7. Arithmétique 1) Critères de divisibilité (rappels) Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair. - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5. - par 10, si son chiffre des unités est 0. - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3. - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. - par 4, si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres est un multiple de 4. Exemple : Parmi les nombres 12 ; 30 ; 27 246 ; 325 et 6 139, indiquer ceux qui sont divisibles : par 2 ; par 3 ; par 4 ; par 5 et par 9 ; par 10. 2) Nombres premiers Définition : Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui même. Exemple : La liste des nombres premiers inférieurs à 20 est : ……. Remarque : 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur ! Propriété : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers. Exemple : La décomposition en facteurs premiers de 24 est : La décomposition en facteurs premiers de 180 est : 3) Fractions La décomposition en facteurs premiers est très utile pour simplifier au maximum une fraction (on dit alors que la fraction est irréductible). Exemple : on veut simplifier au maximum la fraction −180 54 On commence par décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers : 180=2×2×3×3×5 54=2×3×3×3 On peut ensuite simplifier les facteurs commun On pourra aussi retenir la définition : Définition: Soient a et b deux entiers.On dit que la fraction a est irréductible si a et b n'ont aucun diviseurs b communs. Application : Rendre la fraction 120 irréductible à l’aide de la 84 décomposition en facteurs premiers.