotation
rotation
rotation
rotation
rotation
rotation
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directe de la 2ème rangée avant (1ère rangée interne avant)
indirecte de la 2ème rangée droite (1ère rangée interne droite)
à 180° de la 2ème rangée supérieure (1ère rangée interne supérieure)
directe de la 3ème rangée arrière (2ème rangée interne arrière)
indirecte de la 3ème rangée gauche (2ème rangée interne gauche)
à 180° de la 3ème rangée inférieure (2ème rangée interne inférieure)
A partir du cube 4x4, si plusieurs rangées mitoyennes sont tournées simultanément, on utilise des
lettres minuscules au lieu de majuscules. si ces rangées incluent une rangée externe, on reprend en
minuscule la lettre de la face correspondante, précédée d’un chiffre rappelant combien de rangées
sont tournées au total (on l’omet dans le cas où ce chiffre est 2). Si ces rangées n’incluent pas une
rangée externe, la lettre minuscule est précédée de 2 chiffres séparés par un tiret et correspondant
à la « plage de profondeur » des rangées à tourner.
f
u’
l2
3d
2-3r’
rotation
rotation
rotation
rotation
rotation
directe des 2 rangées avant (face + 1 rangée interne)
indirecte des 2 rangées supérieures (face + 1 rangée interne)
à 180° des 2 rangées gauches (face + 1 rangée interne)
directe des 3 rangées inférieures (face + 2 rangées internes)
indirecte des 2 rangées internes arrière
Notation symbolique
Une autre notation parfois utilisée consiste à représenter pour chaque rotation les mouvements des
rangées du cube, considérées depuis sa face avant. Lorsque le mouvement concerne la face arrière,
la flèche représentant sa rotation est en pointillés.
Dans l’ordre de cet exemple :
• rotation directe de la face inférieure
• rotation indirecte de la face gauche
• rotation à 180° de la face droite
• rotation directe de la face avant
• rotation à 180° de la face arrière
• rotation directe de la moitié gauche
Ma notation et méthode mnémotechnique
Si l’une ou l’autre des 2 notations précédentes suffit à décrire tous les types de rotations du cube,
aucune n’est vraiment évidente à retenir sous cette forme, en particulier pour un algorithme
décrivant un grand nombre de rotations. Je vous propose donc une méthode simple pour mémoriser
plus facilement chaque algorithme : traduire chaque rotation par une syllabe, selon le principe
suivant que j’ai moi-même développé et adopté.
La première lettre de chaque syllabe est la même que celle de la notation SiGN, à l’exception du U (de «
Upper ») qui devient un T (pour « Top »), soit F, B, T, D, L ou R.
La
•
•
•
2ème lettre indique le type de rotation :
a indique une rotation directe (le « a » de « aiguilles » d’une montre)
i indique une rotation indirecte (le « i » de « indirect » ou « inverse »)
u indique une rotation à 180°(le « u » rappelle la trajectoire d’un demi-tour)
La
•
•
•
3ème lettre indique la ou les rangées à tourner :
si cette lettre est absente, la rotation concerne seulement une rangée externe du cube
s indique que la rotation ne concerne qu’une ou plusieurs rangées internes (le « s » de « seul »)
n indique que la rotation concerne une rangée externe + une ou plusieurs rangées internes
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Ainsi, chaque suite de syllabes peut être ensuite facilement mémorisée par le biais d’une phrase
mnémotechnique (au sens parfois obscur, mais là n’est pas la question !), plus évidente à retenir
que l’algorithme « brut » qu’elle traduit.
Ex
•
•
•
: Russe ? Tu es Russe ? Tu n’es pas russe et tu n’es pas turc
Rus : rotation à 180° des rangées interne et centrale droite
Tu : rotation à 180° de la face supérieure
Tun : rotation à 180° de la moitié supérieure du cube
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3. RESOLUTION DETAILLEE
Généralités
La résolution d’un cube 6x6 nécessite la connaissance de 8 algorithmes, dont 4 communs au 3x3 et
à tous les cubes d’ordre supérieur, 7 au 4x4 et 1 au 5x5.
La méthode proposée dans ce guide consiste à « réduire » le cube 6x6 à une configuration
assimilable à celle d’un 3x3, puis à le résoudre ensuite selon le même principe qu’un 3x3.
Phase 1 : résolution des centres
1-1 principe
Chacun des 6 centres complets d’un 6x6 étant constitué de 4x4 centres, on cherche à assembler 16
centres de même couleur sur chaque face du cube. Chaque centre complet ainsi reconstitué pourra
alors être considéré comme un centre unique et « figé » pour la suite de la résolution.
1-2 résolution d’un centre complet
Reprendre le principe déjà vu pour les cubes d’ordre inférieur mais, cette fois, pour reconstituer 4
alignements de 4 centres (2 alignements internes et 2 alignements externes, dans n’importe quel
ordre).
Si la rotation amenant un alignement à côté des autres risque de détruire un autre assemblage sur
le cube, mettre en place cet alignement en « chassant » un autre alignement de même nature
(interne ou externe) sur la face supérieure puis tourner cette face de 180° et ramener l’alignement
« chassé » à côté des autres pour compléter le centre complet.
Répéter ces opérations pour chaque nouvel alignement jusqu’à la résolution d’un centre complet.
1-3 ordre et position des centres
Tous les centres étant mobiles sur un cube « pair » comme le 6x6, il faut respecter leur position
relative par couleur pour ne pas aboutir à une impossibilité de résolution.
Par habitude, je résous d’abord les centres complets blanc et jaune (opposés), puis le bleu et le
rouge (en respectant le trio bleu-blanc-rouge dans le sens anti-horaire autour d’un coin) et enfin
l’orange (opposé au rouge, le 6ème centre complet vert se complétant en parallèle).
Si on se trompe dans la disposition des centres, on peut permuter 2 centres complets de la même
manière qu’avec le 4x4, en tournant le cube par moitiés.
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Phase 2 : résolution des arêtes
2-1 principe
Chaque arête complète du 6x6 étant constituée de 4 arêtes individuelles mitoyennes, on doit
assembler 4 arêtes partageant les 2 mêmes couleurs, en respectant la même orientation. Chaque
arête complète ainsi reconstituée pourra alors être considérée comme une arête unique et « figée »
pour la suite de la résolution.
2-2 assemblage des arêtes
Reprendre la méthode des 4x4 et 5x5 en commençant par assembler 2 arêtes internes jumelles
(schémas 1 et 2) puis en complétant l’ensemble avec une arête externe complémentaire (schémas 3
et 4), puis la seconde arête externe complémentaire (schémas 5 et 6).
Procéder ainsi jusqu’à résoudre la totalité des arêtes complètes du cube (passer alors directement à
la phase « fin de la résolution ») ou jusqu’à ce qu’il ne reste plus que 2 arêtes complètes mélangées
(cas de « parité », présentant ici 4 variantes détaillées plus bas).
2-3 parité des arêtes / 1er cas : arêtes internes permutées
Dans cette situation similaire à celle rencontrée sur le 4x4, 2 arêtes internes jumelles se trouvent
chacune d’un côté du cube. Si elles ne se trouvent pas dans la même rangée (schéma 1), retourner
l’une des 2 arêtes complètes (schéma 2).
Appliquer ensuite l’algorithme suivant pour réunir les arêtes internes jumelles.
d R F’ U R’ F d’
Dans sa rage, il fit taire les rires faibles des dingues.
(DanRaFi TaRiFaDin)
N.B. :
Généralisable aux cubes « pairs » d’ordre supérieur, cet algorithme permute en pratique 2 demiarêtes complètes suivant la diagonale « nord-est / sud-ouest ».
2-4 parité des arêtes / 2ème cas : arêtes externes permutées
Dans cette configuration, 2 arêtes externes de la même rangée sont permutées.
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Orienter le cube que les arêtes à permuter se trouvent dans la première rangée interne droite
(schéma 1), sur la face supérieure, puis appliquer l’algorithme suivant.
l’ U2 l’ U2 F2 l’ F2 r U2 r’ U2 l2
Malin tu es, malin tu fus, malin, futé et franc.
Tu es un marin têtu et lunaire.
(LinTu LinTu FuLin FuRan TuRin TuLun)
N.B. :
Cet algorithme est commun avec le 5x5.
Il est également généralisable aux cubes d’ordre supérieur pour permuter les extrémités de 2 arêtes
complètes opposées. Ces extrémités étant de longueur « modulable », on utilise en pratique cet
algorithme en plusieurs variantes successives pour permuter n’importe quelle paire d’arêtes
opposées.
2-5 parité des arêtes / 3ème cas : arêtes internes inversées
Dans cette configuration, comparable au cas rencontré sur le 5x5, une arête complète est bien
constituée de 4 arêtes complémentaires mais les 2 arêtes centrales ont une orientation inversée.
Orienter le cube pour que les 2 arête centrales inversées se trouvent dans la rangée avant de la face
supérieure (schéma 1), puis appliquer l’algorithme suivant.
r2 B2 U2 l U2 r’ U2 r U2 F2 r F2 l’ B2 R2
Brune bûcheuse, tu langes, tu rinces, tu ranges et tu fumes.
Range et fume, maline et bûcheuse brune.
(RunBu TuLan TuRin TuRan TuFu RanFu LinBuRun)
N.B. :
Cet algorithme est commun avec le 4x4 et le 5x5 et généralisable à tous les cubes d’ordre supérieur.
Phase 3 : fin de la résolution
3-1 principe
Une fois les centres complets et arêtes complètes résolus, on peut les considérer comme des
ensembles figés de 4x4 pièces et 4 pièces et le 6x6 se retrouve ainsi « réduit » à l’équivalent d’un
3x3 (schéma 2). La fin de la résolution est identique à celle d’un 3x3 (consulter le guide dédié au
3x3) mais d’éventuels cas de parité, propres aux cubes « pairs », peuvent imposer des étapes
supplémentaires.
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3-2 résolution de la rangée inférieure / de la rangée équatoriale
Reprendre la méthode du 3x3. Par habitude, je garde les mêmes couleurs (face inférieure blanche,
face supérieure jaune).
3-3 construction de la croix supérieure
Reprendre la méthode du 3x3.
F U R U’ R’ F’
Fais ta ration de riz, fils.
(FaTaRa TiRiFi)
Hormis les cas déjà connus du 3x3, on peut rencontrer 2 autres situations, identiques à celles du
4x4 : une croix supérieure à une seule branche (schéma 1) ou à 3 branches (schéma 2).
Dans le cas de la croix à une seule branche, placer cette branche du côté gauche et appliquer
l’algorithme vu plus haut pour obtenir une croix à 3 branches.
Dans le cas de la croix à 3 branches, placer la « branche manquante » vers l’avant et appliquer
l’algorithme suivant pour reconstituer la croix supérieure complète.
3r2 B2 U2 3l U2 3r’ U2 3r U2 F2 3r F2 3l’ B2 3r2
Brune bûcheuse, tu langes, tu rinces, tu ranges et tu fumes.
Range et fume, maline et bûcheuse brune.
(RunBu TuLan TuRin TuRan TuFu RanFu LinBuRun)
N.B. :
Cet algorithme est comparable à celui utilisé pour le 4x4, la seule différence portant sur les rotations
des moitiés gauche et droite du cube, composées ici de 3 rangées et non de 2 (modifications en
violet).
Il permet d’inverser l’orientation de l’arête complète avant.
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3-4 résolution de la face supérieure / permutation des coins supérieurs
Reprendre la méthode du 3x3. Par habitude, je garde les mêmes couleurs (face inférieure blanche,
face supérieure jaune).
R U R’ U R U2 R’
Rasant ta rive, Tara, tu ris.
(RataRi TaRa TuRi)
R’ F R’ B2 R F’ R’ B2
Le rire fait une tribu, le travail fixe une tribu : j’y ai cru.
(RiFaRiBu RaFiRiBu)
3-5 permutation des arêtes supérieures
Reprendre la méthode du 3x3.
L2 U’ B F’ L2 B’ F U’ L2
Luc tient le bar de son fils, une lubie fatigante pour lui.
(LuTiBaFi LuBiFaTi Lu)
Hormis les cas de figure déjà connus du 3x3, on peut rencontrer 2 autres situations, comme sur le
4x4 : 2 arêtes complètes permutées, à 180° ou 90°.
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Dans le cas à 180°, on oriente le cube pour disposer les arêtes complètes permutées dans les
rangées avant et arrière (schéma 1) et on applique l’algorithme suivant pour terminer la résolution
du cube.
2-3r2 U2 2-3r2 3u2 2-3r2 3u2 U2
Russe ? Tu es russe ? Tu n’es pas russe et tu n’es pas turc.
(RusTu RusTun RusTun Tu)
Dans le cas à 90°, on dispose les arêtes complètes permutées dans les rangées avant et gauche
(schéma 2) et on applique le même algorithme pour se ramener au cas habituel des 3 arêtes
complètes permutées.
N.B. :
Cet algorithme est comparable à celui utilisé pour le 4x4, les différences portant sur les rotations de
la moitié supérieure du cube, composées ici de 3 rangées et non de 2 (modifications en violet) et les
rangées internes jumelées pour les rotations gauche et droite.
Il est généralisable à tous les cubes pairs d’ordre supérieur.
Vous venez de terminer le cube, bravo !
4. POUR ALLER PLUS LOIN…
Après la résolution du 6x6, l’étape logique suivante est le passage au 7x7, qui n’est finalement
qu’une version « étendue » du 5x5, réutilisant les mêmes algorithmes et présentant les mêmes
avantages propres des cubes « impairs » : pas besoin de vérifier la disposition relative des centres
ni de résoudre les cas particuliers aux cubes « pairs » au cours de sa résolution.
5. REMERCIEMENTS
A Ernõ Rubik, le génial inventeur du casse-tête mondialement connu qui porte son nom.
(www.rubiks.com)
A Panagiotis Verdes, l’inventeur du principe des V-Cubes.
(www.v-cubes.com/index.php)
A RobH0629, pour ses vidéos.
(www.youtube.com/user/RobH0629)
A Ross685, pour ses vidéos et sa méthode de permutation de centres.
(www.youtube.com/user/Ross685)
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ANNEXE : RECAPITULATIF DES ALGORITHMES DU CUBE 6x6
1. Cas de parité : arêtes internes permutées**
3d R F’ U R’ F 3d’
Dans sa rage, il fit taire les rires faibles des dingues.
(DanRaFi TaRiFaDin)
2. Cas de parité : arêtes externes permutées***
l’ U2 l’ U2 F2 l’ F2 r U2 r’ U2 l2
Malin tu es, malin tu fus, malin, futé et franc.
Tu es un marin têtu et lunaire.
(LinTu LinTu FuLin FuRan TuRin TuLun)
3. Cas de parité : arêtes internes inversées**
r2 B2 U2 l U2 r’ U2 r U2 F2 r F2 l’ B2 R2
Brune bûcheuse, tu langes, tu rinces, tu ranges et tu fumes.
Range et fume, maline et bûcheuse brune.
(RunBu TuLan TuRin TuRan TuFu RanFu LinBuRun)
4. Construction de la croix supérieure*
F U R U’ R’ F’
Fais ta ration de riz, fils.
(FaTaRa TiRiFi)
* algorithme commun avec le 3x3 et tous les cubes d’ordre supérieur
** algorithme commun avec le 4x4
*** algorithme commun avec le 5x5
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ANNEXE : RECAPITULATIF DES ALGORITHMES DU CUBE 6x6 (suite)
5. Cas de parité : croix supérieure incomplète**
3r2 B2 U2 3l U2 3r’ U2 3r U2 F2 3r F2 3l’ B2 3r2
Brune bûcheuse, tu langes, tu rinces, tu ranges et tu fumes.
Range et fume, maline et bûcheuse brune.
(RunBu TuLan TuRin TuRan TuFu RanFu LinBuRun)
6. Résolution de la face supérieure*
R U R’ U R U2 R’
Rasant ta rive, Tara, tu ris.
(RataRi TaRa TuRi)
7. Permutation des coins supérieurs*
R’ F R’ B2 R F’ R’ B2
Le rire fait une tribu, le travail fixe une tribu : j’y ai cru.
(RiFaRiBu RaFiRiBu)
8. Permutation des arêtes supérieures*
L2 U’ B F’ L2 B’ F U’ L2
Luc tient le bar de son fils, une lubie fatigante pour lui.
(LuTiBaFi LuBiFaTi Lu)
* algorithme commun avec le 3x3 et tous les cubes d’ordre supérieur
** algorithme commun avec le 4x4
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ANNEXE : RECAPITULATIF DES ALGORITHMES DU CUBE 6x6 (suite)
9. Cas de parité : arêtes supérieures permutées**
2-3r2 U2 2-3r2 3u2 2-3r2 3u2 U2
Russe ? Tu es russe ? Tu n’es pas russe et tu n’es pas turc.
(RusTu RusTun RusTun Tu)
* algorithme commun avec le 3x3 et tous les cubes d’ordre supérieur
** algorithme commun avec le 4x4
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