Fraction et quotient

Ch 6
FRACTIONS et QUOTIENTS
Sommaire
0- Objectifs
1- Fraction et quotient
2- Multiples et diviseurs (nombres entiers)
3- Fractions égales
4- Utilisation de la calculatrice
5- Pourcentages
0- Objectifs
· Utiliser
des fractions pour :
» rendre compte de partage de grandeurs dans des cas simples,
» exprimer un quotient.
· Multiples
et diviseurs des nombres d’usage courant, critères de divisibilité
(2, 3, 4, 5, 9, 10).
· Établir
des égalités entre des fractions simples.
1- Fraction et quotient
Une fraction a plusieurs interprétations.
Exemple :
La fraction
6
peut s'interpréter comme 6 fois
4
¼→
6
1
= 6×
4
4
Cette fraction peut aussi s'interpréter comme le quart de 6 →
6
= 6÷4
4
Règle :
Pour tout nombre a et tout nombre b différent de 0,
a
1
=a× =a÷b
b
b
Exemples :
28
45
= 28÷4 = 7
= 45÷45 = 1
4
45
23
23
3
= 23÷5 = 4,6 et de façon plus précise :
= 4+
5
5
5
2
1
1
2
3× = 3×2×
= 6×
= 6÷3 = 2 donc 3× = 2
3
3
3
3
Règle :
Lorsqu'on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient son
numérateur.
a
Pour tout nombre a et tout nombre b différent de 0,
b×
=a
b
Exemples :
0,7
• 48 ×
= 0,7
48
• 486 ×
12
= 12
486
• Quel est le nombre n qui rend vraie l'égalité n × 9 = 8 ?
8
D'après la règle ci-dessus,
× 9 = 8 que l'on compare à l'égalité n × 9 = 8
9
8
donc, le nombre qui rend vraie l'égalité est n =
9
2- Multiples et diviseurs (nombres entiers uniquement)
Ce paragraphe ne concerne que les nombres entiers.
Définition :
Un nombre entier m est un multiple d'un nombre entier n quand m est un
nombre entier de fois n. On dit aussi que n est un diviseur de m.
Exemples :
• 6 est un multiple de 2 car 6 = 3 × 2. On a aussi : 2 est un diviseur de 6
• Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1 × 6 et 6 = 2 × 3
6 est un nombre parfait car 1 + 2 + 3 = 6 (il est la somme de ses diviseurs
différents de 6)
• Les diviseurs de 7 sont 1 et 7 car 7 = 1×7
7 est un nombre premier car il n'a que 2 diviseurs.
Pour savoir si un nombre entier est divisible par 2, ou par 3, ..., il existe des
critères, les critères de divisibilité. Voici les principaux :
Critère pour 2 :
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Critère pour 5 :
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Critère pour 3 :
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Critère pour 9 :
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple :
• Donner quelques diviseurs de 3 588
3 588 est divisible par 2 (car il se termine par 8), par 3 (car 3 + 5 + 8 + 8 = 24
qui est divisible par 3) mais pas par 5 (car il ne se termine ni par 0, ni par 5)
ni par 9 (car 24 n'est pas divisible par 9).
3- Fractions égales
Règle :
En multipliant (ou en divisant) à la fois le numérateur et le dénominateur par
un même nombre différent de 0, on obtient une fraction égale à cette
fraction.
Pour tout nombre a et tous nombres b et c différents de 0,
a
a×c
a
a÷c
=
=
b
b×c
b
b÷c
Exemples :
3,2
en fraction
0,71
3,2
3,2×100
320
=
=
0,71
0,71×100
71
• Transformer
• Simplifier
27
21
il faut chercher une table dans laquelle se trouvent 27 et 21 : la table de 3 convient
donc
:
27
3×9
9
=
=
21
3×7
7
7
en douzièmes
4
7
7×3
21
=
=
4
4×3
12
• Transformer
• Écrire 3,6 en fraction
36
36÷2
18
3,6 =
=
=
10
10÷2
5
on retrouve le résultat obtenu avec la calculatrice
5
en écriture décimale
4
5
5×25
125
=
=
= 1,25
4
4×25
100
• Écrire
9
21
et
sont-elles égales ?
12
28
9
9÷3
3
21
21÷7
3
=
=
et
=
=
donc
12
12÷3
4
28
28÷7
4
•
9
21
=
12
28
4- Utilisation de la calculatrice
Pour rentrer des fractions dans la calculatrice, on utilise la touche b
Exemples :
2 7
+
3 4
Suite des touches sur lesquelles on tape :
• Calculer
b2N3$+b7N4$l
On obtient
29
12
donc
2 7 29
+ =
3 4 12
Remarque :
On peut aussi utiliser la suite de touches suivantes pour obtenir le même
résultat :
2M3+7M4l
en effet, une fraction est une division :
2 7
+ = 2÷3 + 7÷4
3 4
3
en écriture décimale
4
Suite des touches sur lesquelles on tape :
• Transformer
b3N4$lx
On obtient 0.75 donc
3
= 0,75
4
De même, la suite de touches
3
= 3÷4
4
3M4Ll
convient puisque
2
7
Suite des touches sur lesquelles on tape :
• Donner une valeur approchée de
2M7Ll
On obtient 0.2857142857 donc
2
≈ 0,29 (arrondi au centième)
7
• Transformer 3,6 en fraction
Suite des touches sur lesquelles on tape :
18
18
On obtient
donc 3,6 =
5
5
3,6l
5- Prendre une fraction d'une quantité et pourcentage
Exemple :
• Calculer trois quarts de 32 L
3
1
On sait que
= 3×
4
4
on calcule d'abord un quart de 32 L : 32 L:4 = 8 L
donc un quart de 32 L est égal à 8 L
puis on en prend 3 fois plus : 3×8 L= 24 L
donc trois quarts de 32 L est égal à 24 L.
Définition :
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
Exemple :
0,3 = 0,30 =
15 %=
30
= 30 %
100
15
= 0,15
100
Quelques pourcentages à connaître :
25
1
25 % =
= 0,25 =
100
4
50
1
50 % =
= 0,5 =
100
2
75
3
75 % =
= 0,75 =
100
4
20
1
20 % =
= 0,2 =
100
5
100
100 % =
=1
100
Autre exemple :
• Calculer 15 % de 750 g
15
15 % =
= 0,15
100
donc 15 % de 750 g = 0,15×750 g = 112,5 g